第1頁(yè)（共1頁(yè)）2015年“迎春杯”數(shù)學(xué)花園探秘科普活動(dòng)試卷（小高組決賽A卷）一、填空題Ⅰ（每題6分，共30分）1．（6分）算式（1﹣+﹣+﹣）÷（++）的計(jì)算結(jié)果是．2．（6分）一張邊長(zhǎng)為10厘米的正方形紙片，如圖對(duì)折兩次，再沿兩遍的中點(diǎn)連線剪掉一個(gè)角之后，那么把余下部分展開為單層紙片的面積是平方厘米．3．（6分）A、B、C、D四個(gè)人住進(jìn)編號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)房間，每個(gè)房間給住一人；那么B不住2號(hào)房間，并且B、C兩人要求住在編號(hào)相鄰房間的住法共有種．4．（6分）算式2015×﹣的計(jì)算結(jié)果是．5．（6分）哈利波特制作加強(qiáng)型魔法藥劑“生死水”（這是一種效力很強(qiáng)的安眠藥，由水仙根粉末和艾草浸液配成，“生死水”的濃度是指水仙根粉末占整個(gè)藥劑的百分比）．他首先在普通型“生死水”中加入一定量的艾草浸液，使“生死水”的濃度變?yōu)?%；如果再加入同等量的水仙根粉末，這時(shí)“生死水”的濃度變?yōu)?3%；那么普通型“生死水”的濃度為%．二、填空題Ⅱ（每題10分，共50分）6．（10分）一次考試有3道題，四個(gè)好朋友考完后核對(duì)答案，發(fā)現(xiàn)四人分別對(duì)了3、2、1、0道題．這時(shí)老師問(wèn)：你們考的怎么樣??？他們每人說(shuō)了3句話（如下）．甲：我對(duì)了兩道題，而且比乙對(duì)的多，丙考的不如?。遥何胰珜?duì)了，丙全錯(cuò)了，甲考的不如?。何覍?duì)了一道，丁對(duì)了兩道，乙考的不如甲．丁：我全對(duì)了，丙考的不如我，甲考的不如乙．如果每人都是對(duì)了幾道題就說(shuō)幾句真話．設(shè)甲、乙、丙、丁依次對(duì)了A、B、C、D道題，那么四位數(shù)＝．7．（10分）如圖算式中，不同的漢字代表不同的數(shù)字．如果＝2015，且是質(zhì)數(shù)，那么＝．8．（10分）如圖的圖案由1個(gè)圓和2個(gè)大小相同的正方形組成（2個(gè)正方形的公共部分為正八邊形）．如果圓的半徑為60厘米，那么陰影部分的面積是平方厘米．（π取3.14）9．（10分）如果一個(gè)自然數(shù)的各位數(shù)字能夠分成兩組，使得每組中的數(shù)字之和相等，則稱這個(gè)數(shù)為“均衡數(shù)”．例如25254是“均衡數(shù)”，因?yàn)?+2+2＝4+5．如果相鄰的兩個(gè)自然數(shù)都是“均衡數(shù)”，則稱這對(duì)“均衡數(shù)”為“孿生均衡數(shù)”．那么最小的一對(duì)“孿生均衡數(shù)”的和是．10．（10分）一艘輪船從A港出發(fā)順流而下到同一條河上的B港，再逆流而上返回A港，共用3.2小時(shí)；如果第1小時(shí)、第2小時(shí)、第3小時(shí)輪船分別所行路程依次成等差數(shù)列，且水流速度為每小時(shí)2千米；那么輪船往返A(chǔ)、B兩港共行千米．三、填空題Ⅲ（每題10分，共48分）11．（10分）三位數(shù)除以它的各位數(shù)字和的余數(shù)是1，三位數(shù)除以它的各位數(shù)字和的余數(shù)也是1．如果不同的字母代表不同的數(shù)字，且a＞c，那么＝．12．（10分）在每個(gè)方格里填入數(shù)字1～6中的一個(gè)，使得每行和每列的數(shù)字都不重復(fù)．右邊的數(shù)表示由粗線隔開的前面三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)、中間兩個(gè)數(shù)字組成的兩位數(shù)以及最后的一位數(shù)這三個(gè)數(shù)之和．那么五位數(shù)＝．13．（10分）某班共有30名學(xué)生去看電影，他們的學(xué)號(hào)依次為1，2，…，30；他們手中的電影票恰好為某排的1號(hào)，2號(hào)，…，30號(hào)．現(xiàn)在按如下要求將電影票發(fā)給這些同學(xué)：對(duì)于任意兩人甲、乙，若甲的學(xué)號(hào)能被乙的學(xué)號(hào)整除，則甲的電影票號(hào)碼也能被乙的電影票號(hào)碼整除．那么電影票共有種不同的發(fā)放方式．14．（10分）圖2的8×8表格中共含有168個(gè)如圖1的“T”形．現(xiàn)對(duì)圖2中的每個(gè)小方格染成黑色或白色；如果一個(gè)“T”形中黑白小方格各2個(gè)，則稱這個(gè)“T”形為“和諧”的；那么對(duì)圖2的各種染色方案，“和諧”的“T”形至多有個(gè)．

2015年“迎春杯”數(shù)學(xué)花園探秘科普活動(dòng)試卷（小高組決賽A卷）參考答案與試題解析一、填空題Ⅰ（每題6分，共30分）1．（6分）算式（1﹣+﹣+﹣）÷（++）的計(jì)算結(jié)果是1．【解答】原式＝（（））故答案為：1．2．（6分）一張邊長(zhǎng)為10厘米的正方形紙片，如圖對(duì)折兩次，再沿兩遍的中點(diǎn)連線剪掉一個(gè)角之后，那么把余下部分展開為單層紙片的面積是75平方厘米．【解答】解：根據(jù)分析，折疊一次，面積變?yōu)橐话?，折疊兩次后變成原來(lái)面積的四分之一，沿中位線剪去一個(gè)角，顯然剪去的這個(gè)角的面積為原來(lái)正方形的面積的4××4＝，余下的部分為原來(lái)正方形的面積的，余下部分展開為單層紙片的面積＝×10×10＝75（平方厘米）．故答案是：75．3．（6分）A、B、C、D四個(gè)人住進(jìn)編號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)房間，每個(gè)房間給住一人；那么B不住2號(hào)房間，并且B、C兩人要求住在編號(hào)相鄰房間的住法共有8種．【解答】解：根據(jù)題意，B不住2號(hào)房間，則B可以住在1、3、4號(hào)房間，若B住在1號(hào)房間，則C可以住在2號(hào)房間，剩下2人安排在其他2個(gè)房間，此時(shí)，有A22＝2種情況，若B住在3號(hào)房間，則C可以住在2、4兩個(gè)房間，有2種情況，剩下2人安排在其他2個(gè)房間，此時(shí)，有2×A22＝4種情況，若B住在4號(hào)房間，則C可以住在3號(hào)房間，剩下2人安排在其他2個(gè)房間，此時(shí)，有A22＝2種情況，共有2+4+2＝8種情況，故答案為8．4．（6分）算式2015×﹣的計(jì)算結(jié)果是503．【解答】解：＝＝＝＝＝503+0＝503故答案為：5035．（6分）哈利波特制作加強(qiáng)型魔法藥劑“生死水”（這是一種效力很強(qiáng)的安眠藥，由水仙根粉末和艾草浸液配成，“生死水”的濃度是指水仙根粉末占整個(gè)藥劑的百分比）．他首先在普通型“生死水”中加入一定量的艾草浸液，使“生死水”的濃度變?yōu)?%；如果再加入同等量的水仙根粉末，這時(shí)“生死水”的濃度變?yōu)?3%；那么普通型“生死水”的濃度為11%．【解答】解：設(shè)普通型“生死水”的濃度為x%，初始重量為100，連續(xù)兩次加入的水仙根粉末和艾草浸液重量都是a，則，化簡(jiǎn)為，解得x＝11，綜上所述，普通型“生死水”的濃度為11%，故答案為11．二、填空題Ⅱ（每題10分，共50分）6．（10分）一次考試有3道題，四個(gè)好朋友考完后核對(duì)答案，發(fā)現(xiàn)四人分別對(duì)了3、2、1、0道題．這時(shí)老師問(wèn)：你們考的怎么樣?。克麄兠咳苏f(shuō)了3句話（如下）．甲：我對(duì)了兩道題，而且比乙對(duì)的多，丙考的不如?。遥何胰珜?duì)了，丙全錯(cuò)了，甲考的不如?。何覍?duì)了一道，丁對(duì)了兩道，乙考的不如甲．?。何胰珜?duì)了，丙考的不如我，甲考的不如乙．如果每人都是對(duì)了幾道題就說(shuō)幾句真話．設(shè)甲、乙、丙、丁依次對(duì)了A、B、C、D道題，那么四位數(shù)＝1203．【解答】解：根據(jù)分析，全隊(duì)的人不會(huì)說(shuō)自己對(duì)的題少于3，所以只有乙、丁可能全對(duì)．若乙全對(duì)，則排名是乙、丁、甲、丙，與丙所說(shuō)的：“丁對(duì)了兩道”是假話矛盾；若丁全對(duì)，則丙的后兩句是假話，不可能是第2名，又由丁的“甲考的不如乙”可以知道第2名是乙，所以丙全錯(cuò)，甲只有“丙考的不如丁”是真話，排名是丁、乙、甲、丙，經(jīng)驗(yàn)證4人的話沒(méi)有矛盾．所以甲、乙、丙、丁分別對(duì)1、2、0、3道題．故答案是：1203．7．（10分）如圖算式中，不同的漢字代表不同的數(shù)字．如果＝2015，且是質(zhì)數(shù)，那么＝8369．【解答】解：依題意可知：首先對(duì)于0﹣9共10個(gè)數(shù)字，那么2015用去4個(gè)還有3，4，6，7，8，9．?dāng)?shù)字3和9，4和8是倍數(shù)關(guān)系不能同時(shí)出現(xiàn)質(zhì)數(shù)中，那么是12的倍數(shù)．同時(shí)也滿足3的整除特性．質(zhì)數(shù)有37，43，47，67，73，79，83，89共8個(gè)數(shù)字．當(dāng)質(zhì)數(shù)為37時(shí)，2015﹣37＝1978不是3的倍數(shù)．當(dāng)質(zhì)數(shù)為43時(shí)，2015﹣43＝1972不是3的倍數(shù)．當(dāng)質(zhì)數(shù)為47時(shí)，2015﹣47＝1968是12的倍數(shù)．不能用剩余的寫成3，6，8，9的乘法算式．當(dāng)質(zhì)數(shù)為67時(shí)，2015﹣67＝1948不是3的倍數(shù)．當(dāng)質(zhì)數(shù)為73時(shí)，2015﹣73＝1942不是3的倍數(shù)．當(dāng)質(zhì)數(shù)為79時(shí)，2015﹣79＝1936不是3的倍數(shù)．當(dāng)質(zhì)數(shù)為83時(shí)，2015﹣83＝1932是12的倍數(shù)．在剩余的數(shù)字4，6，7，9中69×7×4＝1902；當(dāng)質(zhì)數(shù)為89時(shí)，2015﹣89＝1926不是12的倍數(shù)．2015＝83+69×7×4；故答案為：83698．（10分）如圖的圖案由1個(gè)圓和2個(gè)大小相同的正方形組成（2個(gè)正方形的公共部分為正八邊形）．如果圓的半徑為60厘米，那么陰影部分的面積是3096平方厘米．（π取3.14）【解答】解：如下圖：連接AB、AD，因?yàn)锳D是園的直徑，所以∠ABD＝90°；設(shè)，AB＝a，BD＝b，即：小直角三角形的ABC的小斜邊長(zhǎng)為a（其余7個(gè)小直角三角形也是a），2個(gè)大正方形的邊長(zhǎng)為b；由勾股定理：a2+b2＝AD2＝（2R）2＝1202＝14400（平方厘米）；小直角三角形的ABC的面積＝×AC×BC＝a2，即4個(gè)直角三角形的面積等于a2，而b2表示大正方形的面積；則：4個(gè)直角三角形的面積+大正方形的面積＝14400（平方厘米）；從圖中可以看出：圖形總面積＝正八邊形面積+8個(gè)小正方形面積；而大正方形面積＝正八邊形面積+4個(gè)小正方形面積；即：圖形總面積＝正八邊形面積+8個(gè)小正方形面積＝正八邊形面積+4個(gè)小正方形面積+4個(gè)小正方形面積＝大正方形面積+4個(gè)小正方形面積＝a2+b2＝14400（平方厘米）；陰影部分面積＝圖形總面積﹣園的面積＝14400﹣πγ2＝14400﹣3.14×602＝3096（平方厘米）．故填：3096．9．（10分）如果一個(gè)自然數(shù)的各位數(shù)字能夠分成兩組，使得每組中的數(shù)字之和相等，則稱這個(gè)數(shù)為“均衡數(shù)”．例如25254是“均衡數(shù)”，因?yàn)?+2+2＝4+5．如果相鄰的兩個(gè)自然數(shù)都是“均衡數(shù)”，則稱這對(duì)“均衡數(shù)”為“孿生均衡數(shù)”．那么最小的一對(duì)“孿生均衡數(shù)”的和是1099．【解答】解：（1）兩位數(shù)中的“均衡數(shù)”有11、22、33、44、55、66、77、88、99，沒(méi)有符合要求的．（2）兩位數(shù)與三位數(shù)中99、100也不符合要求．（3）三位數(shù)中，兩個(gè)相鄰數(shù)數(shù)字和都是偶數(shù)，說(shuō)明必有進(jìn)位，且三位數(shù)必然只進(jìn)1次位（數(shù)字和加1再減9），即這兩個(gè)數(shù)是AB9和A（B+1）0，所以有：A+B＝9和A＝B+1解得：A＝5，B＝4所以這兩個(gè)數(shù)是549和550．549+550＝1099故：最小的一對(duì)“孿生均衡數(shù)”的和是1099．10．（10分）一艘輪船從A港出發(fā)順流而下到同一條河上的B港，再逆流而上返回A港，共用3.2小時(shí)；如果第1小時(shí)、第2小時(shí)、第3小時(shí)輪船分別所行路程依次成等差數(shù)列，且水流速度為每小時(shí)2千米；那么輪船往返A(chǔ)、B兩港共行102千米．【解答】解：第一小時(shí)全順?biāo)?，同理第三小時(shí)全逆水，第二小時(shí)必為半小時(shí)順?biāo)胄r(shí)逆水，順?biāo)旭偟臅r(shí)間：1+0.5＝1.5（小時(shí)）逆水行駛的時(shí)間：3.2﹣1.5＝1.7（小時(shí)）所以V順：V逆＝1.7：1.5＝17：15，V順﹣V逆＝2×2＝4（千米）4÷（17﹣15）×17＝2×17＝34（千米/時(shí)）34×1.5×2＝51×2＝102（千米）答：輪船往返A(chǔ)、B兩港共行102千米．故答案為：102．三、填空題Ⅲ（每題10分，共48分）11．（10分）三位數(shù)除以它的各位數(shù)字和的余數(shù)是1，三位數(shù)除以它的各位數(shù)字和的余數(shù)也是1．如果不同的字母代表不同的數(shù)字，且a＞c，那么＝452．【解答】解：根據(jù)分析，與的數(shù)字和都是：a+b+c，三位數(shù)和除以各位數(shù)字和的余數(shù)都是1，按余數(shù)原理，a+b+c，與之差即可被a+b+c整除，設(shè)，根據(jù)位值原則，有：；，則：＝n（a+b+c）?99×（a﹣c）＝n（a+b+c）?9×11×（a﹣c）＝n（a+b+c）；∴n和（a+b+c）至少有一個(gè)是11的倍數(shù)和9的倍數(shù)，又∵a、b、c均為整數(shù)，且9≥a＞c≥1，0≤b≤9，∴3＝2+1+0≤a+b+c≤9+8+7＝24，a+b+c的可能取值為：9，11，18，22，①a+b+c＝9時(shí)，根據(jù)被9整除的特征，和被9除余數(shù)為0，與題意矛盾；②a+b+c＝11時(shí)，此三位數(shù)為：281、362、371、452、461、524、542、614、623、632、641、731、713、812、821、704、902、605，經(jīng)排查，只有452符合條件；③a+b+c＝22時(shí)，此三位數(shù)為：985、976、967、958、796、895，符合題意的為0個(gè)；④a+b+c＝18時(shí)，此三位數(shù)為：954、972、945、963、981、936、927、918、891、873、864、846、837、792、783、765、695、685、693、594，排查后，符合題中條件的個(gè)數(shù)為0個(gè)．綜上，＝452，故答案是：452．12．（10分）在每個(gè)方格里填入數(shù)字1～6中的一個(gè)，使得每行和每列的數(shù)字都不重復(fù)．右邊的數(shù)表示由粗線隔開的前面三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)、中間兩個(gè)數(shù)字組成的兩位數(shù)以及最后的一位數(shù)這三個(gè)數(shù)之和．那么五位數(shù)＝41244．【解答】解：根據(jù)尾數(shù)和能夠構(gòu)成結(jié)果的尾數(shù)：結(jié)果中尾數(shù)是5那么這3個(gè)數(shù)字尾數(shù)一定是4，5，6組合．唯一法、排除法：只能填寫一個(gè)數(shù)字首位分析法：第六行的結(jié)果是669那么百位數(shù)字一定是6．如圖：故答案為：4124413．（10分）某班共有30名學(xué)生去看電影，他們的學(xué)號(hào)依次為1，2，…，30；他們手中的電影票恰好為某排的1號(hào)，2號(hào)，…，30號(hào)．現(xiàn)在按如下要求將電影票發(fā)給這些同學(xué)：對(duì)于任意兩人甲、乙，若甲的學(xué)號(hào)能被乙的學(xué)號(hào)整除，則甲的電影票號(hào)碼也能被乙的電影票號(hào)碼整除．那么電影票共有48種不同的發(fā)放方式．【解答】解：1號(hào)學(xué)生有29人是其倍數(shù)，故1號(hào)學(xué)生只能拿1號(hào)電影票；2號(hào)學(xué)生有14人是其倍數(shù)，故2號(hào)學(xué)生只能拿2號(hào)電影票；3號(hào)學(xué)生有9人是其倍數(shù)，故3號(hào)學(xué)生只能拿3號(hào)電影票；4號(hào)學(xué)生有6人是其倍數(shù)，故4號(hào)學(xué)生只能拿4號(hào)電影票；5號(hào)學(xué)生有5人是其倍數(shù)，故5號(hào)學(xué)生只能拿5號(hào)電影票；6號(hào)學(xué)生有4人是其倍數(shù)，故6號(hào)學(xué)生只能拿6號(hào)電影票；7號(hào)學(xué)生有3人是其倍數(shù)，故7號(hào)學(xué)生只能拿7號(hào)電影票；8號(hào)學(xué)生必須是2號(hào)學(xué)生（2）的倍數(shù)，也必須是4號(hào)學(xué)生（4）的倍數(shù)，同時(shí)有2人是其倍數(shù)，故8號(hào)學(xué)生只能拿8號(hào)電影票；9號(hào)學(xué)生必須是3號(hào)學(xué)生（3）的倍數(shù)，還不能是6，同時(shí)有2人是其倍數(shù)，故9號(hào)學(xué)生只能拿9號(hào)電影票；10號(hào)學(xué)生必須是2號(hào)學(xué)生（2）的倍數(shù)，也必須是5號(hào)學(xué)生（5）的倍數(shù)，同時(shí)有2人是其倍數(shù)，故10號(hào)學(xué)生只能拿10號(hào)電影票；12號(hào)學(xué)生必須是3號(hào)學(xué)生（3）的倍數(shù)，也必須是4號(hào)學(xué)生（4）的倍數(shù)，同時(shí)有1人是其倍數(shù)，故12號(hào)學(xué)生只能拿12號(hào)電影票，同時(shí)24號(hào)學(xué)生只能拿24號(hào)電影票；14號(hào)學(xué)生必須是2號(hào)學(xué)生（2）的倍數(shù)，也必須是7號(hào)學(xué)生（7）的倍數(shù)，同時(shí)有1人是其倍數(shù)，故14號(hào)學(xué)生只能拿14號(hào)電影票，同時(shí)28號(hào)學(xué)生只能拿28號(hào)電影票；15號(hào)學(xué)生必須是3號(hào)學(xué)生（3）的倍數(shù)，也必須是5號(hào)學(xué)生（5）的倍數(shù)，同時(shí)有1人是其倍數(shù)，故15號(hào)學(xué)生只能拿15號(hào)電影票，同時(shí)30號(hào)學(xué)生只能