第六章數(shù)列第三講等比數(shù)列及其前n項和知識梳理·雙基自測名師講壇·素養(yǎng)提升考點突破·互動探究知識梳理·雙基自測知識點一等比數(shù)列的概念(1)等比數(shù)列的定義如果一個數(shù)列_________________________________________________________，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的________，通常用字母______表示．符號語言：__________(n∈N*，q為非零常數(shù))．從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)(不為零)公比q(2)等比中項：如果a，G，b成等比數(shù)列，那么______叫做a與b的等比中項．即：G是a與b的等比中項?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝________.注意：任意兩數(shù)的等差中項都唯一存在；但只有兩個數(shù)滿足ab>0時，a、b才有等比中項，且有互為相反數(shù)的兩個．Gaba1qn－1amqn－m知識點三等比數(shù)列的主要性質(zhì)設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn是其前n項和．(1)若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*，特別地，若2s＝p＋r，則apar＝a，其中p，s，r∈N*.(2)相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm(k，m∈N*)．×××××D3．(選修2P34T1改編)在3與192中間插入兩個數(shù)，使它們同這兩個數(shù)成等比數(shù)列，則這兩個數(shù)為_____________.[解析]

設(shè)該數(shù)列的公比為q，由題意知，192＝3×q3，q3＝64，所以q＝4.所以插入的兩個數(shù)分別為3×4＝12,12×4＝48.12,481D6．(2020·課標(biāo)Ⅰ，10,5分)設(shè){an}是等比數(shù)列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，則a6＋a7＋a8＝(

)A．12 B．24C．30 D．32D7．(2022·全國乙卷)已知等比數(shù)列{an}的前3項和為168，a2－a5＝42，則a6＝(

)A．14 B．12C．6 D．3D考點突破·互動探究例1考點一等比數(shù)列的基本運(yùn)算——自主練透C5B等比數(shù)列基本量的求法等比數(shù)列的計算涉及五個量a1，an，q，n，Sn，知其三就能求其二，即根據(jù)條件列出關(guān)于a1，q的方程組求解，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用．特別提醒：在使用等比數(shù)列的前n項和公式時，q的值除非題目中給出，否則要根據(jù)公比q的情況進(jìn)行分類討論，切不可忽視q的取值而盲目用求和公式．Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0.(1)求an及Sn；(2)是否存在常數(shù)λ，使得數(shù)列{Sn＋λ}是等比數(shù)列？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．例2考點二等比數(shù)列的判定與證明——師生共研提醒：前兩種方法常用于解答題中，而后兩種方法常用于選擇、填空題中．例3考點三等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用——多維探究B50[引申]

在本例(1)中若將a3，a15改為a2，a16，其他不變，該題應(yīng)選(

)D(1)在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m＋n＝p＋q，m、n、p、q∈N*，則am·an＝ap·aq”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度．(2)在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時需要進(jìn)行適當(dāng)變形．此外，解題時注意設(shè)而不求思想的運(yùn)用．角度2等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)

(1)已知等比數(shù)列{an}共有2n項，其和為－240，且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大80，則公比q＝_____.(2)(2022·浙江麗水模擬)已知各項都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}，Sn為其前n項和，且S3＝10，S9＝70，則S12＝(

)A．150 B．－200C．150或－200 D．400或－50例32A[引申]本例(2)中若去掉條件“各項都是正數(shù)”，結(jié)果如何？[解析]

由本例解法一知q3＝2或－3，當(dāng)q3＝2時，S12＝S9＋q9S3＝70＋80＝150；當(dāng)q3＝－3時，S12＝S9＋q9S3＝70－270＝－200.故選C.±22B