數(shù)學(xué)的第一次危機第一次數(shù)學(xué)危機及其意義探析

危機是一個不可避免的矛盾。這種矛盾存在于事物的發(fā)展和變化的整個過程中。庫恩認為,任何一個范式在一個學(xué)科中的統(tǒng)治地位都不是一勞永逸的。在常規(guī)科學(xué)的發(fā)展中,出乎科學(xué)家意料之外的現(xiàn)象的出現(xiàn)是不可避免的,當(dāng)一種反?，F(xiàn)象與主流理論相矛盾,且這種矛盾無法克服并不斷出現(xiàn)時,就會出現(xiàn)理論方面的生存危機。庫恩認為,危機并不可怕,因為危機常常會產(chǎn)生出新的發(fā)明。雖然數(shù)學(xué)以確定性和分析性為特征,但是在整個數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史上,數(shù)學(xué)的發(fā)展并非線性的,而是不斷面臨著各種各樣“矛盾”的挑戰(zhàn)。在矛盾激化到威脅整個數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)時,就會產(chǎn)生數(shù)學(xué)危機。矛盾的消除,危機的解決,往往給數(shù)學(xué)帶來新的研究內(nèi)容,新的理論體系,甚至引起革命性的變革。這也反映出矛盾斗爭是事物發(fā)展的歷史動力這一基本原理。整個數(shù)學(xué)的發(fā)展史就是矛盾斗爭的歷史,斗爭的結(jié)果就是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展。無理數(shù)的出現(xiàn),導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上的第一次危機,而危機的解決也帶來了數(shù)學(xué)的更快發(fā)展。一、數(shù)作為人類的存在第一次數(shù)學(xué)危機發(fā)生之前,古希臘數(shù)學(xué)領(lǐng)域占統(tǒng)治地位是畢達哥拉斯學(xué)派。畢達哥拉斯(Pythagoras,ca.560-ca.480.BC)是公元前五世紀古希臘的著名數(shù)學(xué)家與哲學(xué)家。他所創(chuàng)立的畢達哥拉斯學(xué)派是一個從事政治、數(shù)學(xué)、哲學(xué)和宗教研究活動具有神秘主義色彩的團體,在哲學(xué)和數(shù)學(xué)方面的研究成果突出。著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家萊布尼茲說:“我對畢達哥拉斯有最高評價,而且我?guī)缀跽J為,他高于所有別的古代哲學(xué)家。”152畢達哥拉斯學(xué)派成員人數(shù)固定,有一套嚴格的清規(guī)戒律,其中有一條就是其所有成員均需宣誓忠于學(xué)派,所獲得的知識均需對外保密,而且必須歸功于學(xué)派領(lǐng)袖畢達哥拉斯。在哲學(xué)上,畢達哥拉斯跟當(dāng)時的其他希臘思想家一樣,也熱衷于探索世界構(gòu)成的本原問題。但是他跟米利都派哲學(xué)家不同,他不把物質(zhì)的東西看作萬物之本,而把精神的產(chǎn)物——正整數(shù)當(dāng)作萬物之原,提出了“數(shù)本原說”。他非常重視數(shù)學(xué),企圖用數(shù)(有理數(shù))來解釋一切。他主張萬物從1開始,由l生成2,由1、2生成各種數(shù)目;由數(shù)目生成各種幾何圖形,然后由幾何圖形生成幾種基本的物質(zhì)元素,由基本的物質(zhì)元素構(gòu)成各種物體,最后生成有生命、有思想的宇宙。畢達哥拉斯學(xué)派的哲學(xué)信條是:整個字宙間的一切現(xiàn)象,都可歸結(jié)為整數(shù)和整數(shù)之比。因此,他們宣稱萬物的本原不是自然物質(zhì),而是數(shù),也即“萬物皆數(shù)”。世間萬物只是數(shù)的摹本,它們都遵循著數(shù)的原則轉(zhuǎn)。也就是說,數(shù)為宇宙提供了一個概念模型,數(shù)量和形狀決定一切自然物體的形式,數(shù)不但有量的多寡,而且也具有幾何形狀。對此,恩格斯指出,畢達哥拉斯“曾經(jīng)把數(shù),即量的規(guī)定性,理解為事物的本質(zhì)”。233在這個意義上,他們把數(shù)理解為自然物體的形式,是一切事物的總根源。因為有了數(shù),才有幾何學(xué)上的點,有了點才有線面和立體,有了立體才有火、氣、水、土這四種元素,從而構(gòu)成萬物,所以數(shù)在物之先。自然界的一切現(xiàn)象和規(guī)律都是由數(shù)決定的,都必須服從“數(shù)的和諧”,即服從數(shù)的關(guān)系。而這個數(shù)指的是整數(shù)。整數(shù)是在對于對象的有限整合進行計算的過程中產(chǎn)生的抽象概念,這個概念對于畢達哥拉斯學(xué)派來說至關(guān)重要。亞里士多德指出:“他們在數(shù)的和諧中,看到邏輯規(guī)律(特性),因為他們認為,一切別的事物的本性都是由數(shù)造成的,因而數(shù)在一切本性中是第一位的,他們認為數(shù)的原素就是一切事物的原素,一切天體也是和諧的數(shù)?！?9萬事萬物皆出自于數(shù),回歸于數(shù),并只有通過數(shù)才能得到理解?？傊?數(shù)就是畢達哥拉斯學(xué)派的宗教,其地位僅次于上帝。人們在日常生活中,首先要計算對象的數(shù)量,這就要用到整數(shù),其次,人們還要度量各種量,例如高度、長度、重量和時間。為了滿足這些簡單的度量需要,就要用到分數(shù)。于是,如果定義有理數(shù)為兩個整數(shù)的商,那么由于有理數(shù)就包括所有的整數(shù)和分數(shù)。對于古希臘民眾的日常生活來說,有理數(shù)對于進行實際量度是完全足夠的。顯然,不論測量技術(shù)多么發(fā)達,實踐中測得的數(shù)都是有理數(shù)因此,古代學(xué)者關(guān)于數(shù)即有理數(shù)的信念,是與當(dāng)時人們的數(shù)學(xué)研究水平和生活實踐相一致的,或者說他們關(guān)于宇宙萬物都能歸結(jié)為整數(shù)或者整數(shù)之比的信念是有其現(xiàn)實依據(jù)的。畢達哥拉斯還通過說明數(shù)和物理現(xiàn)象間的聯(lián)系,來進一步證明自己的理論。他曾證明用三條弦發(fā)出某一個樂音,以及它的第五度音和第八度音時,這三條弦的長度之比為6:4:3。“和諧”和“美感”也是由一定數(shù)的比例關(guān)系組成的。如果想認識周圍的世界,就必須找出事物中的數(shù)。一旦數(shù)的結(jié)構(gòu)被抓住,就能控制整個世界。亞里士多德這樣敘述這個觀點:“他們又見到了音律(諧音)的變化與比例可由數(shù)來計算——因此,他們想到自然間萬物似乎莫不可由數(shù)范成,數(shù)遂為自然間的第一義;他們認為數(shù)的要素即萬物的要素,而全宇宙也是一數(shù),并應(yīng)是一個樂調(diào)?！痹趯@種數(shù)的規(guī)律的研究中,畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)了今天眾所周知的勾股定理。并且據(jù)說畢達哥拉斯在完成這一定理證明后欣喜若狂,并且屠殺了99頭牛進行慶賀。因此這一定理還又獲得了一個帶神秘色彩的稱號:“百牛定理”。天文學(xué)家開普勒曾稱其為歐氏幾何中兩顆璀璨的明珠之一。它在數(shù)學(xué)與人類的實踐活動中有著極其廣泛的應(yīng)用,同時也是人類最早認識到的平面幾何定理之一。因此著名數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家羅素對他的評價極高:“無論就他的聰明而論或是就他的不聰明而論,畢達哥拉斯都是自有史以來在思想方面最重要的人物之一”。55畢達哥拉斯學(xué)派所主張的宇宙間一切事物都可歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比的觀點在當(dāng)時的科學(xué)技術(shù)發(fā)展水平下其實是相當(dāng)合理的。因為當(dāng)時人們所接觸的數(shù)要么是整數(shù),要么是小數(shù)。而帶小數(shù)的數(shù)都產(chǎn)生于分數(shù)。分數(shù)就是所謂的整數(shù)的比。所以把所有事物歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比在當(dāng)時不算過分,在理論上和實踐中都是沒有什么疑義的。問題是畢達哥拉斯學(xué)派是一個政治、哲學(xué)、宗教、數(shù)學(xué)的混合組織,所以這個結(jié)論就被作為一種宗教信仰而變得神圣不可侵犯了。也正因為如此,當(dāng)無理數(shù)被發(fā)現(xiàn)而對這個信條產(chǎn)生威脅時,這個學(xué)派的根基就發(fā)生了信仰危機。二、elea學(xué)派的生存危機畢達哥拉斯學(xué)派所提出的宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比的哲學(xué)信條不久就受到了嚴重的挑戰(zhàn),因為不可公度的無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)徹底粉碎了他們的基本信念,使整個學(xué)派失去了賴以存在的基礎(chǔ)。公元前470年,畢達哥拉斯學(xué)派中的一個成員希帕索斯(Hippasus)考慮了這樣一個問題:邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢?他發(fā)現(xiàn)這一長度既不能用整數(shù),也不能用分數(shù)表示,而只能用一個新數(shù)來表示。希帕索斯的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上第一個無理數(shù)2的誕生。我們可以這樣來設(shè)想希帕索斯的工作:假設(shè)正方形邊長為1,并設(shè)其對角線長為L,按畢達哥拉斯定理可以得出L2=12+12=2,即L2=2,那么L是多少呢?顯然L不是整數(shù)。依照畢達哥拉斯學(xué)派的宇宙間一切事物都可歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比的觀點可以推出,L只可能是某兩個整數(shù)之比。希帕索斯日思夜想試圖找到這兩個整數(shù)之比,結(jié)果徒勞無功。最后他得出的結(jié)論是:這個正方形的對角線既不是整數(shù)也不是整數(shù)之比,而是他們之前從未接觸過的新數(shù)。今天我們已經(jīng)知道,L確實不是一個有理數(shù),而是無理數(shù)2。2是人類歷史上誕生的第一個無理數(shù)。它的誕生是人類對數(shù)認識的一次重大飛躍,被稱為數(shù)學(xué)史上的偉大發(fā)現(xiàn)之一。面對這個小小的2,畢達哥拉斯陷入了深深的矛盾和不安之中。一方面,他想維護學(xué)派的教條,試圖否定和拒絕接受它,但是希帕索斯的推理毫無破綻,完全是合理的結(jié)論;另一方面,如果贊同和接受它,則無異于挖開了學(xué)派信仰的根基,宣告學(xué)派的滅亡。因為這一發(fā)現(xiàn)對他來說是致命的,它將完全推翻他自己的數(shù)學(xué)與哲學(xué)信條。在這兩難處境下,畢達哥拉斯決定在學(xué)派內(nèi)封鎖這一消息,不讓它傳到外界,以維護自己的數(shù)學(xué)和哲學(xué)信條?？墒菆?zhí)著的希伯索斯還是把這個發(fā)現(xiàn)給泄露了出去。在當(dāng)時人們看來,希伯索斯的發(fā)現(xiàn)被認為是“荒謬”和違反常識的事。它不僅嚴重地違背了畢達哥拉斯學(xué)派的信條,也沖擊了當(dāng)時希臘人的傳統(tǒng)見解和常識。2的出現(xiàn)使當(dāng)時希臘數(shù)學(xué)家們深感不安,相傳希伯索斯因泄露了這一發(fā)現(xiàn)而被投入海中淹死。按庫恩的范式理論,當(dāng)某個科學(xué)理論在發(fā)展中偶爾出現(xiàn)一次反常時,科學(xué)家們不會馬上放棄這個理論,而是試圖通過各種方式化反常為正常。但是人們始終無法化解這個反常事例而且更多的反常事例陸續(xù)出現(xiàn)時,該科學(xué)理論就出現(xiàn)的生存的危機。希帕索斯的重大發(fā)現(xiàn)公之于世后,人們很快發(fā)現(xiàn)不可通約性并不是罕見的現(xiàn)象。后來,據(jù)柏拉圖說,狄奧多魯斯在大約公元前425年,指出面積等于3、5、6……17的正方形的邊與單位正方形的邊也不可通約,并對每一種情況都單獨予以證明。隨著時間的推移,無理數(shù)的存在逐漸成為人所共知的事實。畢達哥拉斯的關(guān)于所有事物都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比的信條就面臨著重大的生存危機。對畢達哥拉斯學(xué)派的哲學(xué)和數(shù)學(xué)的另一個致命打擊來自古希臘伊利亞(Elea)學(xué)派的代表人物芝諾(Zeno,ca.495-430.BC)。大約公元前450年,芝諾注意到由于對無限性的理解問題而產(chǎn)生的矛盾,提出了關(guān)于時空的有限與無限的四個悖論。其中的一個悖論常被稱為“阿基里斯追龜”。阿基里斯(Achilles)是希臘神話中的神行太保,跑得非?？?但是芝諾論證說阿基里斯如果和烏龜賽跑,他將永遠也追不上烏龜。他設(shè)想,如果假定在起跑之前烏龜先于阿基里斯一段距離,那么當(dāng)阿基里斯到達烏龜?shù)钠鹋茳c時,烏龜也爬過了一段距離;當(dāng)阿基里斯又追完這段距離時,烏龜又向前跑了一段;如此反復(fù)以至無窮。雖然這一連串的距離越來越小,但它們的數(shù)目是無窮的,所以阿基里斯永遠也追不上烏龜,從數(shù)學(xué)的推理來看,阿里基斯追不上烏龜?shù)慕Y(jié)論,似乎推論非常嚴謹,找不出什么破綻,這是一個數(shù)學(xué)悖論。顯然這一結(jié)論與人們的常識相違背。芝諾揭示的矛盾是深刻而復(fù)雜的。這4個悖論揭示了人們思想上的有關(guān)有限與無限、連續(xù)與離散等概念之間的矛盾,對希臘數(shù)學(xué)思想產(chǎn)生了很大的影響,對時間和空間無限可分而運動是連續(xù)的觀點構(gòu)成了極大的挑戰(zhàn)。它加深了希臘數(shù)學(xué)家對無限的恐懼,“無限”成為一種禁忌,被拒之于古希臘數(shù)學(xué)門外。無限被稱之為萬惡之首。芝諾悖論的提出說明了希臘人已經(jīng)看到“無窮小”與“很小很小”的矛盾,但畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)理論無法解決這些矛盾。無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)連同芝諾悖論,引起了第一次數(shù)學(xué)危機。首先,對于建立在整數(shù)概念基礎(chǔ)上的畢達哥拉斯學(xué)派的哲學(xué)信念,這是一次致命的打擊:世界上竟然有不能用整數(shù)來表示的數(shù)存在!其次,這些發(fā)現(xiàn)與希臘人的常識相矛盾。在幾何上的對應(yīng)情況同樣也是令人驚訝的,因為與直觀相反,存在不可通約的線段,即沒有公共的量度單位的線段。第一次數(shù)學(xué)危機實質(zhì)上是數(shù)學(xué)中的悖論帶來的混亂。所謂悖論,是相對某一個理論體系而言的。構(gòu)成這個理論體系的公理系統(tǒng)和這個公理體系中的推理規(guī)則看上去是合理的,但是在其中卻可推出兩個相互矛盾的命題。在各個學(xué)科中,在日常生活中,存在著許許多多的悖論。而真正對一個學(xué)科中的主流理論造成沖擊的,是與悖論如影隨行的另一個概念——“無限”。如前所述,畢達哥拉斯認為一切數(shù)都可表示為兩整數(shù)之比。但是似數(shù)非數(shù)的2重重擊中了這一觀念的要害。對于畢達哥拉斯學(xué)派來說,2既是數(shù)又不是數(shù)。說它是數(shù),是因為它是單位正方形對角線的長,畢達哥拉斯學(xué)派主張“萬物皆數(shù)”;說它不是數(shù),因為它既不是整數(shù),也不能用兩整數(shù)之比來表示。這個似數(shù)非數(shù)的的“怪物”的出現(xiàn),給哥達畢拉斯學(xué)派帶來了無盡的煩惱。結(jié)果,這一“怪物”的發(fā)現(xiàn)者被同伴們拋到河里淹死。當(dāng)然,現(xiàn)在我們都知道,2是數(shù)學(xué)史上發(fā)現(xiàn)的第一個無理數(shù),無理數(shù)的本質(zhì)就是無限不循環(huán)小數(shù),人類在此第一次感受到了不經(jīng)意間把數(shù)學(xué)空間由“有限”置換為“無限”而導(dǎo)致的邏輯矛盾帶來的困惑。同樣的道理,芝諾的“阿基里斯永遠也追不上烏龜”和“飛矢不動”等悖論把有限的現(xiàn)實時空進行了無限的分割,這在微積分還沒有發(fā)明的古希臘是無論如何也無法解釋的,這就使得人類又一次感受到了“無限”引出的悖論帶給人們的困惑。古希臘的數(shù)學(xué)家早已發(fā)現(xiàn)“無限”可以引來悖論,但當(dāng)時的數(shù)學(xué)水平實在無法解決這些難題,所以他們在推理中都極力避免使用“無限”概念。然而,該來的總歸會來,這些悖論的出現(xiàn),導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上第一次重大的危機。三、歐多克索斯對比例的定義從現(xiàn)代人的角度來分析,當(dāng)畢達哥拉斯學(xué)派面臨這一重大危機時,他們有兩個方案可供選擇。一是接受無理數(shù)為數(shù),擴大數(shù)的概念的內(nèi)涵,以解決幾何學(xué)中所出現(xiàn)的難題;一是堅守畢達哥拉斯學(xué)派的信仰,拒絕承認“無理數(shù)”為數(shù),但接受不可公度線段為實際的存在。第一個方案一方面會徹底瓦解畢達哥拉斯學(xué)派的哲學(xué)和數(shù)學(xué)信仰,而且還必須直接面對“無窮步驟”建構(gòu)實數(shù)系,無論是理論上還是實踐上都很難實現(xiàn)。于是他們選擇了第二個方案。對于第二個方案作出貢獻最大的是歐多克索斯(Eudoxus,約公元前400—前347)。歐多克索斯是柏拉圖(Plato,427-347.BC)的學(xué)生,他的主要貢獻在于兩個方面:一是發(fā)展了比例理論,通過給出比例即兩個比相等的定義從而巧妙地緩解了畢達哥拉斯體系的問題。二是發(fā)展并完善了窮竭法,使這一方法獲得了精確的嚴格性。歐多克索斯通過對比例理論的完善來解決數(shù)學(xué)危機,他認為量是與數(shù)不同的概念,因為量是線段、角、面積、體積、時間等等這樣一些連續(xù)變動的東西,幾何學(xué)就是研究量的;而數(shù)則是離散的,是從一個跳到一個。歐多克索斯的比例理論是建立在幾何量的基礎(chǔ)上的,因而回避了把無理數(shù)是作為數(shù)來處理。在此,歐多克斯顯然深知無理數(shù)的困難,因此他把所有的量從幾何角度而不是從算術(shù)角度加以考慮,通過建立起比例理論而把可處理的問題由可公度量推廣到了不可公度量。歐多克索斯關(guān)于比例的理論無疑給不可公度量提供了邏輯基礎(chǔ)。他對比例所給出的定義與所涉及的量是可公度的還是不可公度的完全無關(guān)。他的比例的定義如下:假定有兩對相同類別的幾何量:a、b、c、d,任它們與意的自然數(shù)m、n之間如果滿足以下關(guān)系:如果ma>nb,那么mc>nd;如果ma=nb,那么mc=nd;如果ma<nb,那么mc<nd,那么我們最后可以得出一個結(jié)論:a/b=c/d?？梢钥闯?在這個定義中并沒有必要區(qū)分可公度量和不可公度量,當(dāng)2和1都被看作是同一類的量(比如長度,面積等等)時,它們之間在比例的運算中就沒有什么區(qū)別了。很顯然,只要承認不可通約量的存在使幾何量不再受整數(shù)的限制,所謂的數(shù)學(xué)危機也就不復(fù)存在了。歐多克斯通過對比例的重新定義使得第一次數(shù)學(xué)危機得到了緩解。第一次數(shù)學(xué)危機的發(fā)生及其解決在數(shù)學(xué)和哲學(xué)的發(fā)展史上都產(chǎn)生了非常重大的影響。首先,第一次數(shù)學(xué)危機刺激了數(shù)學(xué)和邏輯學(xué)的發(fā)展。第一次數(shù)學(xué)危機后出版兩本影響至今的經(jīng)典著作:一是關(guān)于數(shù)學(xué)的第一本經(jīng)典著作——歐幾里德的《幾何原本》;二是關(guān)于邏輯學(xué)問題的第一本經(jīng)典著作——亞里士多德的《工具論》。這兩本經(jīng)典著作標(biāo)志著公理幾何學(xué)和邏輯學(xué)的誕生,成為世界數(shù)學(xué)發(fā)展史上具有重大意義的事件,標(biāo)志著數(shù)學(xué)公理體系的形成。歐幾里德的《幾何原本》,是數(shù)學(xué)公理理論的典范,是第一次數(shù)學(xué)危機的直接產(chǎn)物。無理數(shù)的誕生,是人類歷史上具有革命性的歷史事件,它表明,畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)本原論是值得懷疑的,宇宙萬物并不能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比。因為幾何學(xué)中的某些真理與算術(shù)里的某些原則沒有聯(lián)系,幾何量并不能如畢達哥拉斯學(xué)派所主張的那樣可以全部歸約為整數(shù)或者整數(shù)之比,恰恰相反,所有的整數(shù)或者整數(shù)比全部可以由幾何量來表示。整數(shù)不再神秘,它在數(shù)學(xué)中僅次于上帝的權(quán)威地位受到了威脅,幾何學(xué)則日益受到人們的重視。在第一次數(shù)學(xué)危機之前,人們所謂的數(shù)學(xué),其實都是一種“算術(shù)”或者“算學(xué)”,都是從實際出發(fā)而后又應(yīng)用到實踐問題中去的實用的算法。比如泰勒斯在預(yù)測日食時,他利用影子距離計算金字塔的高度,這是屬于計算范圍的。這些算法往往都是建立在直覺和經(jīng)驗之上的,也是與人們的常識相符合的。危機的出現(xiàn)表明,建立在直覺和經(jīng)驗基礎(chǔ)上的看起來毫無疑問的算學(xué)并不是絕對無誤的信條,而是必須經(jīng)受嚴格的理性思維的推理才能為人所接受。從此希臘人開始重視演繹推理,走上了與畢達哥拉斯學(xué)派完全不同的道路。他們由“自明的”公理出發(fā),經(jīng)過演繹推理建立幾何學(xué)體系。這是數(shù)學(xué)思想史上一次大革命,也是第一次數(shù)學(xué)危機的自然產(chǎn)物?？梢?無理數(shù)的出現(xiàn),雖然給古希臘數(shù)學(xué)帶來了麻煩,但同時也帶來了新生。因為它解除了數(shù)學(xué)家們思想禁錮,無理數(shù)就像催化劑一樣,加快了古希臘理論數(shù)學(xué)的建設(shè)。數(shù)學(xué)家們清楚地認識到,直觀和經(jīng)驗是帶來我們的不一定是真理,它有時給以錯覺和假象.數(shù)學(xué)的真理必須通過嚴密的邏輯證明,而證明又要以公理為依據(jù),這就倡導(dǎo)了古希臘幾何學(xué)的公理化方向。危機緩解之后形成歐幾里得《幾何原本》的公理體系與亞里士多德的邏輯體系,為人們提供了使知識條理化和嚴密化的強有力手段,為世界數(shù)學(xué)做出了杰出的貢獻。具有嚴格的公理化體系和邏輯體系是西方文化傳統(tǒng)與中華文化傳統(tǒng)相區(qū)別的一個重要特征。應(yīng)該指出,歐幾里得的貢獻在于他有史以來第一次總結(jié)了以往希臘人的數(shù)學(xué)知識,構(gòu)成一個標(biāo)準化的演繹體系,這對數(shù)學(xué)乃至哲學(xué)、自然科學(xué)的影響一直延續(xù)到l9世紀。但是,自此以后希臘人認為幾何較之算術(shù)占著更重要的地位,把幾何看成了全部數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),把算學(xué)的研究隸屬于形的研究,割裂了它們之間的密切關(guān)系。這對數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了不利的影響,因為希臘人幾乎是放棄了對無理數(shù)本身的研究,使算術(shù)和代數(shù)的發(fā)展受到很大的限制,基本理論十分薄弱,而數(shù)缺少形就少了直覺,形缺少數(shù)也難入微。這種畸形發(fā)展的局面在歐洲持續(xù)了2000多年。另一方面,“整數(shù)與整數(shù)比”這個的直覺經(jīng)驗的論斷遇到了危機,由此引出了推理證明的邏輯思想。第一次數(shù)學(xué)危機的出現(xiàn)使得希臘人認識到直覺、經(jīng)驗都不是絕對可靠的,推理論明才是可靠的,因而希臘人此后更加重視邏輯,并在亞里士多德手中完成了古典邏輯學(xué)。在雅典時期,柏拉圖率先明確地提出了數(shù)學(xué)演繹化的思想,亞里士多德對定義作了更精密的討論,同時也深入研究了作為數(shù)學(xué)推理的出發(fā)點的基本原理,并將它們區(qū)分為公理和公設(shè)。亞里士多德將前人使用的數(shù)學(xué)推理規(guī)律規(guī)范化和系統(tǒng)化,從而創(chuàng)立了獨立的邏輯學(xué)。亞里士多德的形式邏輯被后人奉為演繹推理的圣經(jīng)。為演繹幾何體系的形成奠定了方法論的基礎(chǔ)。在此基礎(chǔ)上,希臘數(shù)學(xué)家們從基本定義出發(fā),經(jīng)過精心選擇的少數(shù)幾條明顯的公理和公設(shè),借助于邏輯方法,把數(shù)學(xué)上各種零碎的、片斷的成果組織成一個比較嚴密的知識體系,揭示出它們之間的深層關(guān)系,并進而得到許多新的結(jié)果,形成了演繹數(shù)學(xué)。第一次數(shù)學(xué)危機的發(fā)現(xiàn)與消除,標(biāo)志著希臘數(shù)學(xué)發(fā)展到一個新的階段。它是數(shù)學(xué)由經(jīng)驗科學(xué)上升到演繹科學(xué)的一個標(biāo)志。第一次數(shù)學(xué)危機對古希臘哲學(xué)的發(fā)展也有著深刻的影響。危機徹底動搖了畢達哥拉斯的數(shù)本原說的基礎(chǔ),并且使得哲學(xué)由對經(jīng)驗和直覺的迷信轉(zhuǎn)向?qū)硇缘某缟?。四、第一次?shù)學(xué)危機對希臘數(shù)學(xué)的影響矛盾無處不有,數(shù)學(xué)雖是