本課目錄概述差分方程微分方程應(yīng)用E-Cell第一頁1第二頁，共51頁。一、概述第二頁2第三頁，共51頁。數(shù)學(xué)模型的例子(米氏方程)酶促反應(yīng)機制根據(jù)穩(wěn)態(tài)/定態(tài)(steadystate)假設(shè)和反應(yīng)動力學(xué)推導(dǎo)出米氏方程第三頁3第四頁，共51頁。為什么要使用數(shù)學(xué)模型？通常利用數(shù)學(xué)模型來作為所關(guān)心的系統(tǒng)工作原理的假設(shè)通過模擬(simulation)的結(jié)果可以證明假設(shè)是否正確

理解生命現(xiàn)象的機制正確的模型可以進一步預(yù)測生命系統(tǒng)的其他未知特性預(yù)言試驗結(jié)果,指導(dǎo)實驗設(shè)計,減少實驗成本善于在短時間內(nèi)完成復(fù)雜的實驗,甚至某些當前實驗條件尚無法達到的第四頁4第五頁，共51頁。定義、構(gòu)成元素數(shù)學(xué)模型(mathematicalmodel)是用數(shù)學(xué)語言來描述一個系統(tǒng)的抽象模型例如一個群體增長模型這個數(shù)學(xué)語言通常是包含一些方程這些方程(equation)用來建立一些變量之間的關(guān)系這些變量(variable)通常代表了系統(tǒng)的某些屬性(property)如某群體的大小第五頁5第六頁，共51頁。構(gòu)成元素關(guān)系系統(tǒng)屬性關(guān)系/規(guī)律數(shù)學(xué)模型變量方程第六頁6第七頁，共51頁。參數(shù)模型還包括參數(shù)(parameter)參數(shù)通常是常數(shù),用于描述系統(tǒng)的某個相對不變的屬性如某群體的生殖率(以群體大小為變量)參數(shù)在模型中相對于變量為從屬地位一個屬性是變量還是參數(shù)沒有明顯界限,由具體問題的性質(zhì)決定如果以生殖率為研究對象(變量),那么生殖率就不是參數(shù),而是變量第七頁7第八頁，共51頁。數(shù)學(xué)模型的分類(1)靜態(tài)的(static)和動態(tài)的(dynamic)區(qū)別在于是否考慮時間動態(tài)模型常由差分方程或微分方程來表示確定性的(deterministic)和隨機性的(stochastic)看是否唯一參數(shù)決定唯一結(jié)果注意:確定性模型可能產(chǎn)生貌似隨機的結(jié)果,如混沌(chaos)第八頁8第九頁，共51頁。數(shù)學(xué)模型的分類(2)(時間)離散的(discrete)和連續(xù)的(continuous)如差分方程(離散)和微分方程(連續(xù))線性(linear)和非線性的(nonlinear)y=ax+b(線性)y=ax2+bx+c(非線性)對于方程組來說,只有全部方程都是線性的,該模型才是線性模型第九頁9第十頁，共51頁。數(shù)學(xué)模型的分類(3)集總/中(lumped)參數(shù)和分布(distributed)參數(shù)模型看參數(shù)是(集總)否(分布)均一分布分布參數(shù)模型常用偏微分方程表示第十頁10第十一頁，共51頁。一個離散模型的具體例子生命游戲(lifegame)屬于細胞自動機(cellularautomaton)的一種給定某初始條件和繁衍條件根據(jù)這些條件,觀察群體的演化定態(tài),周期解,混沌…演示…第十一頁11第十二頁，共51頁。二、差分方程

(differenceequation)第十二頁12第十三頁，共51頁。例:邏輯斯蒂映射(logisticmap)方程Xn+1=rXn(1-Xn)Xn是變量,范圍[0,1],代表某群體中第n代的個體數(shù)(已歸一化)r是參數(shù),表示增長率如果知道前一項Xn,我們就可以推出后一項Xn+1所以差分方程也叫遞歸(recursion)第十三頁13第十四頁，共51頁。解差分方程要解這個差分方程,或者說進行模擬(runasimulation),需要知道參數(shù)值(parametervalues)、(變量)初值(initialvalues)令r =1.0X0 =0.5這樣可以通過迭代(iteration)來求解差分方程第十四頁14第十五頁，共51頁。不同參數(shù)的效果(1)周期一周期一周期二第十五頁15第十六頁，共51頁。不同參數(shù)的效果(2)混沌(Chaos)周期四…第十六頁16第十七頁，共51頁。迭代對于本例(參數(shù)r=1.0)X0=0.5X1=0.25X2=0.1875X3=0.152344X4=0.129135X5=0.112459X6=0.099812…用Excel操作、三維演示…第十七頁17第十八頁，共51頁。換個方式演示迭代過程用筆和尺第十八頁18第十九頁，共51頁。混沌的初值敏感性(sensitivitytoinitialconditions)第十九頁19第二十頁，共51頁。分岔圖(bifurcationdiagram)就是橫軸為參數(shù)、縱軸為變量的圖,顯示整個系統(tǒng)隨參數(shù)的變化第二十頁20第二十一頁，共51頁。豐富多彩的分岔圖–前分岔、后分岔后分岔(r<0)前分岔(r>0)第二十一頁21第二十二頁，共51頁。豐富多彩的分岔圖–自相似前分岔局部放大程序、動畫演示…第二十二頁22第二十三頁，共51頁。豐富多彩的分岔圖–三維前后分岔、r為復(fù)數(shù)第二十三頁23第二十四頁，共51頁。三、微分方程

(differentialequation)第二十四頁24第二十五頁，共51頁。(微分基礎(chǔ))微分/導(dǎo)數(shù)就是速度從導(dǎo)數(shù)的定義開始Δx0導(dǎo)數(shù)表示在x的某一點的切線的斜率,也就是變化率變化率就是速度第二十五頁25第二十六頁，共51頁。兩種主要的微分方程常微分方程(ordinarydifferentialequation)u是x的函數(shù)(都是變量)該方程的解為u(x)=cc為任意常數(shù)第二十六頁26第二十七頁，共51頁。兩種主要的微分方程偏微分方程(partialdifferentialequation)u是x,y的函數(shù)該方程暗示u獨立于x所以該方程的解為u(x,y)=f(y)f是y的任意函數(shù)第二十七頁27第二十八頁，共51頁。(生態(tài)學(xué)例子)群體增長模型(1)方程x是變量,代表某群體的個體數(shù),即該群體大小,對時間t求導(dǎo)m是參數(shù),表示增長率求導(dǎo)表示上變量對下變量變化的速度,所以這里的求導(dǎo)代表某群體大小的變化速度第二十八頁28第二十九頁，共51頁。群體增長模型(2)這樣上述方程就表示某群體的增長速度跟現(xiàn)有的群體大小成正比(這意味著指數(shù)增長！)該方程其實就是著名的馬爾薩斯人口方程,m是馬爾薩斯參數(shù)(Malthusianparameter)第二十九頁29第三十頁，共51頁。群體增長模型(3)該方程的(解析)解(analyticsolution)是m=1,x0=1第三十頁30第三十一頁，共51頁。(混沌例子)Lorenz奇怪吸引子微分方程也可以產(chǎn)生混沌！而且更漂亮！例如Lorenz奇怪吸引子(strangeattrator)第三十一頁31第三十二頁，共51頁。微分方程的數(shù)值解這個方程不易得出解析解需轉(zhuǎn)化成差分方程并借助計算機求得數(shù)值解(numericalsolution)歐拉折線法(Eulermethod) dy/dx=f(x,y) (yn+1-yn)/h=f(xn,yn)

yn+1=yn+hf(xn,yn)轉(zhuǎn)化成了差分方程用Excel也可以解（演示…）!第三十二頁32第三十三頁，共51頁。用軟件Euler解Lorenz方程Euler免費Matlab克隆幾乎可做常見的任何數(shù)學(xué)操作,甚至可以符號運算!~2M!Homepage演示…第三十三頁33第三十四頁，共51頁。(例子)Logistic映射的微分形式(單物種增長)[差分]Xn+1 =rXn(1-Xn)[微分]dX/dt =rX(1-X/K)X :群體大小(變量)t :時間r :增值率(參數(shù))K :群體大小極限(參數(shù))該方程比Malthus模型更接近現(xiàn)實,考慮了資源限制第三十四頁34第三十五頁，共51頁。單物種增長模型的解變量初值X0=1參數(shù)值 (變化)r=1 (1…10)K=10000 (1000…10000)Euler演示解的演化、解受參數(shù)的影響不再指數(shù)增長(資源限制K起作用了!)還不如差分方程的解豐富只有定態(tài)解(steadystates,fixedpoints,equilibria)第三十五頁35第三十六頁，共51頁。定態(tài)解及其穩(wěn)定性令方程右邊rX(1-X/K)=0,即可得定態(tài)解X1=0,X2=K求這些定態(tài)解的穩(wěn)定性(stability)對方程右邊求導(dǎo)[rX(1-X/K)]’=r-2rX/K將定態(tài)解代入r-2rX1/K=r >0X1不穩(wěn)定 不可見r-2rX2/K=-r <0X2穩(wěn)定 可見第三十六頁36第三十七頁，共51頁。豐富多彩的混沌分形學(xué)第三十七頁37第三十八頁，共51頁。DynamicsSolver免費數(shù)學(xué)運算、作圖軟件特別擅長于非線性動力學(xué)、混沌、分形~7M軟件自帶混沌示例bifurcation.ds(Logistic)circle.ds,Crutchfield.ds,tent.ds(不同的分岔圖)Henon4.ds(初值敏感)Henon1.ds,baker.ds,Lozi.ds,Julia.ds,Mandelbrot.ds,Newton.ds,vonKoch.ds,snowflake.ds,tree.ds(自相似,豐富的細節(jié),分形)第三十八頁38第三十九頁，共51頁。四、應(yīng)用第三十九頁39第四十頁，共51頁。應(yīng)用廣泛(僅生命科學(xué)方面的部分列舉)生態(tài)學(xué)捕食-被捕食模型酶動力學(xué)(生化)米氏方程神經(jīng)系統(tǒng)細胞代謝系統(tǒng)信號轉(zhuǎn)導(dǎo)系統(tǒng)傳染病群體遺傳學(xué)第四十頁40第四十一頁，共51頁。群體遺傳學(xué)–模擬突變研究對象/假設(shè)代與代不重疊,隨機交配,群體無限大1個位點,2個等位基因(A1,A2),pn和qn=1-pn是它們在第n代時的基因頻率A1變異為A2的突變率是u,A2變異為A1的突變率是v設(shè)一代中一個等位基因只能變異一次A1A2u

pnv

qn第四十一頁41第四十二頁，共51頁。這樣下一代的A1為pn+1=(1-u)pn+v(1-pn)這個差分方程的解為這里p0是開始時(第0代)A1的頻率通常u,v很小(10-6或10-5的量級)當n

∞,pnv/(u+v),qnu/(u+v)達到平衡(實際很難達到)突變方程及其解第四十二頁42第四十三頁，共51頁。predator-prey模型Malthus和Logistic模型是單物種模型predator-prey模型是一類雙物種模型Predator:捕食者Prey:被捕食者第四十三頁43第四十四頁，共51頁。Lotka-Volterra模型Lotka-Volterra模型是最早的predator-prey模型[美]生物物理學(xué)家AlfredLotka(1925)[意]數(shù)學(xué)家VitoVolterra(1926)基于一階非線性常微分方程捕食者被捕食者Euler數(shù)值解演示…第四十四頁44第四十五頁，共51頁。定態(tài)解求定態(tài)解-αx-βxy=0-δxy-γy=0得{x=y=0}(定態(tài)解1){x=α/β,y=γ/δ}(定態(tài)解2)第四十五頁45第四十六頁，共51頁。定態(tài)解的穩(wěn)定性用偏導(dǎo)數(shù)線性化方程右端得Jacobianmatrix該矩陣的本征值(eigenvalue)是

λ1=α>0,λ2=-γ<0(定態(tài)解1)該定態(tài)解是鞍點(saddlepoint,不穩(wěn)定)

λ1=i√αγ>0,λ2=-i√αγ<0(定態(tài)解2)該定態(tài)解是焦點(focus,穩(wěn)定周期)第四十六頁46第四十七頁，共51頁。五、E-Cell第四十七頁47