試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat15頁2024屆河北省保定部分高中高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)不等式及無理不等式解法化簡集合與，然后根據(jù)元素與集合的關(guān)系判斷A、C，根據(jù)集合的關(guān)系判斷B、D.【詳解】因?yàn)?，，所以，，與之間沒有包含關(guān)系.故選：C.2．函數(shù)的圖象在處切線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義直接求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，故選：B.3．已知向量，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用投影向量的公式，即可求得本題答案.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，因?yàn)榕c方向相同的單位向量為，所以在上的投影向量為．故選：C4．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，若，，則（

）A． B． C．27 D．【答案】D【分析】等比數(shù)列，基本量的計(jì)算，設(shè)出公比，聯(lián)立式子可求出，即可.【詳解】設(shè)的公比為，則，，．因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)榈母黜?xiàng)均為正數(shù)，所以．因?yàn)?，所以．故選：D5．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)兩角和正切公式化簡并計(jì)算得或3，利用充分必要條件定義即可判斷.【詳解】由，得，即或3，（經(jīng)檢驗(yàn)均為原分式方程的解），所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.6．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和特殊點(diǎn)的函數(shù)值的正負(fù)即可判斷函數(shù)的圖象.【詳解】由題可知，函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)椋屎瘮?shù)為偶函數(shù)，排除A，C．又，排除B.故選：D．7．已知定義在上的函數(shù)滿足，且，則（

）A． B．1 C． D．3【答案】C【分析】由條件推得函數(shù)的周期為4，結(jié)合函數(shù)的周期，即可求解.【詳解】由，可得，所以的周期為4，則．故選：C.8．已知四個(gè)城市坐落在正方形的四個(gè)頂點(diǎn)處，正方形邊長為，現(xiàn)要修建高鐵連迎這四個(gè)城市，設(shè)計(jì)師設(shè)計(jì)了圖中的連接路線（路線由五條實(shí)線線段組成，且路線上、下對(duì)稱，左、右也對(duì)稱），則路線總長（單位：）的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，，根據(jù)解三角形的知識(shí)可表示路線長度，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得最值.【詳解】設(shè)，，則，，路線總長為．令函數(shù)，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以的最小值是，則路線總長（單位：）的最小值為，故選：D.二、多選題9．已知表示集合的整數(shù)元素的個(gè)數(shù)，若集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】分別解不等式，進(jìn)而判斷各選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋?，所以，，，，故選：BC.10．若函數(shù)，則（

）A． B．的最小正周期為C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D．在上單調(diào)遞增【答案】BCD【分析】根據(jù)三角恒等變換化簡的表達(dá)式，然后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷每個(gè)選項(xiàng).【詳解】，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；根據(jù)周期公式，的最小正周期為，B選項(xiàng)正確．，又，而有一條對(duì)稱軸，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，C選項(xiàng)正確．由，得，而在上遞增，所以在上單調(diào)遞增，D選項(xiàng)正確．故選：BCD11．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的標(biāo)志很相似，所以形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則．設(shè)是內(nèi)一點(diǎn)，的三個(gè)內(nèi)角分別為，，，，，的面積分別為，，，若，則以下命題正確的有（

）A．B．有可能是的重心C．若為的外心，則D．若為的內(nèi)心，則為直角三角形【答案】AD【分析】由平面向量基本定理可判斷A選項(xiàng)，利用重心結(jié)論可判斷B選項(xiàng)，由外心可知即可判斷C選項(xiàng)，由內(nèi)心可知，滿足勾股定理，D選項(xiàng)正確.【詳解】由奔馳定理可得，，即，因?yàn)?，，不共線，所以，故A正確；若是的重心，，因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤．當(dāng)為的外心時(shí)，，所以，所以，故C錯(cuò)誤．當(dāng)為的內(nèi)心時(shí)，（為內(nèi)切圓半徑），所以，所以，故D正確，故選：AD.12．已知實(shí)數(shù)滿足且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若，則的最小值為C．的最大值為D．若，則的最小值為【答案】ABD【分析】根據(jù)給定條件，可得，再結(jié)合均值不等式逐項(xiàng)分析判斷作答.【詳解】由，得，而，則，對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，則，顯然均為正數(shù)，即有，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，B正確；對(duì)于C，顯然，由，得，因此，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，由，得，則的最小值為，D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要從整體上把握運(yùn)用基本不等式，有時(shí)可乘以一個(gè)數(shù)或加上一個(gè)數(shù)，以及“1”的代換等應(yīng)用技巧.三、填空題13．已知命題，則的否定為．【答案】【分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題即可得答案.【詳解】解：因?yàn)槊}，所以.故答案為：四、雙空題14．若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則，．【答案】5【分析】由三角函數(shù)的定義先求出的值，然后利用三角函數(shù)商數(shù)關(guān)系化簡齊次式，或者利用誘導(dǎo)公式化簡，代入求值即可.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以，且．故答案為：5，.五、填空題15．已知函數(shù)滿足，且在上單調(diào)，則的最大值為．【答案】3【分析】由，且在上單調(diào)，可得的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，結(jié)合的圖像對(duì)稱性，所以在上單調(diào)，得，可得解.【詳解】由題可得，由，且在上單調(diào)，得的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，因?yàn)橹本€與直線關(guān)于直線對(duì)稱，結(jié)合的圖像對(duì)稱性，所以在上單調(diào)，得，又，所以，故的最大值為3．故答案為：3.16．已知函數(shù)的最大值為，則函數(shù)的最小值為（結(jié)果用表示）【答案】【分析】由題，可得，所以取最小值時(shí)取最大值，又的最大值與的最大值相等，得解.【詳解】因?yàn)?，所以，則，當(dāng)?shù)娜≈捣秶鸀闀r(shí)，的取值范圍為，所以的最大值與的最大值相等，均為，所以的最小值為．故答案為：.六、解答題17．已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)把的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，求在上的值域．【答案】(1)(2)【分析】（1）結(jié)合函數(shù)的周期與誘導(dǎo)公式化簡，然后利用整體法求解函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）根據(jù)函數(shù)的變化法則解得，然后整體求解函數(shù)范圍，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)即可求解；【詳解】（1）根據(jù)函數(shù)的周期性與誘導(dǎo)公式，，令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）把的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，得到的圖象，再將所得圖象向左平移個(gè)單位長度得到的圖象，所以．因?yàn)?，所以，則，所以在上的值域?yàn)椋?8．滇池久負(fù)盛名，位于春城昆明，是我國西南地區(qū)最大的淡水湖，被譽(yù)為“高原明珠”．如圖，為計(jì)算滇池岸邊與兩點(diǎn)之間的距離，在岸邊選取和兩點(diǎn)，現(xiàn)測得，，，，．(1)求的長；(2)求的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）在中利用余弦定理可求長；（2）在中利用正弦定理可求長．【詳解】（1）在中，有，，．由余弦定理，可得，即，整理可得，解得或（舍去），故的長為．（2）在中，有，，，則．由正弦定理，可得，即的長為．19．已知定義在上的函數(shù)滿足，，，且．(1)求，，的值；(2)判斷的奇偶性，并證明．【答案】(1)，，(2)偶函數(shù)，證明見解析【分析】（1）令，求得，令，求得，令，求得，（2）令，再結(jié)合（1）的結(jié)果和奇偶性的定義可得結(jié)論.【詳解】（1）令，得，因?yàn)?，所以．令，得，因?yàn)椋裕?，得，即，因?yàn)?，所以，所以．?）為偶函數(shù)．證明如下：令，得，由（1）得，即，又的定義域?yàn)椋詾榕己瘮?shù)．20．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．(2)是否存在直線，使得該直線與曲線切于兩點(diǎn)？若存在，求，的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)答案見解析(2)存在，，．【分析】（1）函數(shù)的零點(diǎn)，即為函數(shù)與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，做出函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合，可得交點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而確定函數(shù)兩點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）方法一：由已知相切于兩點(diǎn)，可知直線與函數(shù)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，分別聯(lián)立方程，利用判別式解方程即可；方法二：分段求函數(shù)的切線方程，由公切線，列方程，解方程即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，的最小值為；當(dāng)時(shí)，的最大值為．作出的大致圖象，如圖所示．由，得．當(dāng)或時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為；當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為；當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為．（2）假設(shè)存在直線，使得該直線與曲線切于，兩點(diǎn)，方法一：聯(lián)立與，得，則．聯(lián)立與，得，則．聯(lián)立方程組，解得或，當(dāng)，時(shí)，此時(shí)，，則切點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，這與矛盾，不符合題意，綜上，存在直線滿足題意，且，．方法二：設(shè)函數(shù)，則，則曲線在處的切線方程為，即，設(shè)函數(shù)，則，則曲線在處的切線方程為，即．依題意可得，消去，得，因?yàn)?，所以，，所以，，即存在直線滿足題意，且，．21．已知數(shù)列滿足，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知可得，然后利用累加法求出，從而可求得的通項(xiàng)公式；（2）由結(jié)合（1）可求出，然后利用錯(cuò)位相減法可求得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，所以．?）因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，，所以（時(shí)也成立）．因?yàn)?，所以，所以，故?2．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，比較與的大??；(2)若函數(shù)，且，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)可得，即；（2）構(gòu)造函數(shù)，從而推得，再利用導(dǎo)數(shù)得到的單調(diào)性，從而得到，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為證，再利用導(dǎo)數(shù)證得，由此得證.【詳解】（1）設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以，從而，即；（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，則恒成立，則由，得，又，所以,因?yàn)?，所以，令，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，則，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以,要證，只需證，即證．因?yàn)?，所以?/p>