專題(九)二次函數(shù)與幾何圖形綜合題1．(2021·陜西)已知拋物線y＝－x2＋2x＋8與x軸交于點A，B(點A在點B的左側)，與y軸交于點C.(1)求點B，C的坐標；(2)設點C′與點C關于該拋物線的對稱軸對稱．在y軸上是否存在點P，使△PCC′與△POB相似，且PC與PO是對應邊？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．解：(1)∵y＝－x2＋2x＋8，令x＝0，y＝8，∴C(0，8)，令y＝0，即－x2＋2x＋8＝0，解得x1＝－2，x2＝4，∴B(4，0)(2)存在點P，設P(0，y)，∵CC′∥OB，且PC與PO是對應邊，∴eq\f(PC,CC′)＝eq\f(PO,OB)，即eq\f(|y－8|,2)＝eq\f(|y|,4)，解得y1＝16，y2＝eq\f(16,3)，∴P(0，16)或P(0，eq\f(16,3))2．(2021·泰安)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋4(a≠0)的圖象經(jīng)過點A(－4，0)，B(1，0)，與y軸交于點C，點P為第二象限內(nèi)拋物線上一點，連接BP，AC，交于點Q，過點P作PD⊥x軸于點D.(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)連接BC，當∠DPB＝2∠BCO時，求直線BP的表達式；(3)請判斷：eq\f(PQ,QB)是否有最大值，如有，請求出有最大值時點P的坐標；如沒有，請說明理由．解：(1)∵二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋4(a≠0)的圖象經(jīng)過點A(－4，0)，B(1，0)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(16a－4b＋4＝0，,a＋b＋4＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－3，))∴該二次函數(shù)的表達式為y＝－x2－3x＋4(2)如圖，設BP與y軸交于點E，∵PD∥y軸，∴∠DPB＝∠OEB，∵∠DPB＝2∠BCO，∴∠OEB＝2∠BCO，∴∠ECB＝∠EBC，∴BE＝CE，設OE＝a，則CE＝4－a，∴BE＝4－a，在Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2＝OE2＋OB2，∴(4－a)2＝a2＋12，解得a＝eq\f(15,8)，∴E(0，eq\f(15,8))，設BE所在直線表達式為y＝kx＋e(k≠0)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(e＝\f(15,8)，,k＋e＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(15,8)，,e＝\f(15,8)，))∴直線BP的表達式為y＝－eq\f(15,8)x＋eq\f(15,8)(3)eq\f(PQ,QB)有最大值．設PD與AC交于點N，過點B作y軸的平行線與AC相交于點M，設直線AC表達式為y＝mx＋n，∵A(－4，0)，C(0，4)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4m＋n＝0，,n＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝4，))∴直線AC表達式為y＝x＋4，∴M點的坐標為(1，5)，∴BM＝5，∵BM∥PN，∴△PNQ∽△BMQ，∴eq\f(PQ,QB)＝eq\f(PN,BM)，設P(a0，－a02－3a0＋4)(－4＜a0＜0)，則N(a0，a0＋4)，∴eq\f(PQ,QB)＝eq\f(－a02－3a0＋4－（a0＋4）,5)＝eq\f(－a02－4a0,5)＝eq\f(－（a0＋2）2＋4,5)，∴當a0＝－2時，eq\f(PQ,QB)有最大值，此時，點P的坐標為(－2，6)3．(2021·連云港)如圖，拋物線y＝mx2＋(m2＋3)x－(6m＋9)與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，已知B(3，0(1)求m的值和直線BC對應的函數(shù)表達式；(2)P為拋物線上一點，若S△PBC＝S△ABC，請直接寫出點P的坐標；(3)Q為拋物線上一點，若∠ACQ＝45°，求點Q的坐標．解：(1)將B(3，0)代入y＝mx2＋(m2＋3)x－(6m＋9)，化簡，得m2＋m＝0，則m＝0(舍去)或m＝－1，∴m＝－1，∴y＝－x2＋4x－3.∴C(0，－3)，設直線BC的函數(shù)表達式為y＝kx＋b，直線經(jīng)過點B(3，0)，C(0，－3)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＝3k＋b，,－3＝b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝1，,b＝－3，))∴直線BC的函數(shù)表達式為y＝x－3(2)如圖，過點A作AP1∥BC，設直線AP1交y軸于點G，將直線BC向下平移GC個單位，得到直線P2P3.由(1)得直線BC的表達式為y＝x－3，A(1，0)，∴直線AG的表達式為y＝x－1，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x－1，,y＝－x2＋4x－3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1，))∴P1(2，1)或(1，0)，由直線AG的表達式可得G(0，－1)，∴GC＝2，∴CH＝2，∴直線P2P3的表達式為：y＝x－5，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x－5，,y＝－x2＋4x－3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3－\r(17),2)，,y＝\f(－7－\r(17),2)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3＋\r(17),2)，,y＝\f(－7＋\r(17),2)，))∴P2(eq\f(3－\r(17),2)，eq\f(－7－\r(17),2))，P3(eq\f(3＋\r(17),2)，eq\f(－7＋\r(17),2))，綜上可得，符合題意的點P的坐標為：(2，1)，(1，0)，(eq\f(3－\r(17),2)，eq\f(－7－\r(17),2))，(eq\f(3＋\r(17),2)，eq\f(－7＋\r(17),2))(3)如圖，取點Q使∠ACQ＝45°，作直線CQ，過點A作AD⊥CQ于點D，過點D作DF⊥x軸于點F，過點C作CE⊥DF于點E，則△ACD是等腰直角三角形，∴AD＝CD，∴△CDE≌△DAF(AAS)，∴AF＝DE，CE＝DF.設DE＝AF＝a，由OA＝1，則CE＝DF＝a＋1，由OC＝3，則DF＝3－a，∴a＋1＝3－a，解得a＝1.∴D(2，－2)，又C(0，－3)，∴直線CD對應的表達式為y＝eq\f(1,2)x－3，設Q(n，eq\f(1,2)n－3)，代入y＝－x2＋4x－3，∴eq\f(1,2)n－3＝－n2＋4n－3，整理得n2－eq\f(7,2)n＝0.又n≠0，則n＝eq\f(7,2)，∴Q(eq\f(7,2)，－eq\f(5,4))4．(2021·東營)如圖，拋物線y＝－eq\f(1,2)x2＋bx＋c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，直線y＝－eq\f(1,2)x＋2過B，C兩點，連接AC.(1)求拋物線的解析式；(2)求證：△AOC∽△ACB；(3)點M(3，2)是拋物線上的一點，點D為拋物線上位于直線BC上方的一點，過點D作DE⊥x軸交直線BC于點E，點P為拋物線對稱軸上一動點，當線段DE的長度最大時，求PD＋PM的最小值．解：(1)∵直線y＝－eq\f(1,2)x＋2過B，C兩點，當x＝0時，y＝2，即C(0，2)，當y＝0時，x＝4，即B(4，0)，把B(4，0)，C(0，2)分別代入y＝－eq\f(1,2)x2＋bx＋c，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－8＋4b＋c＝0，,c＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝\f(3,2)，,c＝2，))∴拋物線的解析式為y＝－eq\f(1,2)x2＋eq\f(3,2)x＋2(2)∵拋物線y＝－eq\f(1,2)x2＋eq\f(3,2)x＋2與x軸交于點A，∴－eq\f(1,2)x2＋eq\f(3,2)x＋2＝0，解得x1＝－1，x2＝4，∴點A的坐標為(－1，0)，∴AO＝1，AB＝5，在Rt△AOC中，AO＝1，OC＝2，∴AC＝eq\r(5)，∴eq\f(AO,AC)＝eq\f(1,\r(5))＝eq\f(\r(5),5)，∵eq\f(AC,AB)＝eq\f(\r(5),5)，∴eq\f(AO,AC)＝eq\f(AC,AB)，又∵∠OAC＝∠CAB，∴△AOC∽△ACB(3)設點D的坐標為(x，－eq\f(1,2)x2＋eq\f(3,2)x＋2)，則點E的坐標為(x，－eq\f(1,2)x＋2)，∴DE＝－eq\f(1,2)x2＋eq\f(3,2)x＋2－(－eq\f(1,2)x＋2)＝－eq\f(1,2)x2＋2x＝－eq\f(1,2)(x－2)2＋2，∵－eq\f(1,2)＜0，∴當x＝2時，線段DE的長度最大，此時，點D的坐標為(2，3)，∵C(0，2)，M(3，2)，∴點C和點M關于對稱軸對稱，連接CD交對稱軸于點P，此時PD＋PM最小，連接CM交直線DE于點F，則∠DFC＝90°，點F的坐標為(2，2)，∴CD＝eq\r(CF2＋DF2)＝eq\r(5)，∵PD＋PM＝PC＋PD＝CD，∴PD＋PM的最小值為eq\r(5)5．(2021·眉山)如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝ax2＋bx＋4(a≠0)經(jīng)過點A(－2，0)和點B(4，0).(1)求這條拋物線所對應的函數(shù)表達式；(2)點P為該拋物線上一點(不與點C重合)，直線CP將△ABC的面積分成2∶1兩部分，求點P的坐標；(3)點M從點C出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿y軸移動，運動時間為t秒，當∠OCA＝∠OCB－∠OMA時，求t的值．解：(1)設拋物線的表達式為y＝a(x＋2)(x－4)＝ax2－2ax－8a，即－8a＝4，解得a＝－eq\f(1,2)，故拋物線的表達式為y＝－eq\f(1,2)x2＋x＋4①(2)由點A，B的坐標知，OB＝2OA，故CO將△ABC的面積分成2∶1兩部分，此時，點P不在拋物線上；如圖①，當BH＝eq\f(1,3)AB＝2時，CH將△ABC將△ABC的面積分成2∶1兩部分，即點H的坐標為(2，0)，則CH和拋物線的交點即為點P，由點C，H的坐標得，直線CH的表達式為y＝－2x＋4②，聯(lián)立①②并解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝－8))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝4))(舍去)，故點P的坐標為(6，－8)(3)在點OB上取點E(2，0)，則∠ACO＝∠OCE，∵∠OCA＝∠OCB－∠OMA，故∠OMA＝∠ECB，過點E作EH⊥BC于點H，在△BCE中，由OB＝OC知，∠OBC＝45°，則EH＝eq\f(\r(2),2)EB＝eq\f(\r(2),2)(4－2)＝eq\r(2)＝BH，由點B，C的坐標知，BC＝4eq\r(2)，則CH＝BC－BH＝3eq\r(2)，則tan∠ECB＝eq\f(EH,CH)＝eq\f(\r(2),3\r(2))＝tan∠OMA，則tan∠OMA＝eq\f(AO,OM)＝eq\f(2,OM)＝eq\f(1,3)，則OM＝6，故CM＝OM±OC＝6±4＝2或10，則t＝2或106．(2021·玉林)已知拋物線：y＝ax2－3ax－4a(a＞0)與x軸交點為A，B(點A在點B的左側)，頂點為D(1)求點A，B的坐標及拋物線的對稱軸；(2)若直線y＝－eq\f(3,2)x與拋物線交于點M，N，且M，N關于原點對稱，求拋物線的解析式；(3)如圖，將(2)中的拋物線向上平移，使得新的拋物線的頂點D′在直線l：y＝eq\f(7,8)上，設直線l與y軸的交點為O′，原拋物線上的點P平移后的對應點為點Q，若O′P＝O′Q，求點P，Q的坐標．解：(1)令y＝0，則有ax2－3ax－4a＝0，即x2－3x－4＝0，解得x1＝－1，x2＝4，∴A(－1，0)，B(4，0)，對稱軸為直線x＝eq\f(－1＋4,2)＝eq\f(3,2)(2)設點M的橫坐標為x1，點N的橫坐標為x2，根據(jù)題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝ax2－3ax－4a，,y＝－\f(3,2)x，))即ax2－(3a－eq\f(3,2))x－4a＝0，x1＋x2＝eq\f(3a－\f(3,2),a)，又∵點M，N關于原點對稱，∴eq\f(3a－\f(3,2),a)＝0，∴a＝eq\f(1,2)，∴y＝eq\f(1,2)x2－eq\f(3,2)x－2(3)∵y＝eq\f(1,2)x2－eq\f(3,2)x－2＝eq\f(1,2)(x－eq\f(3,2))2－eq\f(25,8)，由題意得向上平移后的拋物線解析式為y＝eq\f(1,2)(x－eq\f(3,2))2＋eq\f(7,8)，∴拋物線向上平移了4個單位長度，設P(x，eq\f(1,2)x2－eq\f(3,2)x－2)，則Q(x，eq\f(1,2)x2－eq\f(3,2)x＋2)，由題意得O′(0，eq\f(7,8))，∵O′P＝O′Q，∴eq\f(1,2)x2－eq\f(3,2)x－2＋eq\f(1,2)x2－eq\f(3,2)x＋2＝2×eq\f(7,8)，解得x1＝－eq\f(1,2)，x2＝eq\f(7,2)，若x＝－eq\f(1,2)，則y＝eq\f(1,2)x2－eq\f(3,2)x－2＝eq\f(1,2)×(－eq\f(1,2))2－eq\f(3,2)×(－eq\f(1,2))－2＝－eq\f(9,8)，∴P(－eq\f(1,2)，－eq\f(9,8))，Q(－eq\f(1,2)，eq\f(23,8))，若x＝eq\f(7,2)，則y＝eq\f(1,2)x2－eq\f(3,2)x－2＝eq\f(1,2)×(eq\f(7,2))2－eq\f(3,2)×eq\f(7,2)－2＝－eq\f(9,8)，∴P(eq\f(7,2)，－eq\f(9,8))，Q(eq\f(7,2)，eq\f(23,8))，綜上，P(－eq\f(1,2)，－eq\f(9,8))，Q(－eq\f(1,2)，eq\f(23,8))或P(eq\f(7,2)，－eq\f(9,8))，Q(eq\f(7,2)，eq\f(23,8))7．(2021·南充)如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋4(a≠0)與x軸交于點A(1，0)和B，與y軸交于點C，對稱軸為直線x＝eq\f(5,2).(1)求拋物線的表達式；(2)如圖①，若點P是線段BC上的一個動點(不與點B，C重合)，過點P作y軸的平行線交拋物線于點Q，連接OQ，當線段PQ長度最大時，判斷四邊形OCPQ的形狀并說明理由；(3)如圖②，在(2)的條件下，D是OC的中點，過點Q的直線與拋物線交于點E，且∠DQE＝2∠ODQ.在y軸上是否存在點F，得△BEF為等腰三角形？若存在，求點F的坐標；若不存在，請說明理由．解：(1)由題意得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋4＝0，,\f(－b,2a)＝\f(5,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－5，))故拋物線的表達式為y＝x2－5x＋4①(2)對于y＝x2－5x＋4，令y＝x2－5x＋4＝0，解得x＝1