Curvefitting

曲線擬合

醫(yī)學(xué)研究中X和Y的數(shù)量關(guān)系常常不是線性的，如毒物劑量與動物死亡率，人的生長曲線，藥物動力學(xué)等，都不是線性的。如果用線性描述將丟失大量信息，甚至得出錯誤結(jié)論。這時可以用曲線直線化估計（Curveestimation）或非線性回歸(Nonlinearregression)方法分析。

繪制散點圖，根據(jù)圖形和專業(yè)知識選取曲線類型（可同時選取幾類）按曲線類型，作曲線直線化變換建立直線化的直線回歸方程；作假設(shè)檢驗，計算決定系數(shù)將變量還原，寫出用原變量表達的曲線方程比較決定系數(shù)選取“最佳”曲線方程曲線直線化估計的步驟

曲線形式

（根據(jù)生物學(xué)機制理論決定）

常見的曲線回歸方程②對數(shù)：①冪函數(shù)：

或

③指數(shù)函數(shù)：④多項式：

或

⑤logistic：

或

一、利用線性回歸擬合曲線（例1）例上海醫(yī)科大學(xué)微生物學(xué)教研室以已知濃度X的免疫球蛋白A(IgA,μg/ml)作火箭電泳,測得火箭高度Y(mm)如表1所示。試擬合Y關(guān)于X的非線性回歸方程。XYX'＝lnX

(lnX)2Y2(lnX)Y

殘差平方0.27.6-1.60940.412.3-0.91630.615.7-0.51080.818.2-0.22311.018.701.221.40.18231.422.60.33651.623.80.4700合計140.3-2.27082.590257.76-12.23140.8396151.29-11.27050.2609246.49-8.01960.0498331.24-4.06040.0000349.690.00000.0332457.963.90120.1132510.767.60490.2209566.4411.18604.1078

2671.63

-12.8898

7.2312.6215.7718.0119.7521.1622.3623.40

0.13800.10170.00530.03611.09210.05630.05660.15971.6458

（一）繪制散點圖，決定曲線類型

（二）曲線直線化變換

=a+blnX

（三）建立線性回歸方程

回歸方程為：=19.7451+7.7771lnX方差分析有統(tǒng)計學(xué)意義，P＝0.0000，F(xiàn)＝763.50，表明回歸方程有貢獻。確定系數(shù)為0.99，表明回歸擬合原資料很好。

用線性回歸擬合曲線（例2）表9-1125名重傷病人的住院天數(shù)X與預(yù)后指數(shù)Y編號123456789101112131415X257101419263134384552536065Y54504537352520161813811846

（一）繪制散點圖，決定曲線類型

（二）曲線直線化變換

（三）建立線性回歸方程

回歸方程為：4.037-0.038X方差分析有統(tǒng)計學(xué)意義，P＝0.0000，F(xiàn)＝276.38，表明回歸方程有貢獻。確定系數(shù)為0.9551，表明回歸擬合原資料較好。轉(zhuǎn)換為原方程的另一種形式：

比較兩個回歸方程可見，對同一份樣本采用不同估計方法得到的結(jié)果并不相同。主要因為曲線直線化以后的回歸只對變換后的Y*(＝lnY)負責(zé),得到的線性方程可使Y*與其估計值之間的殘差平方和最小,并不保證原變量Y與其估計值之間的殘差平方和也是最小。曲線直線化非線性最小二乘法

問題：前一個例子只對自變量作對數(shù)變換的對數(shù)曲線擬合，能否保證原變量Y與其估計值之間的殘差平方和也是最??？冪函數(shù)曲線擬合呢？

問題：如何判斷哪個曲線擬合方程更佳？對于例9-15，幾個常見曲線擬合得到的決定系數(shù)R2如下（曲線直線化）：線性（直線）R2：0.8856(y=46.4604-0.7525x)冪曲線R2：0.8293(y=159.9297x-0.7191)對數(shù)曲線R2：0.9654(y=72.2829-15.9662Ln(x)

)指數(shù)曲線R2：

0.9551(y=56.6651e-0.0380x)二項式曲線R2：0.9812(y=55.8221-1.7103x+0.0148x2

)

問題：如何判斷那個曲線擬合方程更佳？對于例9-15，幾個常見曲線擬合得到的決定系數(shù)R2如下（非線性回歸——迭代法）：線性（直線）R2：0.8856(y=46.4604-0.7525x)冪曲線R2：0.8413(y=88.7890x-0.4662)對數(shù)曲線R2：0.9654(y=72.2829-15.9662Ln(x)

)指數(shù)曲線R2：

0.9875(y=58.6066e-0.0396x)二項式曲線R2：0.9812(y=55.8221-1.7103x+0.0148x2

)

原變量Y與（直線或曲線方程得到）間相關(guān)系數(shù)的絕對值＝相關(guān)指數(shù)R線性（直線）R：＝X與Y間相關(guān)系數(shù)絕對值冪曲線R：＝lnX與lnY間相關(guān)系數(shù)絕對值對數(shù)曲線R：＝lnX與Y間相關(guān)系數(shù)絕對值指數(shù)曲線R：

＝

X與lnY間相關(guān)系數(shù)絕對值二項式曲線R：＝√（1－SS殘差/SS總）R的計算（曲線直線化）

原變量Y與（直線或曲線方程得到）間相關(guān)系數(shù)的絕對值＝相關(guān)指數(shù)R線性（直線）R：＝X與Y間相關(guān)系數(shù)絕對值冪曲線R：≠lnX與lnY間相關(guān)系數(shù)絕對值對數(shù)曲線R：＝lnX與Y間相關(guān)系數(shù)絕對值指數(shù)曲線R：

≠

X與lnY間相關(guān)系數(shù)絕對值二項式曲線R：＝√（1－SS殘差/SS總）R的計算（非線性回歸）

散點圖辨析

如果條件允許最好采用非線性回歸（NonlinearRegression）擬合冪函數(shù)曲線與指數(shù)函數(shù)曲線注意繪制散點圖，并結(jié)合專業(yè)知識解釋

采用SAS進行曲線擬合

采用SPSS進行曲線擬合曲線直線化AnalyzeRegressionCurveEstimation…可選Power、Logarithm