第十一講：染色與操作問題第十一講：染色與操作問題一、染色問題這里的染色問題不是要求如何染色，然后問有多少種染色方法的那類題目，它指的是一種解題方法.染色方法是一種將題目研究對象分類的形象化方法，通過將問題中的對象適當染色，我們可以更形象地觀察分析出其中所蘊含的關系，再經過一定的邏輯推理，便能得出問題的答案.這類問題不需要太多的數學知識，但技巧性，邏輯性較強，要注意學會幾種典型的染色問題.二、操作問題實際操作與策略問題這類題目能夠很好的提高學生思考問題的能力，激發(fā)學生探索數學規(guī)律的興趣，并通過尋找最正確策略過程，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維能力，這也是各類考試命題者青睞的這類題目的原因。模塊一、染色問題六年級一班全班有35名同學，共分成5排，每排7人，坐在教室里，每個座位的前后左右四個位置都叫做它的鄰座．如果要讓這35名同學各人都恰好坐到他的鄰座上去，能辦到嗎"為什么？劃一個5×7的方格表，其中每一個方格表示一個座位．將方格黑白相間地染上顏色，這樣黑色座位與白色座位都成了鄰座．因此每位同學都坐到他的鄰座相當于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格．而實際圖中有17個黑格18個白格，個數不等，故不能辦到．右圖是*一湖泊的平面圖，圖中所有曲線都是湖岸.(1)如果P點在岸上，則A點是在岸上還是在水中？(2)*人過此湖泊，他下水時脫鞋，上岸時穿鞋.如果他從A點出發(fā)走到*點B，他穿鞋與脫鞋的總次數是奇數，則B點是在岸上還是在水中？為什么？〔1〕P點在陸地上，如果在圖上用陰影表示陸地，就可以看出A點在水中.〔2〕從水中經過一次陸地到水中，脫鞋與穿鞋的次數的和為2，由于A點在水中，所以不管怎么走，走在水中時，脫鞋、穿鞋的次數的和總是偶數.既然題中說“脫鞋的次數與穿鞋的次數的和是個奇數〞，則B點必定在岸上.*班有45名同學按9行5列坐好．教師想讓每位同學都坐到他的鄰座(前后左右)上去，問這能否辦到"將5×9長方形自然染色，發(fā)現黑格的鄰座都是白格，白格的鄰座都是黑格，因此每位同學都坐到他的鄰座相當于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格．而實際圖中有23個黑格22個白格，個數不等，故不能辦到．右圖是*一套房子的平面圖，共12個房間，每相鄰兩房間都有門相通．請問：你能從*個房間出發(fā)，不重復地走完每個房間嗎"如下圖，將房間黑白相間染色，發(fā)現只有5個白格，7個黑格．因為每次只能由黑到白或由白到黑，路線必然黑白相問，顯然應該從多的白格開場．但路線上1白1黑1白1黑……直到5白5黑后還余2黑，不可能從黑格到黑格，故無法實現不重復走遍．【穩(wěn)固】有一次車展共6×6=36個展室，如右圖，每個展室與相鄰的展室都有門相通，入口和出口如下圖．參觀者能否從入口進去，不重復地參觀完每個展室再從出口出來"如右下列圖，對每個展室黑白相間染色，同樣每次只能黑格到白格或白格到黑格．入口和出口處都是白格，故路線黑白相間，首尾都是白格，于是應該白格比黑格多1個，而實際上白格、黑格都是18個，故不可能做到不重復走遍每個展室．在一個正方形的果園里，種有63棵果樹，加上右下角的一間小屋，整齊地排列成八行八列，如圖〔1〕.守園人從小屋出發(fā)經過每一棵樹，不重復也不遺漏(不許斜走)，最后又回到小屋，行嗎？如果有80棵果樹，如圖〔2〕，連小屋排成九行九列呢？下列圖(1)中可以回到小屋，守園人只能黑白相間地走，走到的第奇數棵樹是白的，第偶數棵樹是黑的，走到第63棵樹應是白的，在小屋相鄰的樹都標注白色，所以可以回到小屋.圖(2)不行,從小屋出發(fā),當走到80棵樹應是黑色,而黑樹與小木屋不相鄰，無法直接回到小木屋.右圖是半中國象棋盤，棋盤上已放有一只馬.眾所周知，馬是走“日〞字的.請問：這只馬能否不重復地走遍這半棋盤上的每一個點，然后回到出發(fā)點？馬走“日〞字，在中國象棋盤上走有什么規(guī)律呢？為方便研究規(guī)律，如下列圖所示，先在棋盤各交點處相間標上○和●，圖中共有22個○和23個●.因為馬走“日〞字，每步只能從○跳到●，或由●跳到○，所以馬從*點跳到同色的點〔指○或●〕，要跳偶數步；跳到不同色的點，要跳奇數步。現在馬在○點，要跳回這一點，應跳偶數步，可是棋盤上共有23+22=45〔個〕點，不可能做到不重復地走遍所有的點后回到出發(fā)點.如果馬的出發(fā)點不是在○點上而是在●點上，則這只馬能不能不重復地走遍這半棋盤上的每個點，最后回到出發(fā)點上呢？按照上面的分析，顯然也是不可能的.但是如果放棄“回到出發(fā)點〞的要求，則情況就不一樣了.從*點出發(fā)，跳遍半棋盤上除起點以外的其它44點，要跳44步，44是偶數，所以起點和終點應是同色的點〔指○或●〕.因為44步跳過的點○與點●各22個，所以起點必是●，終點也是●.也就說是，當不要求回到出發(fā)點時，只要從●出發(fā)，就可以不重復地走遍半棋盤上的所有點.右圖是由14個大小一樣的方格組成的圖形.試問能不能剪裁成7個由相鄰兩方格組成的長方形？將這14個小方格黑白相間染色〔見右下列圖〕，有8個黑格，6個白格.相鄰兩個方格必然是一黑一白，如果能剪裁成7個小長方形，則14個格應當是黑、白各7個，與實際情況不符，所以不能剪裁成7個由相鄰兩個方格組成的長方形.右圖是由40個小正方形組成的圖形，能否將它剪裁成20個一樣的長方形？將40個小正方形想剪裁成20個一樣的長方形，就是將圖形分割成20個1×2的長方形，將其黑白相間染色后，發(fā)現有21黑，19白，黑白格數不等，而1×2的小矩形一次覆蓋黑白格各一個.下面的三個圖形都是從4×4的正方形紙片上剪去兩個1×1的小方格后得到的.問：能否把它們分別剪成1×2的七個小矩形.如右上圖，〔1〕能，黑白格數相等；〔2〕〔3〕不能，黑白格數不等，而1×2的小矩形一次覆蓋黑白格各一個.用11個和5個能否蓋住8×8的大正方形"如右圖，對8×8正方形黑白相問染色后，發(fā)現必然蓋住2白2黑，5個則蓋住10白10黑．則蓋住了3白1黑或3黑1白，從奇偶性考慮，都是奇數．而這種形狀共11個，奇數個奇數相加仍為奇數，故這種形狀蓋住的黑格和白格都是奇數，加另一種形狀的10白10黑，兩種形狀共蓋住奇數個白格奇數個黑格．但實際染色后共32個白格32個黑格，故不可能按題目要求蓋?。ⅲ捍祟}中每個蓋3白1黑或3黑1白，11個這種形狀蓋住的不一定是33白11黑或33黑11白，因為可能一局部蓋3白1黑，另一局部蓋3黑1白.這是一個容易犯錯的地方.能否用9個所示的卡片拼成一個6×6的棋盤？不能.將6×6的棋盤黑白相間染色〔見右圖〕，有18個黑格.每卡片蓋住的黑格數不是1就是3，9卡片蓋住的黑格數之和是奇數，不可能蓋住18個黑格.9個1×4的長方形不能拼成一個6×6的正方形，請你說明理由！此題假設用傳統(tǒng)的自然染色法，不能說明問題.我們對6×6正方形用四種顏色染色，因為要用1×4來覆蓋．為了方便起見，這里用1、2、3、4分別代表四種顏色．也為了使每個1×4長方形在任何位置蓋住的都一樣，我們采用沿對角線染色，如右圖．這樣，可以發(fā)現無論將1×4長方形放于何處，蓋住的必然是1、2、3、4各一個．要不重疊地拼出6×6，需9個1×4長方形，則必然蓋住1、2、3、4各9個．但實際上圖中一共是9個l、10個2、9個3、8個4，因而不可能用9個1×4長方形拼出6×6正方形．用假設干個2×2和3×3的小正方形不能拼成一個11×11的大正方形，請你說明理由！如右圖所示，將2×2或3×3的小正方形沿格線擺在右圖的任何位置，必定蓋住偶數個陰影方格，而陰影方格共有77個，是奇數，所以只用2×2和3×3的小正方形，不可能拼成11×11的大正方形.對于表〔1〕，每次使其中的任意兩個數減去或加上同一個數，能否經過假設干次后〔各次減去或加上的數可以不同〕，變?yōu)楸怼?〕？為什么？因為每次有兩個數同時被加上或減去同一個數，所以表中九個數碼的總和經過變化后，等于原來的總和加上或減去那個數的2倍，因此總和的奇偶性沒有改變。原來九個數的總和為1+2+…+9=45，是奇數，經過假設干次變化后，總和仍應是奇數，與右上表九個數的總和是4矛盾。所以不可能變成右上表.模塊二、操作問題右圖是一個圓盤，中心軸固定在黑板上.開場時，圓盤上每個數字所對應的黑板處均寫著0.然后轉動圓盤，每次可以轉動90°的任意整數倍，圓盤上的四個數將分別正對著黑板上寫數的位置，將圓盤上的數加到黑板上對應位置的數上.問：經過假設干次后，黑板上的四個數是否可能都是999？不可能.因為每次加上的數之和是1＋2＋3＋4=10，所以黑板上的四個數之和永遠是10的整數倍.999×4=3996，不是10的倍數，所以黑板上的四個數不可都是999.有7個蘋果要平均分給12個小朋友，園長要求每個蘋果最多分成5份．應該怎樣分？顯然每人應該分＝+＝+．于是，拿4個蘋果，每個蘋果3等分；拿3個蘋果，每個蘋果4等分．有一位老人，他有三個兒子和十七匹馬.他在臨終前對他的兒子們說：“我已經寫好了遺囑，我把馬留給你們，你們一定要按我的要求去分.〞老人去世后，三兄弟看到了遺囑.遺囑上寫著：“我把十七匹馬全都留給我的三個兒子.長子得，次子得，給幼子.不許流血，不許殺馬.你們必須遵從父親的遺愿！〞請你幫助他們分分馬吧！這三個兄弟迷惑不解，盡管他們在學校里學習成績都不錯，可是他們還是不會用17除以2、用17除以3、用17除以9，又不讓馬流血.于是他們就去請教當地一位公認的智者.這位智者看了遺囑以后說：“我借給你們一匹馬，去按你們父親的遺愿分吧！〞老人原有17匹馬，加上智者借給的一匹，一共18匹.于是三兄弟按照18匹馬的、和，分別得到了九匹、六匹和兩匹.9+6+2=17〔匹〕.還剩下一匹，是智者借給的那匹，還給智者.甲、乙、丙、丁分29頭羊.甲、乙、丙、丁分別得，應如何分？借一頭羊，甲、乙、丙、丁依次分得15，6，5，3頭羊，再將借得1頭羊還回去.8個金幣中，有一個比真金幣輕的假金幣，你能用天平稱兩次就找出來嗎〔天平無砝碼〕"講解此題前，教師可先問學生：“3個金幣，有1個假的比擬輕，你稱1次能把它找出來么？〞將8個金幣分成：3+3+2，3組，把3和3進展稱量，如果重量一樣，稱剩下的2個金幣即可找到假幣；如果重量不同，將比擬重的3個金幣拿出，用天平稱量2個，剩下1個，天平不平衡易得答案，假設此時天平平衡則剩下的那個是假的.9個金幣中，有一個比真金幣輕的假金幣，你能用天平稱兩次就找出來嗎〔天平無砝碼〕"第一次在左右兩托盤各放置3個：(一)如果不平衡，則較輕的一側的3個中有一個是假的．從中任取兩個分別放在兩托盤：①如果不平衡，較低的一側的那個是假的；②如果平衡，剩下的一個是假的；(二)如果平衡，剩下的三個中必有一個為假的．從中任取兩個分別放在兩托盤：①如果不平衡，較低的一側的那個是假的；②如果平衡，剩下的那個是假的．這類稱量找假幣的問題，一定要會分類，并盡量是每一類對應天平稱量時的不同狀態(tài)(輕，重，平)，所以分成3堆是很常見的分法．據說有一天，信騎馬走在路上，看見兩個人正在路邊為分油發(fā)愁.這兩個人有一只容量10斤的簍子，里面裝滿了油；還有一只空的罐和一只空的葫蘆，罐可裝7斤油，葫蘆可裝3斤油.要把這10斤油平分，每人5斤.但是誰也沒有帶秤，只能拿手頭的三個容器倒來倒去.應該怎樣分呢？信給兩人說了一句話：“葫蘆歸簍，簍歸罐〞，兩人按此分油，果然把油分成了兩半.具體做法如下表：信的話指明了倒油的方向，始終按從簍向罐中倒，從罐向葫蘆中倒，從葫蘆向簍中倒的方向操作.按照相反的方向倒，即“葫蘆歸罐，罐歸簍〞怎樣"我們試試.看來也行，只是多倒了一次.要注意的是：保持一定的方向很重要.如果在倒油的過程中，出現從甲倒向乙，又從乙倒回甲(這兩步不一定挨著)，則這兩步相互抵消，肯定可以簡化掉，所以最正確的倒油方法是始終按一個方向倒.大桶能裝5千克油，小桶能裝4千克油，你能用這兩只桶量出6千克油嗎"怎先將5千克的桶倒?jié)M油；再用大桶將小桶倒?jié)M，大桶中還有5-4=1(千克)油；然后將小桶倒空，將大桶中1千克倒到小桶中；最后注滿大桶，連小桶中共是5+1=6(千克)．這道題要學會借助于大桶小桶容積的差量出想獲得的中間量(1千克)．有一個小朋友叫小滿，他學會了信分油的方法，心里很是得意.一天，他遇到了兩位農婦.兩位農婦有兩個各裝滿了10升奶的罐子，還有一個5升和一個4升的小桶，她們請求小滿就用這些容器將罐子中的奶給兩個小桶中各倒入2升奶.小滿按照信分油的方法，略加變通，就將奶分好了！你說說具體的做法！答案如表所示有大，中，小3個瓶子，最多分別可以裝入水1000克，700克和300克.現在大瓶中裝滿水，希望通過水在3個瓶子間的流動使得中瓶和小瓶上標出通過對三個數字的分析，我們發(fā)現700-300-300=100，是計算步數最少的得到100的方法．而由于我們每計算一步就相當于倒一次水，所以倒水最少的方案應該是：1．大瓶往中瓶中倒?jié)M水．2．中瓶往小瓶中倒?jié)M水，這時中瓶中還剩下400克水．3．小瓶中水倒回大瓶．4．中瓶再往小瓶中倒?jié)M水，這時中瓶中只剩下100克水，標記．5．小瓶中水倒回大瓶．6．中瓶中100水倒入小瓶，標記．所以最少要倒6次水．此題關鍵是，小瓶中的水每次都要倒掉，不然無法再往小瓶中倒水的．教師在黑板上畫了9個點，要求同學們用一筆畫出一條通過這9個點的折線(只許拐三個彎兒)．你能辦到嗎"大家開場嘗試屢次之后可能會得出“不可能〞的結論，但是大家不要忽略一點，題中并沒要求所有折線只能限定在這9個點的圍之．我們把折線的圍沖破此題9個點所限定的正方形，則問題就容易解決了，如上右圖。你有四個裝藥丸的罐子，每個藥丸都有一定的重量，被污染的藥丸是沒被污染的重量＋1.只稱量一次，如何判斷哪個罐子的藥被污染了？第一瓶拿一個藥丸，第二瓶拿兩個藥丸，第三瓶拿三個，第四瓶拿四個，稱一下比標準的10個藥丸重多少，重多少就是第幾個瓶子里的藥丸被污染.如右圖所示，將1～12順次排成一圈.如果報出一個數a〔在1～12之間〕，則就從數a的位置順時針走a個數的位置.例如a=3，就從3的位置順時針走3個數的位置到達6的位置；a=11，就從11的位置順時針走11個數的位置到達10的位置.問：a是多少時，可以走到7的位置？不存在.當1≤a≤6時，從a的位置順時針走a個數的位置，應到達2a的位置；當7≤a≤12時，從a的位置順時針走a個數的位置，應到達2a-12的位置.由上面的分析知，不管a是什么數，結果總是走到偶數的位置，不會走到7的位置.對于任意一個自然數n，當n為奇數時，加上121；當n為偶數時，除以2，這算一次操作現在對231連續(xù)進展這種操作，在操作過程中是否可能出現100？為什么？同學們碰到這種題，可能會“具體操作〞一下，得到這個過程還可以繼續(xù)下去，雖然一直沒有得到100，但也不能肯定得不到100.當然，連續(xù)操作下去會發(fā)現，數字一旦重復出現后，這一過程就進入循環(huán)，這時就可以肯定不會出現100.因為這一過程很長，所以這不是好方法.因為231和121都是11的倍數，2不是11的倍數，所以在操作過程中產生的數也應當是11的倍數.100不是11的倍數，所以不可能出現.操作問題不要一味地去“操作〞，而要找到解決問題的竅門.課后練習課后練習一只電動老鼠從左下列圖的A點出發(fā)，沿格線奔跑，并且每到一個格點不是向左轉就是向右轉。當這只電動老鼠又回到A點時，甲說它共轉了81次彎，乙說它共轉了82次彎。如果甲、乙二人有一人說對了，則誰正確？甲.如右下列圖所示，將格點黑白相間染色，因為老鼠遇到格點必須轉彎，所以經過多少格點就轉了多少次彎。如左下列圖所示，老鼠從黑點出發(fā)，到達任何一個黑點都轉了奇數次彎，所以甲正確.如圖〔1〕，對相鄰的兩格的數同時加上1或同時減去1叫做一次操作.經過假設干次操作后由1變成圖2，則圖2中A處的數是多少？按圖中要求操作，圖3