第一章綜合訓(xùn)練一、選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在平行六面體中,向量,,是()A.有相同起點(diǎn)的向量 B.等長(zhǎng)的向量C.共面向量 D.不共面向量2.已知,,,則下列結(jié)論正確的是()A., B., C., D.以上都不對(duì)3.如圖,在空間直角坐標(biāo)系中,有一棱長(zhǎng)為2的正方體,的中點(diǎn)到的中點(diǎn)的距離為()A. B. C.2 D.14.[2023山東德州期中]設(shè)向量,,不共面,空間一點(diǎn)滿足,則,,,四點(diǎn)共面的一組數(shù)對(duì)是()A. B. C. D.5.在四棱錐中,,,,則這個(gè)四棱錐的高等于()A.1 B.2 C.13 D.266.已知兩個(gè)不重合的平面與平面,若平面的法向量為,,,則()A.平面平面 B.平面平面C.平面,平面相交但不垂直 D.以上均有可能7.已知向量,,,若,則與的夾角為()A. B. C. D.8.[2023遼寧沈陽質(zhì)檢]已知棱長(zhǎng)都為3的正三棱柱中,,分別為棱,上的點(diǎn),當(dāng)取得最小值時(shí),直線與平面所成角的正弦值為()A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.已知向量,,,下列等式中正確的是()A. B.C. D.10.設(shè)是空間的一個(gè)基底，則()A.若,,則B.,,兩兩共面,但,,不可能共面C.對(duì)空間任一向量,總存在有序?qū)崝?shù)組,使D.,,一定能構(gòu)成空間的一個(gè)基底11.將正方形沿對(duì)角線折成直二面角,如下四個(gè)結(jié)論正確的是()A. B.是等邊三角形C.與平面所成的角為 D.與所成的角為12.如圖,已知正方體的棱長(zhǎng)為1,,分別為正方體中上、下底面的中心,,,,分別為四個(gè)側(cè)面的中心,由這六個(gè)中心構(gòu)成一個(gè)八面體的頂點(diǎn),則()A.直線與直線所成角為B.二面角的正切值為C.這個(gè)八面體的表面積為D.這個(gè)八面體外接球的體積為三、填空題：本題共4小題.13.棱長(zhǎng)為的正四面體中,.14.已知空間向量,.若與垂直,則.15.設(shè)垂直于所在的平面,,,分別與成和角,,則與的距離是；點(diǎn)到的距離是.16.已知向量,,其中,現(xiàn)有以下說法：①向量與軸正方向的夾角恒為定值（即與,無關(guān)）；②的最大值為；③與的夾角的最大值為；④若定義,則的最大值為.其中正確的有.（寫出所有正確說法的序號(hào)）四、解答題：本題共6小題，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.如圖所示,在四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,側(cè)棱的長(zhǎng)為3,且和,的夾角都是,是的中點(diǎn),設(shè),,,試以,,為基向量表示出向量,并求線段的長(zhǎng).18.如圖,正三棱柱中,底面邊長(zhǎng)為.（1）設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)為1,求證：；（2）設(shè)與的夾角為,求側(cè)棱的長(zhǎng).19.已知空間中三點(diǎn),,,設(shè),.（1）若,且,求向量；（2）已知向量與互相垂直,求的值；（3）求的面積.20.已知,,,分別是空間四邊形的邊,,,的中點(diǎn).（1）用向量法證明,,,四點(diǎn)共面；（2）用向量法證明：平面；（3）設(shè)是和的交點(diǎn),求證：對(duì)空間任一點(diǎn),有.21.如圖所示,直三棱柱中,,點(diǎn)在線段上,,,求直線與平面所成角的正弦值.22.如圖,在四棱錐中,,,,,.（1）求證：平面平面；（2）在線段上是否存在異于,的一點(diǎn),使平面與平面夾角的余弦值為？若存在,求出點(diǎn)的位置；若不存在,請(qǐng)說明理由.第一章綜合訓(xùn)練一、選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.C[解析]向量,,顯然不是有相同起點(diǎn)的向量，不正確；由該平行六面體不一定是正方體可知，這三個(gè)向量不一定是等長(zhǎng)的向量，不正確;又,,,共面，正確，不正確.2.C[解析],,,,.,.故選.3.B[解析]在空間直角坐標(biāo)系中,有一棱長(zhǎng)為2的正方體,,,的中點(diǎn),,,的中點(diǎn),的中點(diǎn)到的中點(diǎn)的距離為.故選.4.B[解析]因?yàn)橄蛄?,不共面,,所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),,,,四點(diǎn)共面.對(duì)于,,故錯(cuò)誤；對(duì)于,,故正確；對(duì)于,,故錯(cuò)誤；對(duì)于,,故錯(cuò)誤.故選.5.B[解析]設(shè)平面的法向量為,則即不妨令,則,,可得,四棱錐的高.故選.6.A[解析]由題意,計(jì)算,得；計(jì)算,得,又,所以平面,又兩平面不重合，則平面平面.故選.7.C[解析]設(shè)向量與的夾角為,因?yàn)?所以,,所以.因?yàn)橄蛄颗c的方向相反，所以與的夾角為.8.C[解析]將三棱柱側(cè)面展開,如圖（右）,由于兩點(diǎn)之間直線段最短,則當(dāng)展開圖中，，，共線時(shí),最小,此時(shí),由三棱柱棱長(zhǎng)都為3可得,，分別為靠近的三等分點(diǎn)，靠近的三等分點(diǎn),如圖（左）建立空間直角坐標(biāo)系,則,,.設(shè)中點(diǎn)為,則,由正三棱柱的性質(zhì)知,平面,故為平面的法向量,又,故直線與平面所成角的正弦值為.故選.二、選擇題：本題共4小題，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.BCD[解析]對(duì)于，左邊為向量,右邊為實(shí)數(shù),顯然不相等,故不正確；對(duì)于，左邊,右邊,左邊右邊,故正確;對(duì)于，,左邊,右邊,左邊右邊,故正確;對(duì)于，由選項(xiàng)可得：左邊,,,左邊右邊,故正確.故選.10.BCD[解析]由,,是空間一個(gè)基底,知：對(duì)選項(xiàng),若,,,夾角不一定是，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；易知正確；對(duì)選項(xiàng)，由于是空間的一個(gè)基底，所以,,不共面.假設(shè),,共面，設(shè),化簡(jiǎn)得,即,所以,,共面，這與已知矛盾，所以,,不共面，可以作為基底，故選項(xiàng)正確.故選.11.ABD[解析]如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為,則,,,,所以,,,故,正確；又,,,所以為等邊三角形,正確；對(duì)于,為平面的一個(gè)法向量,設(shè)為直線與平面所成的角，所以.因?yàn)橹本€與平面所成的角,所以與平面所成的角為,錯(cuò)誤；,因?yàn)楫惷嬷本€所成的角為銳角或直角,所以直線與所成的角為,故正確.故選.12.ACD[解析]如圖,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,所以,,所以,則直線與所成的角為,選項(xiàng)正確；連接,,且相交于點(diǎn),作,連接,,易知平面,由二面角的定義可知,二面角的平面角為,而,,所以,選項(xiàng)錯(cuò)誤；,則,所以這個(gè)八面體的表面積為,選項(xiàng)正確；八面體外接球的球心即為四邊形的中心,則外接球的半徑為,所以外接球的體積為,選項(xiàng)正確.故選.三、填空題：本題共4小題.13.[解析]棱長(zhǎng)為的正四面體中,,且與的夾角為,易證..14.[解析],,與垂直,,,解得,,.15.;[解析]如圖,作于點(diǎn),平面,.易得,,,,連接,易知,到的距離.16.①③④[解析]取軸的正方向單位向量,則,所以向量與軸正方向的夾角恒為定值,①正確；,則,結(jié)合已知，得,即的最大值為1，所以②錯(cuò)誤；③由②的解析知,所以,即,從而與的夾角的最大值為，所以③正確；④設(shè)與的夾角為,由③可知：,所以,,所以,④正確.綜上可知，正確說法的序號(hào)是①③④.四、解答題：本題共6小題，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.解因?yàn)?所以,.所以,即的長(zhǎng)為.18.（1）證明,.因?yàn)槠矫?所以,.又為正三角形,設(shè)為向量與的夾角，所以.因?yàn)?,所以.（2）解由（1）知,又,所以,所以,即側(cè)棱長(zhǎng)為2.19.（1）解空間中三點(diǎn),,,設(shè),,.,且,,,,或（2）,,向量與互相垂直,,解得.的值是5.（3）,,,,.20.（1）證明如圖,連接,易知,.則.由向量共面的充要條件可知，,,共面，又三向量過同一點(diǎn),所以,,,四點(diǎn)共面.（2）因?yàn)?所以.又平面,平面，所以平面.（3）由（2）知,同理,所以,,,所以,交于一點(diǎn)且被平分,所以,得證.21.解,,,以為原點(diǎn),,,所在直線分別為軸、軸、軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,則,,,.,.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,,,取,則設(shè)直線與平面所成角為,又,則.22.（1）證明取的中點(diǎn),連接,因?yàn)?,,所以,,,在中,由余弦定理可得,,所以,所以,所以.因?yàn)?,,平面,故平面.因?yàn)槠矫?則平面平面.（2）解因?yàn)?所