-.z.第二講分式的化簡與求值分式的有關(guān)概念和性質(zhì)與分?jǐn)?shù)相類似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零時才有意義；也像分?jǐn)?shù)一樣，分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個不等于零的整式，分式的值不變，這一性質(zhì)是分式運算分和約分的理論根據(jù)．在分式運算中，主要是通過約分和通分來化簡分式，從而對分式進(jìn)展求值．除此之外，還要根據(jù)分式的具體特征靈活變形，以使問題得到迅速準(zhǔn)確的解答．本講主要介紹分式的化簡與求值．例1化簡分式：分析直接通分計算較繁，先把每個假分式化成整式與真分式之和的形式，再化簡將簡便得多．＝［(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)］說明此題的關(guān)鍵是正確地將假分式寫成整式與真分式之和的形式．例2求分式當(dāng)a=2時的值．分析與解先化簡再求值．直接通分較復(fù)雜，注意到平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，可將分式分步通分，每一步只通分左邊兩項．例3假設(shè)abc=1，求分析此題可將分式通分后，再進(jìn)展化簡求值，但較復(fù)雜．下面介紹幾種簡單的解法．解法1因為abc=1，所以a，b，c都不為零．解法2因為abc=1，所以a≠0，b≠0，c≠0．例4化簡分式：分析與解三個分式一齊通分運算量大，可先將每個分式的分母分解因式，然后再化簡．說明互消掉的一對相反數(shù)，這種化簡的方法叫“拆項相消〞法，它是分式化簡中常用的技巧．例5化簡計算(式中a，b，c兩兩不相等)：似的，對于這個分式，顯然分母可以分解因式為(a-b)(a-c)，而分子又恰好湊成(a-b)+(a-c)，因此有下面的解法．解說明本例也是采取“拆項相消〞法，所不同的是利用例6：*+y+z=3a(a≠0，且*，y，z不全相等)，求分析此題字母多，分式復(fù)雜．假設(shè)把條件寫成(*-a)+(y-a)+(z-a)=0，則題目只與*-a，y-a，z-a有關(guān)，為簡化計算，可用換元法求解．解令*-a=u，y-a=v，z-a=w，則分式變?yōu)閡2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0．由于*，y，z不全相等，所以u，v，w不全為零，所以u2+v2+w2≠0，從而有說明從本例中可以看出，換元法可以減少字母個數(shù)，使運算過程簡化．例7化簡分式：適當(dāng)變形，化簡分式后再計算求值．(*-4)2=3，即*2-8*+13＝0．原式分子=(*4-8*3+13*2)+(2*3-16*2+26*)+(*2-8*+13)+10=*2(*2-8*+13)+2*(*2-8*+13)+(*2-8*+13)+10=10，原式分母=(*2-8*+13)+2=2，說明本例的解法采用的是整體代入的方法，這是代入消元法的一種特殊類型，應(yīng)用得當(dāng)會使問題的求解過程大大簡化．解法1利用比例的性質(zhì)解決分式問題．(1)假設(shè)a+b+c≠0，由等比定理有所以a+b-c=c，a-b+c=b，-a+b+c=a，于是有(2)假設(shè)a+b+c=0，則a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，于是有說明比例有一系列重要的性質(zhì)，在解決分式問題時，靈活巧妙地使用，便于問題的求解．解法2設(shè)參數(shù)法．令則a+b=(k+1)c，①a+c=(k+1)b，②b+c=(k+1)a．③①+②+③有2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c)，所以(a+b+c)(k-1)=0，故有k=1或a+b+c=0．當(dāng)k=1時，當(dāng)a+b+c=0時，說明引進(jìn)一個參數(shù)k表示以連比形式出現(xiàn)的條件，可使條件便于使用．練習(xí)四1