以待定系數(shù)法為舟，累加法為槳，徹底解決錯位相減法的化簡問題以待定系數(shù)法為舟，累加法為槳，徹底解決錯位相減法的化簡問題導(dǎo)讀錯位相減求和法在數(shù)列求和的考題中，算是經(jīng)常出現(xiàn)的一類了，它的難點主要在于“錯位相減”的計算過程以及對含有指數(shù)式的結(jié)果的化簡過程，很多同學(xué)對于這兩個難點，始終沒法很好地突破；既然我們無法突破這兩個難點，那么我們何不換一種思路，將所有能夠使用錯位相減的數(shù)列利用待定系數(shù)法化簡成：“[A(n+1)+B]q5+1-(An+B)qAn+1”這種遞推數(shù)列，然后利用累加法求出數(shù)列的前n項和呢?因此在今天的內(nèi)容中，葉老師將分為“等差x等比”型數(shù)列詳細(xì)的化簡過程與例題詳解等兩個方面進(jìn)行講解。一、“等差X等比”型數(shù)列詳細(xì)的化簡過程我們說任何指數(shù)式“AqAn”都能化成HA(qAn+1-qAn)H的形式，那么對于形如“一次函數(shù)X指數(shù)函數(shù)〃這樣的式子，是否也能像任何指數(shù)式那樣化簡成兩個式子相減的遞推形式呢？我們來嘗試一下：首先我們先得明確：對于任意—次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)”的式亍都可以寫出：+8)/'的形式我們令其為'[A(n+1)+B]q"+I-(An+8過接者使用待定系數(shù)法將A,H求出來，過程如昌L1對于前面[A(n+1)+B]q〃村的部分，我們分一個。到中括號里可得[Aq(n+1)+Hq)q"帶入“[A(n+1)+B]q"+'-Wn+初中可得+4q+伽-/In-月)L1進(jìn)一步化簡*q"[(4q-A)n+Aq+Bq一ff)Ll接著將化簡后的式了?與原式比較系數(shù)可得：k=』q-瓦方=+3q-月于是便可利用於依表示4,&從而將任何可以用錯位相減求和的數(shù)列都化簡成[A(n+1)+B]q"+I-Un+2)q"這樣的遞推形式最終利用累加法求解數(shù)列的前門項和PS:有同學(xué)可能會這樣問：為何不簡單點直接提取“(kn+b)〃將數(shù)列直接化簡成(kn+b)xCqAn+1-qA)的形式呢？其實原因很簡單，這樣化簡雖然簡單易懂，但是它缺少了“遞推”這個靈魂，我們說遞推關(guān)系指的是“a+1-an”的關(guān)系，因此式子的被減數(shù)一定得出現(xiàn)(n+1)這樣的字眼，減數(shù)一定得出現(xiàn)n這樣的字眼，這樣我們才能利用累加法消去中間的項，進(jìn)行求和運算！二、具體例題詳解下面葉老師將用錯位相減法與待定系數(shù)累加法分別解同樣的一道題目，大家可以比較一樣這兩種方法：例題:記sn是數(shù)列｛如｝的前仇項和,如=伽一1),3吃求Sn，先用傳統(tǒng)的錯位相減法:f伽一1)?3：,LS“=lx：F+3x：F+5x3:t+,.+(2riT)，耕，：招片=]>；3，+3乂中+5)<3'+?+(對一1)、3n+1f-25n=lx3l+2x32+2x33+..+2x3tF-(2n-l)-3n+,=3+2x11^—(21}5=3一9([_j11*1)一(2/7一1)3”' 化簡過程著實麻煩=-6+3刁一(2/7-1)3"“提取3相可得=-G4-(2-2n)-3nH對式了同除-2二S,=(n_I).：*+：+3綜上所述，結(jié)論是：$.=(□-】)?3?+3因此當(dāng)我們使用錯位相減法解完這道題后，我們便會發(fā)現(xiàn)：錯位相減法本身機(jī)制雖然很簡單，就是同乘公比之后的式子與原式錯位相減，形成等比求和的模式，但是對于結(jié)果的化簡就顯得非常復(fù)雜了，同學(xué)們必須能夠巧用因式分解的手法進(jìn)行化簡，并且在計算過程中還必須不斷去括號，還需要每項正負(fù)號的變化，著實麻煩！再用今天的待定系數(shù)累加法進(jìn)行求解:令況=[A(n+l)+B]3/?+1-(An+8)3〃=3n1(2An+34+IB}lJ比較系數(shù)可得2/J=2,3』+2/i=-1所以：/f=1, =-2因此an二(n—1)3"“一3-2)3〃Li令s=(hT)3"“二知n=cn-cr?-1根據(jù)累加法可得打2+方3+]4??‘?，?4-an-cn-cl所以】Sn=al+c/7-cl=(n-l)3/?+l一0+3=(n-l)3；?+l+3這樣便町一步到位，解決戰(zhàn)斗，無需化簡過程因此當(dāng)我們使用待定系數(shù)法為舟將數(shù)列化簡成遞推形式的數(shù)列，并用累加法為槳求解數(shù)列前n項和之后，就完全省略了化簡步驟，直接一步到位寫出答案!寫在文末到這里，本期內(nèi)容也將告一段落了。詩人陸游的名句“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村〃告訴我們有時候轉(zhuǎn)變一個思維去看待一個問題，也許能夠更好地看清問題的本質(zhì)，并解決這個問題，同樣道理，對待錯位相減法求和也是一樣，既然我們老是化簡不清計算結(jié)果，那么我們何不變化一個思維去考慮問題呢？數(shù)列求和的方法就數(shù)裂項相消與累加法