1.1探索勾股定理

第一章勾股定理第1課時(shí)

認(rèn)識(shí)勾股定理北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)如圖，這是一幅美麗的圖案，仔細(xì)觀察，你能發(fā)現(xiàn)這幅圖中的奧秘嗎？帶著疑問(wèn)我們來(lái)一起探索吧.雙擊圖標(biāo)開(kāi)始演示幾何畫板點(diǎn)擊視頻開(kāi)始播放←（圖中每一格

代表1cm2）（1）正方形

P

的面積是

cm2；（2）正方形

Q

的面積是

cm2；（3）正方形

R

的面積是

cm2.121SP

+

SQ

=

SRRQPACBAC2

+

BC2

=

AB2等腰直角三角形ABC

三邊長(zhǎng)度之間存在什么關(guān)系嗎？SP=AC2

SQ=BC2SR=AB2上面三個(gè)正方形的面積之間有什么關(guān)系？做一做：觀察正方形瓷磚鋪成的地面.勾股定理的初步認(rèn)識(shí)填一填：觀察右邊兩幅圖：完成下表

(每個(gè)小正方形的面積為單位1).

A的面積B的面積C的面積左圖右圖4

？怎樣計(jì)算正方形

C的面積呢？9

16

9

？方法一：割方法二：補(bǔ)方法三：拼分割為四個(gè)直角三角形和一個(gè)小正方形.補(bǔ)成大正方形，用大正方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積.將幾個(gè)小塊拼成若干個(gè)小正方形，圖中兩塊紅色（或綠色）可拼成一個(gè)小正方形.分析表中數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？A的面積B的面積C的面積左圖4913右圖16925結(jié)論：以直角三角形兩直角邊為邊長(zhǎng)的兩個(gè)小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積.雙擊圖標(biāo)開(kāi)始演示幾何畫板13512ABC

分別以5cm、12cm為直角三角形的直角邊作出一個(gè)直角三角形

ABC，測(cè)量斜邊的長(zhǎng)度，然后驗(yàn)證上述關(guān)系對(duì)這個(gè)直角三角形是否成立.做一做幾何語(yǔ)言：在

Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴

a2+b2=c2(勾股定理).aABCbc∟總結(jié)歸納定理揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．如果

a，b和

c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么

a2

+

b2=c2．勾股定理求下列直角三角形中未知邊的長(zhǎng)：練一練8x17125x解：由勾股定理可得82+x2=172，

x=15.解：由勾股定理可得

52+122

=x2，

x=13.

我們一起穿越到

2500年前，跟隨畢達(dá)哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用磚鋪成的地面（如圖所示）：ABC穿越畢達(dá)哥拉斯做客現(xiàn)場(chǎng)正方形

A的面積正方形

B的面積正方形

C的面積+=一直角邊2另一直角邊2斜邊2+=知識(shí)鏈接

例1

已知∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=3，BC=4.求

CD的長(zhǎng).典例精析解：由勾股定理可得

AB2=AC2+BC2=25，

即AB=5.

根據(jù)三角形面積公式，

得

AC·BC=AB·CD.∴CD=.ADBC34利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算方法總結(jié)

由直角三角形的面積求法可知直角三角形兩直角邊的積等于斜邊與斜邊上高的積，這個(gè)規(guī)律也稱“弦高公式”，它常與勾股定理聯(lián)合使用．例2

如圖，已知

AD

是△ABC

的中線．

求證：AB2＋AC2

＝

2(AD2＋CD2)．證明：如圖，過(guò)點(diǎn)

A

作

AE⊥BC

于點(diǎn)

E.在

Rt△ACE、Rt△ABE

和

Rt△ADE

中，AB2＝AE2＋BE2，AC2＝AE2＋CE2，AE2＝AD2－ED2，BE＝DB－ED，CE＝CD＋ED.∴

AB2＋AC2＝(AE2＋BE2)＋(AE2＋CE2)＝2AD2＋DB2＋DC2＋2ED·(DC－DB)．又∵

AD

是△ABC

的中線，∴

DB＝DC.∴

AB2＋AC2＝2AD2＋2DC2＝2(AD2＋CD2)．E方法總結(jié)

構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理把需要證明的線段聯(lián)系起來(lái)．一般地，涉及線段之間的平方關(guān)系問(wèn)題時(shí)，通常沿著這個(gè)思路去分析問(wèn)題比較好．解：當(dāng)高

AD

在△ABC

內(nèi)部時(shí)，如圖①.在

Rt△ABD

中，由勾股定理，得

BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴

BD＝16.在

Rt△ACD

中，由勾股定理，得

CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴

CD＝9.

∴

BC＝BD＋CD＝25.∴

△ABC

的周長(zhǎng)為

25＋20＋15＝60.例3

在△ABC

中，AB＝20，AC＝15，AD

為

BC

邊上的高，且

AD

＝

12，求△ABC

的周長(zhǎng)．

題中未給出圖形，作高構(gòu)造直角三角形時(shí)，易漏掉鈍角三角形的情況．如在本例題中，易只考慮高AD

在△ABC

內(nèi)的情形，忽視高

AD

在△ABC

外的情形．當(dāng)高

AD

在△ABC

外部時(shí)，如圖②.同理可得BD＝16，CD＝9.∴

BC＝BD－CD＝7.∴△ABC

的周長(zhǎng)為

7＋20＋15＝42.綜上所述，△ABC

的周長(zhǎng)為

42

或

60.方法總結(jié)解：∵AE＝BE，∴S△ABE＝AE·BE＝AE2.又∵AE2＋BE2＝AB2，∴2AE2＝AB2.∴S△ABE＝AB2＝.同理可得

S△AHC＋S△BCF＝AC2＋BC2.又∵AC2＋BC2＝AB2，∴陰影部分的面積為AB2＝.例4

如圖，以

Rt△ABC

的三邊長(zhǎng)為斜邊分別向外作等腰直角三角形.若斜邊

AB＝3，求△ABE及陰影部分的面積.方法總結(jié)

求解與直角三角形三邊有關(guān)的圖形面積時(shí)，要結(jié)合圖形想辦法把圖形的面積與直角三角形三邊的平方聯(lián)系起來(lái)，再利用勾股定理找到圖形面積之間的等量關(guān)系．思維拓展解：S5=S1+S2=4，S7=S5+S6=10.已知

S1=1，S2=3，S3=2，S4=4，求

S5，S6，S7的值.S6=S3+S4=6，認(rèn)識(shí)勾股定理如果直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為

a，b，斜邊長(zhǎng)為

c，那么

a2+b2=c2利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算1.1探索勾股定理

第一章勾股定理第2課時(shí)

驗(yàn)證勾股定理北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)觀察與思考活動(dòng)：請(qǐng)你利用自己準(zhǔn)備的四個(gè)全等的直角三角形拼出以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形．

有不同的拼法嗎？據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，驗(yàn)證的方法有400多種，你有自己的方法嗎？問(wèn)題：上節(jié)課我們認(rèn)識(shí)了勾股定理，你還記得它的內(nèi)容嗎？那么如何驗(yàn)證勾股定理呢？雙擊圖標(biāo)演示幾何畫板勾股定理的驗(yàn)證證法1

畢達(dá)哥拉斯證法，請(qǐng)先用手中的四個(gè)全等的直角三角形按圖示進(jìn)行拼圖，然后分析其面積關(guān)系后證明吧.aaaabbbbcccc∴a2+b2+2ab=c2+2ab.∴a2+b2=c2.證明：∵

S大正方形

=

(a

+

b)2

=

a2

+

b2

+

2ab，S大正方形

=4S直角三角形

+S小正方形

=4×

ab+c2=c2+2ab，abbcabca證法2讓我們跟著我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽拼圖，再用所拼的圖形證明命題吧.abc∵S大正方形＝c2，S小正方形＝(b-

a)2，∴S大正方形＝4S三角形＋S小正方形.趙爽弦圖b-a證明：

“趙爽弦圖”表現(xiàn)了我國(guó)古人對(duì)數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，它是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲.因此，這個(gè)圖案被選為2002年在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽.aabbcc∴a2+b2=c2.證法3美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”.如圖，圖中的三個(gè)三角形都是直角三角形，求證：a2+b2=c2.abc青入青方青出青出青入朱入朱方朱出青朱出入圖課外鏈接abcABCDEFO達(dá)·芬奇對(duì)勾股定理的證明ⅠⅡAaBCbDEFOⅠⅡA′B′C′D′E′F′

如圖，過(guò)A

點(diǎn)畫一直線AL

使其垂直于DE，并交DE

于L，交BC

于M.通過(guò)證明△BCF≌△BDA，利用三角形面積與矩形面積的關(guān)系，得到正方形

ABFG

與矩形

BDLM等積，同理正方形

ACKH與矩形

MLEC

也等積，于是推得：歐幾里得證明勾股定理點(diǎn)擊視頻開(kāi)始播放→視頻：勾股定理面積法驗(yàn)證推薦書(shū)目議一議觀察下圖，用數(shù)格子的方法判斷圖中三角形的三邊長(zhǎng)是否滿足

a2+b2=c2.例1我方偵查員小王在距離東西向公路400m處偵查，發(fā)現(xiàn)一輛敵方汽車在公路上疾駛.他趕緊拿出紅外測(cè)距儀，測(cè)得汽車與他相距400m，10s后，汽車與他相距500m，你能幫小王計(jì)算敵方汽車的速度嗎?公路BCA400m500m解：由勾股定理，得

AB2=BC2+AC2，即5002=BC2+4002，所以

BC=300.敵方汽車10s行駛了300m，那么它1h行駛的路程為300×6×60=108000(m).即它行駛的速度為108km/h.勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用練一練1.湖的兩端有

A、B兩點(diǎn)，從與

BA方向成直角的

BC方向上的點(diǎn)

C測(cè)得

CA=130米，CB=120米，則

AB為()ABCA.50米B.120米C.100米D.130米130120?AABC2.如圖，太陽(yáng)能熱水器的支架

AB長(zhǎng)為90cm，與

AB垂直的

BC長(zhǎng)為120cm.太陽(yáng)能真空管

AC有多長(zhǎng)?解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2=AB2

+BC2，

AC2=902

+

1202，

AC=150(cm).答：太陽(yáng)能真空管

AC長(zhǎng)150cm.例2如圖，高速公路的同側(cè)有

A，B兩個(gè)村莊，它們到高速公路所在直線

MN的距離分別為AA1＝2km，BB1＝4km，A1B1＝8km.現(xiàn)要在高速公路上A1、B1之間設(shè)一個(gè)出口