二、正弦定理必備知識(shí)·自主學(xué)習(xí)1.正弦定理(1)文字?jǐn)⑹?在一個(gè)三角形中,各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等.(2)符號(hào)表示:導(dǎo)思1.正弦定理的內(nèi)容是什么?2.正弦定理能解決哪些問(wèn)題?【說(shuō)明】正弦定理的理解:(1)適用范圍:任意三角形.(2)結(jié)構(gòu)特征:分子為三角形的邊長(zhǎng),分母為相應(yīng)邊所對(duì)角的正弦.(3)主要作用:正弦定理的主要作用是實(shí)現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的互化及解決三角形外接圓問(wèn)題.2.正弦定理的變形(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(邊化角).(2)sinA=,sinB=,sinC=(角化邊).(3)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC(邊角互化).(4)【思考】在△ABC中,若已知a>b,如何利用正弦定理得到sinA>sinB?提示:由a>b,且a=2RsinA,b=2RsinB,可得2RsinA>2RsinB,即sinA>sinB.【基礎(chǔ)小測(cè)】1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)正弦定理僅對(duì)直角三角形成立. (

)(2)在△ABC中,若sinA=,則A=. (

)(3)在△ABC中,若sin2A=sin2B,則△ABC為等腰三角形. (

)提示:(1)×.正弦定理對(duì)任意三角形都成立.(2)×.A=時(shí)sinA=也成立.(3)×.由sin2A=sin2B,可得2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=,即△ABC為等腰三角形或直角三角形.2.在△ABC中,a=,b=1,∠A=,則∠B= (

)【解析】選D.由正弦定理可得sinB=由b<a可得∠B<∠A,所以∠B=3.(教材二次開發(fā):例題改編)探險(xiǎn)隊(duì)為了測(cè)定帳篷A到山峰B的距離,在帳篷旁邊選定100米長(zhǎng)的基線AC,并測(cè)得∠C=105°,∠B=15°,則A,B兩點(diǎn)間的距離為________.

【解析】由正弦定理得所以AB=即A,B兩點(diǎn)間的距離為100(2+)米.答案:100(2+)米關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一利用正弦定理求解三角形的邊與角(邏輯推理)【題組訓(xùn)練】1.在△ABC中,A=60°,a=,b=,則B= (

)

A.45°或135° B.45°C.135° D.以上答案都不對(duì)2.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c.若則cosB= (

)3.在△ABC中,已知c=,A=45°,a=2,求邊b.【解析】1.選B.根據(jù)正弦定理即故sinB=,由題知b<a,故∠B<∠C,故∠B=45°.2.選B.由可得所以tanB=,又0<B<π,所以cosB=.3.因?yàn)樗詓inC=因?yàn)?°<C<180°,所以C=60°或120°.當(dāng)C=60°時(shí),B=75°,當(dāng)C=120°時(shí),B=15°,所以b=+1或-1.【解題策略】1.正弦定理的應(yīng)用范圍(1)已知兩角和任一邊,求其他兩邊和其余一角;(2)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,求另一邊和其余兩角.2.已知三角形兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一邊對(duì)角的正弦值;(2)如果已知的角為大邊所對(duì)的角,由三角形中大邊對(duì)大角、大角對(duì)大邊的法則能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角,由正弦值可求唯一銳角;(3)如果已知的角為小邊所對(duì)的角,則不能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角,這時(shí)由正弦定理可求得兩個(gè)角,要分類討論.【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,c,若b+c=2a,3sinA=5sinB,則角C= (

)

【解析】選B.因?yàn)?sinA=5sinB,由正弦定理可得3a=5b即a=b;因?yàn)閎+c=2a,所以c=b,所以cosC=而C∈(0,π),所以C=.類型二三角形形狀的判斷(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且試判斷△ABC的形狀.【思路導(dǎo)引】根據(jù)正弦定理的變形,先將已知式中的邊轉(zhuǎn)化為角,再化簡(jiǎn),進(jìn)行判斷.【解析】由正弦定理=2R(R為△ABC外接圓的半徑),得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入

可得所以tanA=tanB=1.又因?yàn)榻茿,B,C是△ABC的內(nèi)角,所以A=B=45°,從而C=90°,故△ABC是等腰直角三角形.【解題策略】三角形形狀的判斷1.判斷三角形的形狀,是指根據(jù)已知條件,確定三角形中是否有兩邊(兩角)相等、三邊(三角)相等或是否有直角等,從而判斷三角形是不是等腰三角形、等邊三角形或直角三角形等.2.利用正弦定理判斷三角形形狀的基本思路是:從已知條件出發(fā),利用正弦定理進(jìn)行代換、轉(zhuǎn)化、化簡(jiǎn)、運(yùn)算,找出邊與邊的關(guān)系,角與角的關(guān)系,或求出角的大小,從而作出正確判斷.【跟蹤訓(xùn)練】在△ABC中,若則△ABC是(

)

A.直角三角形 B.等邊三角形C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形【解析】選B.由正弦定理可得即tanA=tanB=tanC,因?yàn)?<A<π,0<B<π,0<C<π,所以A=B=C,所以△ABC是等邊三角形.類型三三角形的面積與外接圓問(wèn)題(邏輯推理)

角度1三角形面積

【典例】已知在△ABC中邊a,b,c的對(duì)角分別為A,B,C,且則△ABC的面積S=________.

【思路導(dǎo)引】可依據(jù)題設(shè)條件求出B的值,再利用面積公式求解.【解析】由正弦定理知sinA=由a<c,得A<C,所以A∈所以A=,所以B=π-A-C=,所以S=acsinB=答案:

角度2三角形外接圓

【典例】在△ABC中內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若△ABC的面積為S,且a=1,4S=b2+c2-1,則△ABC外接圓的面積為 (

)【思路導(dǎo)引】由余弦定理、三角形面積公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)已知等式可得tanA,結(jié)合范圍可求出A的值,由正弦定理可求出外接圓半徑,進(jìn)而求出圓的面積.【解析】選A.由余弦定理可得:2bccosA=b2+c2-a2=b2+c2-1,又因?yàn)镾=bcsinA,可得4S=2bcsinA,因?yàn)?S=b2+c2-1,可得:2bccosA=2bcsinA,即tanA=1,因?yàn)锳∈(0，π),所以A=,設(shè)△ABC外接圓的半徑為R,由正弦定理可得:=2R,即=2R,得R=,所以△ABC外接圓的面積S=πR2=.【變式探究】在△ABC中,c=,A=75°,B=45°,則△ABC的外接圓面積為 (

)A. B.π C.2π D.4π【解析】選B.在△ABC中,A=75°,B=45°,所以C=180°-A-B=60°.設(shè)△ABC外接圓半徑為R,則由正弦定理可得2R=,解得R=1,故△ABC的外接圓面積S=πR2=π.【解題策略】1.利用正弦定理求三角形面積的步驟(1)依據(jù)已知條件,先確定應(yīng)該求出哪個(gè)量;(2)選擇相應(yīng)的邊及相應(yīng)的角,利用正弦定理求出所需要的量;(3)利用面積公式求解.2.三角形外接圓的求解三角形外接圓的求解關(guān)鍵是正確求出其半徑,常常要借助公式=2R(其中R為三角形外接圓的半徑),即可快速求出.【題組訓(xùn)練】1.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a=1,B=45°,S△ABC=2,則△ABC的外接圓的直徑為 (

)【解析】選C.根據(jù)三角形面積公式得×1×csin45°=2,得c=4,則b2=a2+c2-2accosB=25,即b=5,所以△ABC外接圓的直徑為2R=2.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知b=2,B=,C=,則△ABC的面積為 (

)【解析】選B.根據(jù)正弦定理解得c=2,由題知A=,且所以S△ABC=bcsinA=+1.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在△ABC中,若b=2,A=120°,三角形的面積S=,則△ABC的外接圓半徑為(

)

A.B.2C.2D.4【解析】選C.S==×2csin120°,解得c=2,所以a2=22+22-2×2×2cos120°=12,解得a=2,所以2R==4,解得R=2.1.在△ABC中,a=15,b=20,A=30°,則△ABC外接圓半徑為 (

)

A.30B.20C.15D.15【解析】選D.因?yàn)樵凇鰽BC中,a=15,b=20,A=30°,由正弦定理得=2R,即=2R,解得R=15.課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)2.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若cosA=,a=,則=(

)【解析】選D.由cosA=,得sinA=,故

3.(教材二次開發(fā):習(xí)題改編)已知△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,b=2,B=45°,若三角形有兩解,則a的取值范圍是 (

)A.a>2 B.0<a<2C.2<a<2 D.2<a<2【解析】選C.根據(jù)正弦定理

故sinA=,因?yàn)槿切斡袃山?故

<sinA=<1,解得2<a<2.4.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,已知a=2,b=4,A=120°,則△ABC的面積為________.

【解析】因?yàn)閍=2,b=4,A=120°,c>0,又cosA=所以cos120°=解得c=2,所以S△ABC=bcsinA=×4×2sin120°=2.答案:25.銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=2bsinA.(1)求角B的大小;(2)若a+c=13,△ABC的面積為10,求b.【解析】(1)由題設(shè)及正弦定理得sinA=2sinBsinA,因?yàn)閟inA>0,所以sinB=,又0<B<,所以B=.(2)因?yàn)椤鰽BC的面積為10,所以acsinB=10.又因?yàn)锽=,所以ac=40,由余弦定理得b=所以b=二十三正弦定理【基礎(chǔ)通關(guān)—水平一】

(15分鐘30分)1.在△ABC中,已知a=8,∠B=30°,b=4,則c=(

)課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)【解析】選D.由正弦定理,可得即sinA=因?yàn)?°<A<180°,所以∠A=90°,由勾股定理可得c=【補(bǔ)償訓(xùn)練】在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且a=6,c=2,A=120°,則角C= (

)

A.30°或150°

B.30°

C.45°

D.60°【解析】選B.由正弦定理得sinC=又因?yàn)閍>c,所以A>C,即0°<C<90°,所以C=30°.2.在△ABC中,若2a=b+c,sin2A=sinB·sinC,則△ABC一定是 (

)A.鈍角三角形 B.等邊三角形C.等腰直角三角形 D.非等腰三角形【解析】選B.由正弦定理得,a2=bc,由a=,得=bc,整理得(b-c)2=0,所以b=c,因?yàn)閍=,所以a=b=c,所以△ABC為等邊三角形.3.在△ABC中,若a=2,A=30°,則的值為(

)A.4B.2C.4D.2【解析】選A.由題可知,a=2,A=30°,4.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a+b=12,A=60°,B=45°,則a=

.

【解析】在△ABC中,因?yàn)锳=60°,B=45°,由正弦定理可得解得b=a,又因?yàn)閍+b=12,即a+a=12,解得a=36-12.答案:36-125.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,設(shè)向量m=(a+b,sinC),n=(a+c,sinB-sinA),若m∥n,則角B的大小為

.

【解析】因?yàn)閙∥n,所以(a+b)(sinB-sinA)-sinC(a+c)=0,由正弦定理化簡(jiǎn)得(a+b)(b-a)-c(a+c)=0,整理得a2+c2-b2=-ac,所以cosB=-,因?yàn)?<B<π,所以B=.答案:

6.已知在△ABC中,A=,a=13,c=15.(1)求sinC;(2)若△ABC是鈍角三角形,求△ABC的面積.【解析】(1)在△ABC中,根據(jù)正弦定理得所以sinC=(2)因?yàn)閍2=b2+c2-2bccosA,所以132=b2+152-2×b×15×.解得b=8或b=7.當(dāng)b=7時(shí),cosC=<0,所以C為鈍角,所以△ABC的面積S=bcsinA=,當(dāng)b=8時(shí),cosC=>0.此時(shí)C為銳角,不滿足題意,所以△ABC的面積為.【能力進(jìn)階—水平二】(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.已知△ABC中,A=45°,a=1,若△ABC僅有一解,則b∈(

)【解析】選C.由題中已知△ABC中A=45°,a=1,則c邊上的高線長(zhǎng)可表示為bsin45°=b,因?yàn)槿切涡螤钗ㄒ?所以△ABC為直角三角形或鈍角三角形,則a=b或a≥b>0,所以b=a=或0<b≤1.2.在銳角△ABC中,角A,B所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,若2asinB=b,則角A等于

(

)【解析】選A.因?yàn)?asinB=b,由正弦定理可得:2sinAsinB=sinB,又sinB≠0,所以sinA=

.因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形,所以A=.3.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a2-b2=bc,sinC=2sinB,則角A為 (

)A.30° B.60° C.120° D.150°【解析】選A.因?yàn)閟inC=2sinB,所以c=2b,結(jié)合a2-b2=bc,可得a2=7b2,所以cosA=因?yàn)?°<A<180°,所以A=30°.4.在△ABC中,lg(sinA+sinC)=2lgsinB-lg(sinC-sinA),則△ABC的形狀為(

)A.等腰三角形 B.直角三角形C.等邊三角形 D.等腰直角三角形【解析】選B.因?yàn)閘g(sinA+sinC)=

,所以sin2C-sin2A=sin2B,結(jié)合正弦定理得c2=a2+b2,所以△ABC為直角三角形.【誤區(qū)警示】本題容易因?qū)?shù)運(yùn)算公式遺忘從而造成計(jì)算出錯(cuò).二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)5.已知△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且A=60°,b=2,c=+1,則下列說(shuō)法正確的是 (

)A.C=75°或C=105°

B.B=45°C.a= D.該三角形面積為【解析】選BC.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=4+4+2-2×2×(+1)×=6,所以a=.由正弦定理所以sinB=由于0°<B<120°,所以B=45°,C=180°-A-B=75°.△ABC的面積S=bcsinA=×2×(+1)×=.6.已知a,b,c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,∠C=45°,c=,a=x,若滿足條件的三角形有兩個(gè),則x的值可能為 (

)A.1

B.1.5

C.1.8

D.2【解析】選BC.在△ABC中,由∠C=45°,c=,a=x,則asinC=xsin45°=x,要使得三角形有兩個(gè),則滿足x<c<x,即x<<x,解得<x<2,即x的取值范圍是(

，2),結(jié)合選項(xiàng)BC正確.三、填空題(每小題5分,共10分)7.在△ABC中,A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,B=,=-2,且滿足sinA+sinC=2sinB,則該三角形的外接圓的半徑R為

.

【解題指南】根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算,求得ac=4,由正弦定理和余弦定理,列出方程求得a+c=4,進(jìn)而得到b=2,再利用正弦定理,即可求解球的半徑.【解析】由題意,因?yàn)?accos(π-B)=-ac=-2,所以ac=4.由余弦定理得:b2=a2+c2-2accosB,又因?yàn)閟inA+sinC=2sinB,所以a+c=2b,所以=(a+c)2-3ac,所以=12,所以(a+c)2=16,所以a+c=4,所以b=2,所以2R=所以R=.答案:

8.已知點(diǎn)O是△ABC的外接圓的圓心,AB=3,AC=2,∠BAC=,則外接圓