...wd......wd......wd...第5章大數(shù)定律與中心極限定理填空題：1.設隨機變量，方差，則由切比雪夫不等式有.2.設是n個相互獨立同分布的隨機變量，對于，寫出所滿足的切彼雪夫不等式，并估計.3.設隨機變量相互獨立且同分布,而且有,,令,則對任意給定的,由切比雪夫不等式直接可得.解：切比雪夫不等式指出：如果隨機變量滿足：與都存在,則對任意給定的,有,或者由于隨機變量相互獨立且同分布,而且有所以4.設隨機變量X滿足：,則由切比雪夫不等式,有.解：切比雪夫不等式為：設隨機變量X滿足,則對任意的,有由此得5、設隨機變量，則.6、設為相互獨立的隨機變量序列，且服從參數(shù)為的泊松分布，則.7、設表示n次獨立重復試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，是事件A在每次試驗中出現(xiàn)的概率，則.8.設隨機變量,服從二項分布,其中,那么,對于任一實數(shù)x,有0.9.設為隨機變量序列,為常數(shù),則依概率收斂于是指1,或0。10.設供電站電網(wǎng)有100盞電燈,夜晚每盞燈開燈的概率皆為0.8.假設每盞燈開關是相互獨立的,假設隨機變量X為100盞燈中開著的燈數(shù),則由切比雪夫不等式估計,X落在75至85之間的概率不小于.解：,于是二．計算題：1、在每次試驗中，事件A發(fā)生的概率為0.5，利用切比雪夫不等式估計，在1000次獨立試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)在450至550次之間的概率.解：設表示1000次獨立試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，則2、一通信系統(tǒng)擁有50臺相互獨立起作用的交換機.在系統(tǒng)運行期間,每臺交換機能清晰承受信號的概率為0.90.系統(tǒng)正常工作時,要求能清晰承受信號的交換機至少45臺.求該通信系統(tǒng)能正常工作的概率.解：設X表示系統(tǒng)運行期間能清晰承受信號的交換機臺數(shù),則由此P(通信系統(tǒng)能正常工作)3、某微機系統(tǒng)有120個終端,每個終端有5%的時間在使用,假設各終端使用與否是相互獨立的,試求有不少于10個終端在使用的概率.解：某時刻所使用的終端數(shù)7由棣莫弗－拉普拉斯定理知4、某校共有4900個學生,每天晚上每個學生到閱覽室去學習的概率為0.1,問閱覽室要準備多少個座位,才能以99%的概率保證每個去閱覽室的學生都有座位.解：設去閱覽室學習的人數(shù)為,要準備k個座位.查分布表可得要準備539個座位,才能以99%的概率保證每個去閱覽室學習的學生都有座位.5．隨機地擲六顆骰子，試利用切比雪夫不等式估計：六顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)總和不小于9且不超過33點的概率。解：設表示六顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)總和。i，表示第i顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)，i=1，2，…，61，2，…，6相互獨立，顯然6.設隨機變量相互獨立，且均服從指數(shù)分布為使，問：的最小值應如何解:由切比雪夫不等式得即,從而n2000，故n的最小值是20007．抽樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時，如果發(fā)現(xiàn)次品多于10個，則拒絕承受這批產(chǎn)品，設某批產(chǎn)品次品率為10%，問至少應抽取多少個產(chǎn)品檢查才能保證拒絕承受該產(chǎn)品的概率到達0.9?解：設n為至少應取的產(chǎn)品數(shù)，是其中的次品數(shù)，則，，而所以由中心極限定理知，當n充分大時，有，由 查表得8．(1)一個復雜系統(tǒng)由100個相互獨立的元件組成，在系統(tǒng)運行期間每個元件損壞的概率為0.1，又知為使系統(tǒng)正常運行，至少必需要有85個元件工作，求系統(tǒng)的可靠程度(即正常運行的概率)；(2)上述系統(tǒng)假設有n個相互獨立的元件組成，而且又要求至少有80%的元件工作才能使系統(tǒng)正常運行，問n至少為多大時才能保證系統(tǒng)的可靠程度為0.95?解：(1)設表示正常工作的元件數(shù)，則，由中心極限定理可知(2)設表示正常工作的元件數(shù)，則9．一部件包括10局部，每局部的長度是一隨機變量，相互獨立且具有同一分布，其數(shù)學期望為2mm，均方差為0.05mm，規(guī)定總長度為200.1mm時產(chǎn)品合格，試求產(chǎn)品合格的概率。已知：(0.6)=0.7257；(0.63)=0.7357。解：設每個局部的長度為Xi(i=1,2,…,10)E(Xi)=2=,D(Xi)=2=(0.05)2,依題意，得合格品的概率為10．計算機在進展加法計算時，把每個加數(shù)取為最接近它的整數(shù)來計算，設所有取整誤差是相互獨立的隨機變量，并且都在區(qū)間[0.5，0.5]上服從均勻分布，求1200個數(shù)相加時誤差總和的絕對值小于10的概率。：(1)=0.8413；(2)=0.9772。解：設1，2，，n表示取整誤差,因它們在[0.5，0.5]上服從均勻分布，故有根據(jù)同分布的中心要極限定理，得=(1)(1)=2(1)1 =20.84131=0.682611．將一枚硬幣連擲100次，試用隸莫佛--拉普拉斯定理計算出現(xiàn)正面的次數(shù)大于60的概率。：(1)=0.8413；(2)=0.9772；當x>4,(x)=1。解：設為擲100次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，它服從二項分布B(100，) 這里由隸莫佛--拉普拉斯定理，得查N(0，1)分布函數(shù)表，得P{60<100}=10.977=0.023.12.有甲、乙兩種味道和顏色都極為相似的名酒各4杯.如果從中挑4杯,能將甲種酒全部挑出來,算是成功一次.(1)某人隨機地去猜,問他成功一次的概率是多少(2)某人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒.他連續(xù)試驗10次,成功3次.試推斷他是猜對的,還是他確有區(qū)分的能力(各次試驗是相互獨立的).解：(1)設A={試驗成功一次},則有(2)設X：試驗10次成功的次數(shù),則由于因此隨機事件是一個小概率事件,根據(jù)“小概率事件在一次試驗中是不大可能發(fā)生的〞的原理,隨機事件是不大可能發(fā)生的,但它卻發(fā)生了,因此我們要以斷定此人確有區(qū)分酒的能力.13.保險公司新增一個保險品種：每被保險人年交納保費為100元,每被保險人出事賠付金額為2萬元.根據(jù)統(tǒng)計,這類被保險人年出事概率為0.0005.這個