PAGE微專題49等差數(shù)列性質(zhì)一、基礎知識：1、定義：數(shù)列SKIPIF1<0若從第二項開始，每一項與前一項的差是同一個常數(shù)，則稱SKIPIF1<0是等差數(shù)列，這個常數(shù)稱為SKIPIF1<0的公差，通常用SKIPIF1<0表示2、等差數(shù)列的通項公式：SKIPIF1<0，此通項公式存在以下幾種變形：（1）SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0：已知數(shù)列中的某項SKIPIF1<0和公差即可求出通項公式（2）SKIPIF1<0：已知等差數(shù)列的兩項即可求出公差，即項的差除以對應序數(shù)的差（3）SKIPIF1<0：已知首項，末項，公差即可計算出項數(shù)3、等差中項：如果SKIPIF1<0成等差數(shù)列，則SKIPIF1<0稱為SKIPIF1<0的等差中項（1）等差中項的性質(zhì)：若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的等差中項，則有SKIPIF1<0即SKIPIF1<0（2）如果SKIPIF1<0為等差數(shù)列，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為SKIPIF1<0的等差中項（3）如果SKIPIF1<0為等差數(shù)列，則SKIPIF1<0注：①一般情況下，等式左右所參與項的個數(shù)可以是多個，但要求兩邊參與項的個數(shù)相等。比如SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0不一定成立②利用這個性質(zhì)可利用序數(shù)和與項數(shù)的特點求出某項。例如：SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0，這種做法可稱為“多項合一”4、等差數(shù)列通項公式與函數(shù)的關(guān)系：SKIPIF1<0，所以該通項公式可看作SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的一次函數(shù)，從而可通過函數(shù)的角度分析等差數(shù)列的性質(zhì)。例如：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0遞增；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0遞減。5、等差數(shù)列前SKIPIF1<0項和公式：SKIPIF1<0，此公式可有以下變形：（1）由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，作用：在求等差數(shù)列前SKIPIF1<0項和時，不一定必須已知SKIPIF1<0，只需已知序數(shù)和為SKIPIF1<0的兩項即可（2）由通項公式SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0作用：①這個公式也是計算等差數(shù)列前SKIPIF1<0項和的主流公式②SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是關(guān)于項數(shù)SKIPIF1<0的二次函數(shù)SKIPIF1<0，且不含常數(shù)項，可記為SKIPIF1<0的形式。從而可將SKIPIF1<0的變化規(guī)律圖像化。（3）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0而SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中間項，所以此公式體現(xiàn)了奇數(shù)項和與中間項的聯(lián)系當SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，即偶數(shù)項和與中間兩項和的聯(lián)系6、等差數(shù)列前SKIPIF1<0項和的最值問題：此類問題可從兩個角度分析，一個角度是從數(shù)列中項的符號分析，另一個角度是從前SKIPIF1<0項和公式入手分析（1）從項的特點看最值產(chǎn)生的條件，以4個等差數(shù)列為例：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0通過觀察可得：SKIPIF1<0為遞增數(shù)列，且SKIPIF1<0，所以所有的項均為正數(shù)，前SKIPIF1<0項和只有最小值，即SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0中的項均為負數(shù)，所以前SKIPIF1<0項和只有最大值，即SKIPIF1<0。而SKIPIF1<0雖然是遞減數(shù)列，但因為SKIPIF1<0，所以直到SKIPIF1<0，從而前4項和最大，同理，SKIPIF1<0的前5項和最小。由此可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：對于等差數(shù)列，當首項與公差異號時，前SKIPIF1<0項和的最值會出現(xiàn)在項的符號分界處。（2）從SKIPIF1<0的角度：通過配方可得SKIPIF1<0，要注意SKIPIF1<0，則可通過圖像判斷出SKIPIF1<0的最值7、由等差數(shù)列生成的新等差數(shù)列（1）在等差數(shù)列SKIPIF1<0中，等間距的抽出一些項所組成的新數(shù)列依然為等差數(shù)列例如在SKIPIF1<0，以3為間隔抽出的項SKIPIF1<0仍為等差數(shù)列。如何判定等間距：序數(shù)成等差數(shù)列，則項之間等間距（2）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則相鄰SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0成等差數(shù)列（3）已知SKIPIF1<0為等差數(shù)列，則有：①SKIPIF1<0為等差數(shù)列，其中SKIPIF1<0為常數(shù)②SKIPIF1<0為等差數(shù)列，其中SKIPIF1<0為常數(shù)③SKIPIF1<0為等差數(shù)列①②③可歸納為SKIPIF1<0也為等差數(shù)列8、等差數(shù)列的判定：設數(shù)列SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0（1）定義（遞推公式）：SKIPIF1<0（2）通項公式：SKIPIF1<0（關(guān)于SKIPIF1<0的一次函數(shù)或常值函數(shù)）（3）前SKIPIF1<0項和公式：SKIPIF1<0注：若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0從第二項開始呈現(xiàn)等差關(guān)系（4）對于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即從第二項開始，每一項都是相鄰兩項的等差中項二、典型例題：例1：設等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_________思路：由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0。而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不是各項為0的常數(shù)列，考慮SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0小煉有話說：關(guān)于等差數(shù)列錢前SKIPIF1<0項和還有這樣兩個結(jié)論：（1）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（本題也可用此結(jié)論：SKIPIF1<0，從而利用奇數(shù)項和與中間項的關(guān)系可得SKIPIF1<0）（2）若SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0例2：已知數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_______思路：條件與所求都是“SKIPIF1<0”的形式，由SKIPIF1<0為等差數(shù)列可得SKIPIF1<0也為等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的等差中項，從而可求出SKIPIF1<0的值解：SKIPIF1<0為等差數(shù)列SKIPIF1<0也為等差數(shù)列SKIPIF1<0SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0例3：設SKIPIF1<0為等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路一：已知等差數(shù)列兩個條件即可嘗試求通項公式，只需將已知等式寫成關(guān)于SKIPIF1<0的方程，解出SKIPIF1<0后即可確定通項公式或者數(shù)列中的項解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0思路二：本題還可抓住條件間的聯(lián)系簡化運算。已知SKIPIF1<0，從而聯(lián)想到SKIPIF1<0可用SKIPIF1<0表示，即SKIPIF1<0，所以等式變?yōu)椋篠KIPIF1<0，所以可得SKIPIF1<0。SKIPIF1<0答案：A小煉有話說：思路一為傳統(tǒng)手段，通常將已知兩個等式變形為SKIPIF1<0的二元方程，便可求解。但如果能夠觀察出條件間的聯(lián)系，往往能通過巧妙的變形簡化計算過程。在平時的練習中建議大家多嘗試思路二的想法，努力找到條件間的聯(lián)系，靈活利用等差數(shù)列性質(zhì)進行變形。而思路一可作為“預備隊”使用。例4：在等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值等于（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：由SKIPIF1<0觀察到SKIPIF1<0的特點，所以考慮數(shù)列SKIPIF1<0的性質(zhì)，由等差數(shù)列前SKIPIF1<0項和特征SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，從而可判定SKIPIF1<0為等差數(shù)列，且可得公差SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0答案：B例5：已知SKIPIF1<0為等差數(shù)列，且前SKIPIF1<0項和分別為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_____思路：，所求SKIPIF1<0可發(fā)現(xiàn)分子分母的項序數(shù)相同，結(jié)合條件所給的是前SKIPIF1<0項和的比值?？紤]利用中間項與前SKIPIF1<0項和的關(guān)系，有：SKIPIF1<0，將項的比值轉(zhuǎn)化為數(shù)列和的比值，從而代入SKIPIF1<0即可求值：SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0小煉有話說：等差數(shù)列中的項與以該項為中間項的前SKIPIF1<0項和可搭建橋梁：SKIPIF1<0，這個橋梁往往可以完成條件中有關(guān)數(shù)列和與項之間的相互轉(zhuǎn)化。例6：已知等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則此數(shù)列前SKIPIF1<0項和等于（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：求前30項和，聯(lián)想到公式SKIPIF1<0，則只需SKIPIF1<0。由條件可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0答案：D例7：已知等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為___________思路：條件為相鄰4項和，從而考慮作差能解出數(shù)列的公差：SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，考慮SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0小煉有話說：本題在解題過程中突出一個“整體”的思想，將每一個四項和都視為整體，同時在等差數(shù)列中相鄰SKIPIF1<0項和的差與公差相關(guān)，從而解出公差并求出表達式的值例8：等差數(shù)列SKIPIF1<0有兩項SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，則該數(shù)列前SKIPIF1<0項之和為（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：可根據(jù)已知兩項求出公差，進而求出SKIPIF1<0的通項公式，再進行求和即可解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0答案：C例9：在等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，若其前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，那么當SKIPIF1<0取最大值時，SKIPIF1<0的值為（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路一：考慮從SKIPIF1<0的項出發(fā)，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0最大思路二：也可從SKIPIF1<0的圖像出發(fā)，由SKIPIF1<0可得SKIPIF