1第十章群與環(huán)主要內(nèi)容群的定義與性質(zhì)子群與群的陪集分解循環(huán)群與置換群環(huán)與域2半群、獨(dú)異點(diǎn)與群的定義半群、獨(dú)異點(diǎn)、群的實(shí)例群中的術(shù)語群的基本性質(zhì)10.1群的定義與性質(zhì)3半群、獨(dú)異點(diǎn)與群的定義定義10.1(1)設(shè)V=<S,°

>是代數(shù)系統(tǒng)，°為二元運(yùn)算，如果°運(yùn)算是可結(jié)合的，則稱V為半群.(2)設(shè)V=<S,°>是半群，若e∈S是關(guān)于°運(yùn)算的單位元，則稱V

是含幺半群，也叫做獨(dú)異點(diǎn).有時也將獨(dú)異點(diǎn)V記作

V=<S,°,e>.(3)設(shè)V=<S,°>是獨(dú)異點(diǎn)，e

S關(guān)于°運(yùn)算的單位元，若

a

S，a

1

S，則稱V是群.通常將群記作G.4實(shí)例例1

<Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是半群，+是普通加法.這些半群中除<Z+,+>外都是獨(dú)異點(diǎn)5例2

設(shè)G={e,a,b,c}，G上的運(yùn)算由下表給出，稱為Klein四元群

eabceabceabcaecbbceacbae實(shí)例特征：1.滿足交換律2.每個元素都是自己的逆元3.a,b,c中任何兩個元素運(yùn)算結(jié)果都等于剩下的第三個元素6有關(guān)群的術(shù)語定義10.2(1)若群G是有窮集，則稱G是有限群，否則稱為無限群.群G的基數(shù)稱為群G的階，有限群G的階記作|G|.(2)只含單位元的群稱為平凡群.

(3)若群G中的二元運(yùn)算是可交換的，則稱G為交換群或阿貝爾(Abel)群.實(shí)例：<Z,+>和<R,+>是無限群，<Zn,

>是有限群，也是n階群.Klein四元群是4階群.<{0},+>是平凡群.上述群都是交換群，n階(n≥2)實(shí)可逆矩陣集合關(guān)于矩陣乘法構(gòu)成的群是非交換群.7定義10.3

設(shè)G是群，a∈G，n∈Z，則a的n次冪.

群中元素的冪群中元素可以定義負(fù)整數(shù)次冪.在<Z3,

>中有

2

3

=(2

1)3=13=11

1=0

在<Z,+>中有

(2)

3

=23=2+2+2=6

8元素的階定義10.4

設(shè)G是群，a∈G，使得等式ak=e成立的最小正整數(shù)k稱為a的階，記作|a|=k，稱a為k階元.若不存在這樣的正整數(shù)k，則稱a為無限階元.例如，在<Z6,

>中，

2和4是3階元，

3是2階元，

1和5是6階元，

0是1階元.在<Z,+>中，0是1階元，其它整數(shù)的階都不存在.9群的性質(zhì)：冪運(yùn)算規(guī)則定理10.1

設(shè)G為群，則G中的冪運(yùn)算滿足：(1)

a∈G，(a

1)

1=a(2)

a,b∈G，(ab)

1=b

1a

1(3)

a∈G，anam=an+m，n,m∈Z(4)

a∈G，(an)m=anm，n,m∈Z(5)若G為交換群，則(ab)n=anbn.證(1)(a

1)

1是a

1的逆元，a也是a

1的逆元.根據(jù)逆元唯一性，等式得證.(2)(b

1a

1)(ab)=b

1(a

1a)b=b

1b=e,同理(ab)(b

1a

1)=e，故b

1a

1是ab的逆元.根據(jù)逆元的唯一性等式得證.10群的性質(zhì)：方程存在惟一解定理10.2G為群，

a,b∈G，方程ax=b和ya=b在G中有解且僅有惟一解.例3

設(shè)群G=<P({a,b}),

>，其中

為對稱差.解下列群方程：

{a}

X=

，Y

{a,b}=解X={a}

1

={a}

={a}，

Y=

{a,b}

1=

{a,b}={a}證a

1b代入方程左邊的x得

a(a

1b)=(aa

1)b=eb=b所以a

1b是該方程的解.下面證明惟一性.

假設(shè)c是方程ax=b的解，必有ac=b，從而有

c=ec=(a

1a)c=a

1(ac)=a

1b

同理可證ba

1是方程ya=b的惟一解.11群的性質(zhì)：消去律定理10.3

G為群，則G中適合消去律，即對任意a,b,c∈G

有(1)若ab=ac，則b=c.(2)若ba=ca，則b=c.證明略1210.2

子群與群的陪集分解定義10.5

設(shè)G是群，H是G的非空子集，(1)如果H關(guān)于G中的運(yùn)算構(gòu)成群，則稱H是G的子群,記作H≤G.(2)若H是G的子群，且H

G，則稱H是G的真子群，記作H<G.例如nZ(n是自然數(shù))是整數(shù)加群<Z,+>的子群.當(dāng)n≠1時,nZ是Z的真子群.

對任何群G都存在子群.G和{e}都是G的子群，稱為G的平凡子群.

13子群判定定理1定理10.5（判定定理一）設(shè)G為群，H是G的非空子集，則H是G的子群當(dāng)且僅當(dāng)(1)

a,b∈H有ab∈H(2)

a∈H有a

1∈H.14子群判定定理2定理10.6

（判定定理二）設(shè)G為群，H是G的非空子集.H是G的子群當(dāng)且僅當(dāng)

a,b∈H有ab

1∈H.

15典型子群的實(shí)例:生成子群定義10.6

設(shè)G為群，a∈G，令H={ak|k∈Z}，則H是G的子群，稱為由a生成的子群，記作<a>.實(shí)例：例如整數(shù)加群，由2生成的子群是<2>={2k|k∈Z}=2Z<Z6,

>中，由2生成的子群<2>={0,2,4}Klein四元群G={e,a,b,c}的所有生成子群是：

<e>={e},<a>={e,a},<b>={e,b},<c>={e,c}.16陪集定義與實(shí)例定義10.9

設(shè)H是G的子群，a∈G.令

Ha={ha|h∈H}稱Ha是子群H在G中的右陪集.稱a為Ha的代表元素.

例7(1)設(shè)G={e,a,b,c}是Klein四元群，H=<a>是G的子群.H所有的右陪集是：

He={e,a}=H,Ha={a,e}=H,Hb={b,c},Hc={c,b}不同的右陪集只有兩個，即H和{b,c}.17實(shí)例(2)設(shè)A={1,2,3}，f1,f2,…,f6是A上的雙射函數(shù).其中

f1={<1,1>,<2,2>,<3,3>}，f2={<1,2>,<2,1>,<3,3>}

f3={<1,3>,<2,2>,<3,1>}，f4={<1,1>,<2,3>,<3,2>}

f5={<1,2>,<2,3>,<3,1>}，f6={<1,3>,<2,1>,<3,2>}令G={f1,f2,…,f6}，則G關(guān)于函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算構(gòu)成群.考慮G的子群H={f1,f2}.做出H的全體右陪集如下：

Hf1={f1

f1,f2

f1}=H,Hf2={f1

f2,f2

f2}=H

Hf3={f1

f3,f2

f3}={f3,f5},Hf5={f1

f5,f2

f5}={f5,f3}

Hf4={f1

f4,f2

f4}={f4,f6},Hf6={f1

f6,f2

f6}={f6,f4}結(jié)論：Hf1=Hf2，Hf3=Hf5，Hf4=Hf6.18左陪集的定義與性質(zhì)設(shè)G是群，H是G的子群，H的左陪集，即

aH={ah|h∈H}，a∈G

19Lagrange定理定理10.12

（Lagrange）設(shè)G是有限群，H是G的子群，則

|G|=|H|·[G:H]其中[G:H]是H在G中的不同右陪集(或左陪集)數(shù)，稱為H在G中的指數(shù).證設(shè)[G:H]=r，a1,a2,…,ar分別是H的r個右陪集的代表元素，

G=Ha1∪Ha2∪…∪Har

|G|=|Ha1|+|Ha2|+…+|Har|由|Hai|=|H|，i=1,2,…,r,得

|G|=|H|·r=|H|·[G:H]2010.3

循環(huán)群與置換群定義10.10

設(shè)G是群，若存在a∈G使得

G={ak|k∈Z}則稱G是循環(huán)群，記作G=<a>，稱a為G的生成元.

循環(huán)群的分類：n階循環(huán)群和無限循環(huán)群.

設(shè)G=<a>是循環(huán)群，若a是n階元，則

G={a0=e,a1,a2,…,an

1}那么|G|=n，稱G為n階循環(huán)群.若a是無限階元，則

G={a0=e,a±1,a±2,…}稱G為無限循環(huán)群.

21循環(huán)群的生成元定理10.13

設(shè)G=<a>是循環(huán)群.

(1)若G是無限循環(huán)群，則G只有兩個生成元，即a和a

1.

(2)若G是n階循環(huán)群，則G含有

(n)個生成元.對于任何小于n且與n互質(zhì)的數(shù)r∈{0,1,…,n-1},ar是G的生成元.

(n)成為歐拉函數(shù)，例如n=12，小于或等于12且與12互素的正整數(shù)有4個：

1,5,7,11，所以

(12)=4.

22證明證(1)顯然<a

1>

G.

ak∈G，

ak=(a

1)

k

<a

1>，因此G

<a

1>，a

1是G的生成元.再證明G只有a和a

1這兩個生成元.假設(shè)b也是G的生成元，則

G=<b>.由a∈G可知存在整數(shù)t使得a=bt.由b∈G=<a>知存在整數(shù)m使得b=am.從而得到

a=bt=(am)t=amt由G中的消去律得

amt

1=e因?yàn)镚是無限群，必有mt

1=0.從而證明了m=t=1或m=t=

1，即b=a或b=a

123(2)只須證明：對任何正整數(shù)r(r≤n)，

ar是G的生成元

n與r互質(zhì).

充分性.設(shè)r與n互質(zhì)，且r≤n，那么存在整數(shù)u和v使得

ur+vn=1從而a=aur+vn=(ar)u(an)v=(ar)u這就推出

ak∈G，ak

=(ar)uk∈<ar>，即G

<ar>.另一方面，顯然有<ar>

G.從而G=<ar>.必要性.設(shè)ar是G的生成元，則|ar|=n.令r與n的最大公約數(shù)為d，則存在正整數(shù)t使得r=dt.因此,|ar|是n/d的因子，即n整除n/d.從而證明了d=1.證明24實(shí)例例10(1)設(shè)G={e,a,…,a11}是12階循環(huán)群，則

(12)=4.小于12且與12互素的數(shù)是1,5,7,11,由定理10.13可知a,a5,

a7

和a11是G的生成元.(2)設(shè)G=<Z9,

>是模9的整數(shù)加群，則

(9)=6.小于9且與9互素的數(shù)是1,2,4,5,7,8.根據(jù)定理10.13，G的生成元是1,2,4,5,7和8.(3)設(shè)G=3Z={3z|z∈Z},G上的運(yùn)算是普通加法.那么G只有兩個生成元：3和

3.25n元置換及乘法定義10.11

設(shè)S={1,2,…,n},S上的任何雙射函數(shù)σ:S→S稱為S上的n元置換.例如S={1,2,3,4,5},下述為5元置換定義10.12

設(shè)σ,τ是n元置換,σ和τ的復(fù)合σ

°τ也是n元置換,稱為σ與τ的乘積,記作στ.例如

26n元置換的輪換表示設(shè)S={1,2,…,n}，對于任何S上的n元置換

,存在著一個有限序列i1,i2,…,ik,k≥1,(可以取i1=1)使得

(i1)=i2,

(i2)=i3,…,

(ik

1)=ik,

(ik)=i1令

1=(i1

i2…ik),是

分解的第一個輪換.將

寫作

1,

繼續(xù)對

分解.由于S只有n個元素,經(jīng)過有限步得到

=

1

2…

t輪換分解式的特征輪換的不交性分解的惟一性:若

=

1

2…

t

和

=

1

2…

s

是

的兩個輪換表示式，則有

{

1,

2,…,

t}={

1,

2,…,

s}27例12

設(shè)S={1,2,…,8},

則輪換分解式為：

=(15236)(4)(78)=(15236)(78)

=(18342)(567)

實(shí)例28置換的對換分解設(shè)S={1,2,…,n}，

=(i1

i2…ik)是S上的k階輪換，

可以進(jìn)一步表成對換之積，即

(i1

i2…ik)=(i1

i2)(i1i3)…(i1

ik)任何n元置換表成輪換之積，然后將每個輪換表成對換之積.例如8元置換

=(15236)(78)=(15)(12)(13)(16)(78)

=(18342)(567)=(18)(13)(14)(12)(56)(57)2910.4環(huán)與域

定義10.12

設(shè)<R,+,·>是代數(shù)系統(tǒng)，+和·是二元運(yùn)算.如果滿足以下條件:(1)<R,+>構(gòu)成交換群(2)<R,·>構(gòu)成半群(3)·運(yùn)算關(guān)于+運(yùn)算適合分配律則稱<R,+,·>是一個環(huán).通常稱+運(yùn)算為環(huán)中的加法，·運(yùn)算為環(huán)中的乘法.環(huán)中加法單位元記作0，乘法單位元（如果存在）記作1.對任何元素x，稱x的加法逆元為負(fù)元，記作

x.若x存在乘法逆元的話，則稱之為逆元，記作x

1.30環(huán)的實(shí)例例15(1)整數(shù)集、有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集和復(fù)數(shù)集關(guān)于普通的加法和乘法構(gòu)成環(huán)，分別稱為整數(shù)環(huán)Z，有理數(shù)環(huán)Q，實(shí)數(shù)環(huán)R

和復(fù)數(shù)環(huán)C.(2)設(shè)Zn＝{0,1,...,n－1}，

和

分別表示模n的加法和乘法，則<Zn,

,

>構(gòu)成環(huán)，稱為模n的整數(shù)環(huán).31特殊的環(huán)定義10.13

設(shè)<R,+,·>是環(huán)(1)若環(huán)中乘法·適合交換律，則稱R是交換環(huán)(2)若環(huán)中乘法·存在單位元，則稱R是含幺環(huán)(3)若

a,b∈R，ab=0

a=0∨b=0，則稱R是無零因子環(huán)(4)若R既是交換環(huán)、含幺環(huán)、無零因子環(huán)，則稱R是整環(huán)(5)設(shè)R是整環(huán)，且R中至少含有兩個元素.若

a∈R*，其中

R*=R

{0}，都有a－1∈R，則稱R是域.32例17(1)整數(shù)環(huán)Z、有理數(shù)環(huán)Q、實(shí)數(shù)環(huán)R、復(fù)數(shù)環(huán)C都是交換環(huán),含幺環(huán),無零因子環(huán)和整環(huán).除了整數(shù)環(huán)以外都是域.(2)令2Z={2z|z∈Z}，則<2Z,+,·>構(gòu)成交換環(huán)和無零因子環(huán).

但不是含幺環(huán)和整環(huán).(3)<Z6,

,

>構(gòu)成環(huán)，它是交換環(huán),含幺環(huán),但不是無零因子環(huán)和整環(huán).2

3=3

2=0，2和3是零因子.注意：對于一般的n,Zn是整環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)n是素?cái)?shù).實(shí)例33第十章習(xí)題課主要內(nèi)容半群、獨(dú)異點(diǎn)與群的定義群的基本性質(zhì)子群的判別定理陪集的定義及其性質(zhì)拉格朗日定理及其應(yīng)用循環(huán)群的生成元和子群環(huán)的定義與性質(zhì)特殊的環(huán)34基本要求判斷或證明給定集合和運(yùn)算是否構(gòu)成半群、獨(dú)異點(diǎn)和群熟悉群的基本性質(zhì)能夠證明G的子集構(gòu)成G的子群熟悉陪集的定義和性質(zhì)熟悉拉格朗日定理及其推論，學(xué)習(xí)簡單應(yīng)用會求循環(huán)群的生成元熟悉n元置換的表示方法、乘法能判斷給定代數(shù)系統(tǒng)是否為環(huán)和域35練習(xí)11.判斷下列集合和運(yùn)算是否構(gòu)成半群、獨(dú)異點(diǎn)和群.(1)a

是正整數(shù)，G={an|n

Z},運(yùn)算是普通乘法.(2)Q+是正有理數(shù)集，運(yùn)算為普通加法.(3)一元實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的集合關(guān)于多項(xiàng)式加法.解(1)是半群、獨(dú)異點(diǎn)和群(2)是半群但不是獨(dú)異點(diǎn)和群(3)是半群、獨(dú)異點(diǎn)和群方法：根據(jù)定義驗(yàn)證，注意運(yùn)算的封閉性362.設(shè)V1=<Z,+>,V2=<Z,

>,其中Z為整數(shù)集合,+和

分別代表普通加法和乘法.判斷下述集合S是否構(gòu)成V1和V2的子半群和子獨(dú)異點(diǎn).(1)S={2k|k

Z}(2)S={2k+1|k

Z}(3)S={1,0,1}解(1)S關(guān)于V1構(gòu)成子半群和子獨(dú)異點(diǎn)，但是關(guān)于V2僅構(gòu)成子半群(2)S關(guān)于V1不構(gòu)成子半群也不構(gòu)成子獨(dú)異點(diǎn)，S關(guān)于V2構(gòu)成子半群和子獨(dú)異點(diǎn)(3)S關(guān)于V1不構(gòu)成子半群和子獨(dú)異點(diǎn)，關(guān)于V2構(gòu)成子半群和子獨(dú)異點(diǎn)練習(xí)2373.設(shè)Z18

為模18整數(shù)加群,求所有元素的階.解：|0|=1,|9|=2，|6|=|12|=3,|3|=|15|=6,|2|=|4|=|8|=|10|=|14|=|16|=9,|1|=|5|=|7|=|11|=|13|=|17|=18,練習(xí)3說明：群中元素的階可能存在，也可能不存在.對于有限群，每個元素的階都存在，而且是群的階的因子.對于無限群，單位元的階存在，是1；而其它元素的階可能存在，也可能不存在.（可能所有元素的階都存在，但是群還是無限群）.384．證明偶數(shù)階群必含2階元.

由x2=e

|x|=1或2.換句話說,對于G中元素x，如果|x|>2,必有x

1

x.由于|x|=|x

1|，階大于2的元素成對出現(xiàn)，共有偶數(shù)個.那么剩下的1階和2階元總共應(yīng)該是偶數(shù)個.1階元只有1個，就是單位元，從而證明了G中必有2階元.練習(xí)439有關(guān)群性質(zhì)的證明方法有關(guān)群的簡單證明題的主要類型證明群中的元素某些運(yùn)算結(jié)果相等證明群中的子集相等證明與元素的階相關(guān)的命題.證明群的其它性質(zhì)，如交換性等.常用的證明手段或工具是算律：結(jié)合律、消去律和特殊元素相關(guān)的等式，如單位元、逆元等冪運(yùn)算規(guī)則和元素的階相關(guān)的性質(zhì).特別地，a為1階或2階元的充分必要條件是a

1=a.40證明方法證明群中元素相等的基本方法就是用結(jié)合律、消去律、單位元及逆元的惟一性、群的冪運(yùn)算規(guī)則等對等式進(jìn)行變形和化簡.證明子集相等的基本方法就是證明兩個子集相互包含證明與元素的階相關(guān)的命題，如證明階相等，階整除等.證明兩個元素的階r和s相等或證明某個元素的階等于r，基本方法是證明相互整除.在證明中可以使用結(jié)合律、消去律、冪運(yùn)算規(guī)則以及關(guān)于元素的階的性質(zhì).特別地，可能用到a為1階或2階元的充分必要條件是a

1=a.41練習(xí)55．設(shè)G為群，a是G中的2階元，證明G中與a可交換的元素構(gòu)成G的子群.證令H={x|x

G

xa=ax},下面證明H是G的子群.首先e屬于H，H是G的非空子集.任取x,y

H，有

(xy

1)a=x(y

1a)=x(a

1y)

1=x(ay)

1

=x(ya)

1

=xa

1y

1

=xay

1=axy

1

=a(xy

1)因此xy

1屬于H.由判定定理命題得證.分析：證明子群可以用判定定理，特別是判定定理二.證明的步驟是：驗(yàn)證H非空任取x,y

H，證明xy

1

H426.(1)設(shè)G為模12加群,求<3>在G中所有的左陪集(2)設(shè)X={x|x

R,x

0,1},在X上如下定義6個函數(shù)：

f1(x)=x，f2(x)=1/x,f3(x)=1x,f4(x)=1/(1x),f5(x)=(x

1)/x,f6(x)=x/(x

1),

則G={f1,f2,f3,f4,f5,f6}關(guān)于函數(shù)合成運(yùn)算構(gòu)成群.求子群H={f1,f2}的所有的右陪集.練習(xí)6解(1)<3>={0,3,6,9},<3>的不同左陪集有3個，即

0+<3>=<3>,1+<3>=4+<3>=7+<3>=10+<3>={1,4,7,10},2+<3>=5+<3>=8+<3>=11+<3>={2,5,8,11}.(2){f1,f2}有3個不同的陪集，它們是：

H，Hf3={f3,f5},Hf4={f4,f6}.437．設(shè)H1,H2分別是群G的r,s

階子群，若(r,s)=1，證明H1

H2={e}.練習(xí)7證H1

H2≤H1，H1

H2≤H2.由Lagrange定理，|H1

H2|整除r，也整除s.從而|H1

H2|整除r與s的最大公因子.因?yàn)?r,s)=1,從而|H1

H2|=1.即H1

H2={e}.某些有用的數(shù)量結(jié)果：設(shè)a是群G元素，C為G的中心

N(a)={x|x

G,xa=ax}，|C|是|N(a)|和|G|的因子，|a|是|N(a)|和|G|的因子|H|=|xHx

1||an|是|a|的因子a2=e

a=a

1

|a|=1,2448．設(shè)i

為虛數(shù)單位，即i

2=

1,令則G關(guān)于矩陣乘法構(gòu)成群.找出G的所有子群.

,練習(xí)8解令A(yù),B,C,D分別為G的子群有6個，即平凡子群：<A>={A},G

2階子群：<-A>={A,-A},4階子群：<B>={A,B,-A,-B},<C>={A,C,-A,-C},<D>={A,D,-A,-D},

459．設(shè)群G的運(yùn)算表如表所示，問G是否為循環(huán)群？如果是，求出它所有的生成元和子群.練習(xí)9解易見a為單位元.由于|G|=6,|b|=6,所以b為生成元.G=<b>為循環(huán)群.|f|=6,

因而f也是生成元|c|=3,|d|=2,|e|=3,因此c,d,e不是生成元.子群：<a>={a},<c>={c,e,a},<d>={d,