2022-2023學(xué)年江蘇省無錫市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知中，，，，則等于（

）A．或 B．或 C． D．【答案】D【分析】直接利用正弦定理化簡求解即可．【詳解】由題意在中，，，，由正弦定理：可得．，或．又，所以故選：D．2．下列說法正確的是（

）A．設(shè)非零向量，，若，則向量與的夾角為銳角B．若非零向量與是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)共線C．若，，則D．若，則【答案】D【分析】對于A，當(dāng)向量，同向時，即可判斷；對于B，根據(jù)共線向量的定義即可判斷；對于C，根據(jù)零向量與任意向量共線，即可判斷；對于D，根據(jù)相等向量的定義即可判斷.【詳解】解：對于A，若，則，故A錯誤；對于B，若非零向量與是共線向量，則與平行或共線，故B錯誤；對于C，若，，當(dāng)時，不能確定是否平行，故C錯誤；對于D，若，則，故D正確.故選：D.3．如圖，在多面體中，平面平面，且，則()A．平面 B．平面C． D．平面平面【答案】A【分析】取DG的中點(diǎn)M，連AM、FM，證明四邊形ABFM是平行四邊形，問題得解.【詳解】如圖所示，取DG的中點(diǎn)M，連AM、FM，．則由已知條件易證得四邊形DEFM是平行四邊形，∴且．∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB＝AB，平面DEFG∩平面ADEB＝DE，∴AB∥DE，∴AB∥FM．又AB＝DE，∴AB＝FM，∴四邊形ABFM是平行四邊形，∴BF∥AM．又BF平面ACGD，AM平面ACGD，∴BF∥平面ACGD．選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面平行的判定定理及面面平行的性質(zhì)，還考查了轉(zhuǎn)化能力及空間思維能力，屬于中檔題.4．一艘輪船按照北偏東方向，以18海里小時的速度直線航行，一座燈塔原來在輪船的南偏東方向上，經(jīng)過20分鐘的航行，輪船與燈塔的距離為海里，則燈塔與輪船原來的距離為（

）海里．A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】作出示意圖，利用余弦定理，即可得解．【詳解】設(shè)輪船從點(diǎn)出發(fā)到達(dá)點(diǎn)，燈塔在點(diǎn)，如圖所示，

由圖可知，，海里，在中，由余弦定理知，，所以，即，解得或（舍負(fù)），所以燈塔與輪船原來的距離為4海里．故選：C．5．如圖所示，在等腰梯形中，，為線段的中點(diǎn)，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，再由利用數(shù)量積的定義計(jì)算即可求解.【詳解】在等腰梯形中，分別過點(diǎn)，作，垂直于于點(diǎn)，，則，，因?yàn)?，所以，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，，所以，故選：B.6．圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為3，圓臺的側(cè)面積為84π，則圓臺較小底面的半徑為（）A．7 B．6 C．5 D．3【答案】A【分析】設(shè)圓臺上底面半徑為，由圓臺側(cè)面積公式列出方程，求解即可得解.【詳解】設(shè)圓臺上底面半徑為，由題意下底面半徑為，母線長，所以，解得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了圓臺側(cè)面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7．設(shè)直三棱柱的所有頂點(diǎn)都在一個表面積是的球面上，且，則該直三棱柱的體積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先設(shè)出棱長，表示出球半徑，利用球的表面積求出棱長，然后利用柱體的體積公式可求體積.【詳解】設(shè).因?yàn)椋?由正弦定理得是外接圓的半徑），.又球心到平面的距離等于側(cè)棱長的一半，所以球的半徑為.所以球的表面積為，解得.因此該直三棱柱的體積是故選：A.8．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c且滿足．角A的內(nèi)角平分線交于點(diǎn)M，若，則（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】由條件及三角形中角的關(guān)系，結(jié)合正弦定理先求出角，由三角形的內(nèi)角平分線定理可得，然后在，中，分別利用余弦定理結(jié)合，用表示出，從而可得出答案.【詳解】由條件有：，又，則，即，又，則由為的角平分線，則,即則在中，即

①在中，在中，由，則化簡得到：②將②代入①可得：

③將③代入②可得：,所以所以故選：A二、多選題9．如圖，在正方體中，、、分別是、、的中點(diǎn)，有下列四個結(jié)論正確的是（

）A．與是異面直線； B．、、相交于一點(diǎn)；C．； D．平面.【答案】BD【分析】本題首先可根據(jù)、判斷出A錯誤，然后根據(jù)平面平面得出B正確，再然后根據(jù)得出C錯誤，最后根據(jù)線面平行的判定即可證得D正確.【詳解】A項(xiàng)：如圖，連接、、，因?yàn)椤⒎謩e是、的中點(diǎn)，多面體是正方體，所以，，，因?yàn)?，所以與是同一平面內(nèi)的相交直線，A錯誤；B項(xiàng)：因?yàn)槠矫嫫矫妫矫?，平面，所以、、相交于一點(diǎn)，B正確；C項(xiàng)：如圖，連接與交于點(diǎn)，連接、，由正方體性質(zhì)易知，是中點(diǎn)，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，，因?yàn)椋?，所以，，故四邊形是平行四邊形，，易知C錯誤；D項(xiàng)：因?yàn)?，平面，平面，所以平面，D正確，故選：BD.10．八卦是中國文化的基本哲學(xué)概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形，其中，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．在向量上的投影向量為【答案】AB【分析】正八邊形中，每個邊所對的角都是，中心到各頂點(diǎn)的距離為1，然后再由數(shù)量積的運(yùn)算逐一分析四個選項(xiàng)得答案．【詳解】正八邊形中，每個邊所對的角都是，中心到各頂點(diǎn)的距離為1，對于，，故A正確；對于B，，則以，為鄰邊的對角線長是的倍，可得，故B正確；對于C，，，與的夾角為，與的夾角為，故，故C錯誤；對于D，由已知可得，，在向量上的投影數(shù)量為，則在向量上的投影向量的模為，故D錯誤．故選：AB．11．在中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，的面積為，下列與有關(guān)的結(jié)論，正確的是（

）A．若為銳角三角形，則B．若，則C．若，則一定是等腰三角形D．，則的外接圓半徑是4【答案】AB【分析】對于，根據(jù)銳角三角形的性質(zhì)，結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性以及誘導(dǎo)公式，判斷A，根據(jù)正弦定理判斷B，根據(jù)正弦定理，進(jìn)行邊角互換，可得正弦等式，判斷C，根據(jù)正弦定理，可判斷D．【詳解】對于，若為銳角三角形，可得且，可得，且，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得，所以，故正確；對于B，在中，由知，根據(jù)正弦定理可得，故B正確；對于C，由正弦定理知，，則，可得，故或，是等腰三角形或直角三角形，故C錯誤；對于D，在中，設(shè)的外接圓半徑是R，則根據(jù)正弦定理可得，故D錯誤．故選：AB．12．已知三個內(nèi)角，，的對應(yīng)邊分別為，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．，．面積的最大值為B．，．的最大值為C．若，則的形狀為等腰三角形D．，則的形狀為等邊三角形【答案】ABC【分析】對于A，由余弦定理結(jié)合基本不等式求得的最大值，即可得出面積的最大值，進(jìn)而可判斷A是否正確；對于B，由正弦定理結(jié)合二倍角公式，兩角和與差的正弦公式，正弦函數(shù)性質(zhì)求得的最大值，從而可得數(shù)量積的最大值，即可判斷B是否正確；對于C，由向量數(shù)量積公式和兩角和與差的三角函數(shù)公式即可判斷C是否正確；對于D，因?yàn)?，判斷的平分線AD與BC垂直，得是等腰三角形，因?yàn)?，判斷角B是否為60°，即可判斷D是否正確.【詳解】對于，由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，，最大值為，故A正確；對于B，，在中，，，，因?yàn)?，所以，所以，所以，即時，取得最大值1，即的最大值為，所以的最大值為，故B正確；對于C，因?yàn)?，所以，即，由正弦定理得，即，因?yàn)椋?，所以，所以是等腰三角形，故C正確；對于D，因?yàn)?，所以的平分線AD與BC垂直，所以是等腰三角形因?yàn)?，所以，所以，所以是等腰非等邊三角形，故D錯誤．故選：ABC．三、填空題13．如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm，高為2cm，內(nèi)孔半徑為0.5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是____cm3.【答案】【分析】先求正六棱柱體積，再求圓柱體積，相減得結(jié)果.【詳解】正六棱柱體積為圓柱體積為所求幾何體體積為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查正六棱柱體積、圓柱體積，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.14．在中，，若O為外接圓的圓心，則的值為__________．【答案】10【分析】作出邊垂線，利用向量的運(yùn)算將用表示，得有向量的數(shù)量積的幾何意義將向量的數(shù)量積表示成一個向量與另一個向量的投影的乘積即可求得答案【詳解】過作，垂足分別為，因?yàn)镺為外接圓的圓心，所以分別為的中點(diǎn)，所以,故答案為：10四、雙空題15．如圖，在中，，，.為內(nèi)部（包含邊界）的動點(diǎn)，且.則___________；的取值范圍___________.【答案】4【分析】方法1：①由正弦定理求得，進(jìn)而可求得b，可得在是等腰三角形，取BC的中點(diǎn)E，在中可求得AE，再由可求得的值.②設(shè)，，則展開計(jì)算，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)在給定區(qū)間上求值域，即可得結(jié)果.方法2：①由余弦定理求得b的值，再由即可求出；②以A為原點(diǎn)建系，設(shè)，則可得，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)在給定區(qū)間上求值域，即可得結(jié)果.【詳解】方法1：①在中，由正弦定理得：即：解得：.又∵，∴，∴∴，取BC的中點(diǎn)E，連接AE，如圖所示，則：，，∴在中，，∴，②設(shè)，則，，∵，∴，∴，故的范圍是：；方法2：①在中，由余弦定理，即：，解得：或（舍），，∴，②以A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，垂直于AB的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為，B點(diǎn)的坐標(biāo)為，C點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，即：，故的范圍是：，故答案為：4；.五、填空題16．已知正方體的棱長為2，點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)，若動點(diǎn)在正方形（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動，且平面，則線段的長度范圍是_________．

【答案】【分析】構(gòu)造與平面平行的平面，得出點(diǎn)軌跡，在中計(jì)算的范圍即可．【詳解】連接，，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，則，，所以，因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，平面，因?yàn)?，所以平面平面，平面，的軌跡為線段．，，當(dāng)時，取得最小值，當(dāng)與（或重合時，取得最大值．．故答案為：．

六、解答題17．已知向量，.(1)若，求；(2)若向量，，求與夾角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)求得，從而可得，于是；（2）由，可得，再由夾角公式計(jì)算即可.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以?由，可得，即，解得，所以，故.（2）因?yàn)橄蛄浚?，所以，所?則，，所以，所以與夾角的余弦值為.18．在中，角所對的邊分別為，且(1)求角B；(2)若的面積為，BC邊上的高，求，的值．【答案】(1)(2)，【分析】（1）利用余弦定理角邊互化，再利用三角函數(shù)的特殊值對應(yīng)特殊角，結(jié)合角的范圍即可求解；（2）根據(jù)正弦定理及三角形的面積公式，再利用余弦定理即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以所以，即由余弦定理可得，因?yàn)?，所以?）由（1）知，，因?yàn)锽C邊上的高，所以，在中，由正弦定理可得，即.因?yàn)榈拿娣e為，所以，解得.在中,由余弦定理,得，則.所以的值為，的值為.19．由四棱柱截去三棱錐后得到的幾何體如圖所示，四邊形為平行四邊形，O為與的交點(diǎn)．(1)求證：∥平面；(2)求證：平面∥平面；(3)設(shè)平面與底面的交線為l，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，結(jié)合四棱柱的幾何性質(zhì)，由線線平行證明即可；（2）由線線平行證平面，結(jié)合平面即可證平面平面；（3）由線面平行證線線平行即可.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，∵是四棱柱，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，又平面平面，∴平面．（2）∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵平面平面，∴平面，由（1）得平面且，平面，∴平面平面．（3）由（2）得：平面，又平面，平面平面，∴．20．北京2022年冬奧會中，運(yùn)動員休息區(qū)本著環(huán)保?舒適?溫馨這一出發(fā)點(diǎn)，進(jìn)行精心設(shè)計(jì)，如圖，在四邊形休閑區(qū)域，四周是步道，中間是花卉種植區(qū)域，為減少擁堵，中間穿插了氫能源環(huán)保電動步道，且.(1)求氫能源環(huán)保電動步道的長；(2)若___________；求花卉種植區(qū)域總面積.從①，②這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在上面問題中并作答.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）利用二倍角公式求出，利用余弦定可求的長；（2）選①：由正弦定理可求得，利用兩角和的正弦公式可求得，可分別求得，，從而可求花卉種植區(qū)域總面積．選②：利用余弦定理求出，利用面積公式可求得，，從而可求花卉種植區(qū)域總面積．【詳解】（1）解：．，，，，由余弦定理得，，．（2）解：若選①：，在中，由正弦定理得，．，由（1）知．代入上式可得，解得，，，，，故，花卉種植區(qū)域總面積為．若選②：，在中，由余弦定理得，解得或（舍去），．，，，，故，花卉種植區(qū)域總面積為．21．幾何體是四棱錐，為正三角，，，為線段的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)線段上是否存在一點(diǎn)，使得四點(diǎn)共面？若存在，請求出的值；若不存在，并說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）先由線面平行的判定理證得平面，再證得平面，由此利用面面平行的判定定理證得面面，從而得到平面；（2）先由線面平行的性質(zhì)定理求得點(diǎn)位置，再由平面幾何知識求得，從而利用平行線分線段成比例得到的值.【詳解】（1）記為的中點(diǎn)，連接，如圖1，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，故，因?yàn)槠矫嫫矫嫠云矫?，又因?yàn)闉檎切?，所以，，又為等腰三角形，，所?所以，即，所以，又平面平面所以平面，又，平面，故平面平面，又因?yàn)槠矫?，故平?（2）延長相交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，如圖2，因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所以，此時四點(diǎn)共面，由（1）可知，，得，故，又因?yàn)?，所以，則有，故.22．在中，分別是角的對邊，．(1)求角A的大??；(2)若為銳角三角形，且其面積為，點(diǎn)為重心，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，線段與線段相交于點(diǎn)，求的取值范圍.【答案