§6平面向量的應(yīng)用6.2平面向量在幾何、物理中的應(yīng)用舉例自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易

錯(cuò)

辨

析

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、向量在幾何證明中的應(yīng)用【問(wèn)題思考】1.設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),a,b的夾角為θ.(1)證明線線平行、點(diǎn)共線及相似問(wèn)題,可用向量的哪些知識(shí)?(2)證明垂直問(wèn)題,可用向量的哪些知識(shí)?提示:(1)可用向量共線的相關(guān)知識(shí),a∥b?a=λb?x1y2-x2y1=0(λ∈R,b≠0).(2)可用向量垂直的相關(guān)知識(shí),a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0.2.由于向量的運(yùn)算有著鮮明的幾何背景,幾何圖形的許多變化和性質(zhì),如平移、全等、長(zhǎng)度、夾角等都可以用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示.因此,用向量的方法可以解決幾何中的一些問(wèn)題.A.等邊三角形

B.直角三角形C.等腰三角形

D.形狀無(wú)法確定可得△ABC為等腰三角形.答案:C二、向量在物理中的應(yīng)用【問(wèn)題思考】1.物理中的動(dòng)量mv,功F·s是向量中的什么運(yùn)算?提示:m是標(biāo)量,v是矢量,故mv為數(shù)乘運(yùn)算;F和s均為矢量,故F·s為數(shù)量積運(yùn)算.2.既有大小又有方向的物理量是數(shù)學(xué)中向量的現(xiàn)實(shí)原型,向量是解決許多物理問(wèn)題的有力工具.3.當(dāng)兩人提起重量為G的旅行包時(shí),夾角為θ,兩人用力大小都為|F|,若|F|=|G|,則θ的值為(

).A.30° B.60°

C.90° D.120°解析:由題意作出示意圖如答圖2-6-4,由|F|=|G|知△AOC,△BOC都是等邊三角形,故θ=120°.答案:D答圖2-6-4

合作探究·釋疑解惑探究一探究二探究一

向量在幾何證明中的應(yīng)用【例1】

如圖2-6-9,在正方形ABCD中,E,F分別是AB,BC的中點(diǎn),求證:AF⊥DE.圖2-6-9證法二:如答圖2-6-5,建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2,則A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),答圖2-6-5把例1改為:其他條件不變,設(shè)DE與AF的交點(diǎn)為P,證明:AB=CP.證明:如答圖2-6-6,建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2,則A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),答圖2-6-6反思感悟用向量法解決平面幾何問(wèn)題的兩種方法:(1)幾何法,選取適當(dāng)?shù)幕?基中的向量盡量已知?；驃A角),將題中涉及的向量用基表示,利用向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律或性質(zhì)計(jì)算.(2)坐標(biāo)法,建立平面直角坐標(biāo)系,實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)化,將幾何問(wèn)題中的長(zhǎng)度、垂直、平行等問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算.

探究二

向量的數(shù)量積在物理中的應(yīng)用【例2】

如圖2-6-10,設(shè)作用于同一點(diǎn)的三個(gè)力F1,F2,F3處于平衡狀態(tài),若|F1|=1,|F2|=2,且F1與F2的夾角為

.(1)求F3的大小;(2)設(shè)力F3,F2的夾角為θ,求θ的值.圖2-6-10分析:(1)用F1,F2表示F3,求|F3|;(2)利用F1,F2,F3之間的關(guān)系求出F2·F3,利用夾角公式求解.解:(1)由題意|F3|=|F1+F2|.(2)因?yàn)镕3=-(F1+F2),所以F3·F2=-F1·F2-F2·F2,反思感悟用向量解決物理中相關(guān)問(wèn)題的步驟(1)轉(zhuǎn)化:把物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題.(2)建模:建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型.(3)求解:求出數(shù)學(xué)模型的相關(guān)解.(4)回歸:回到物理現(xiàn)象中,用已經(jīng)獲取的數(shù)值去解釋一些物理現(xiàn)象.易

錯(cuò)

辨

析對(duì)向量相等的定義理解不清楚而致誤【典例】

已知在四邊形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相互