ARCH類模型一、單位根過程（一）單位根過程的含義1.問題的提出用于預(yù)測的線性平穩(wěn)模型AR（p）模型

方程

（B）=0稱為過程的特征方程，過程平穩(wěn)的條件是，特征方程所有根的絕對值都必須大于1，即在單位圓外。12.

單位根的定義y隨機(jī)過程{

，t

=

1，2，......}，若ty

yu=+

t=

1，2，......t

t

1

tuu其中，

=1，{

}為一穩(wěn)定過程，且E（

）

=

0，tt

u

ucov

(

，

)=

<

,這里t

stts

=

0，1，2，......，則該過程稱為單位根過程（unitroot

process）。+2特別地，若

y

y=

+

t=

1，2，......tt

1t

其中，{

}為獨立同分布，且E（

）

=

0，tt

2yD（

）

=

<

，則{

}為一隨機(jī)游動過程tt（random

waik

process)?？梢钥闯?，隨機(jī)游動過程是單位根過程的一個特例。3yyt

yt

1）為一穩(wěn)若隨機(jī)過程{

}的一階差分過程（

=ytty定過程，則{

}服從單位根過程。t分別以I（1）和I（0）表示單位根過程和穩(wěn)定過程，y

y則可將

和

記為tty

y~I（1）~I（0）tt4（二）趨勢的類型確定性趨勢模型趨勢平穩(wěn)時間序列中的趨勢有不同的表現(xiàn)形式，如，帶趨勢的穩(wěn)定過程y

=

c+

t+

att

y其中，

f(t)

=

c+

t，表示時間序列{

}的確定性趨勢（deterministic

trend）。tya

的期望是時間t的線性函數(shù),其值在c

+

t周圍波動。為一穩(wěn)定過程。tt5隨機(jī)性趨勢模型

差分平穩(wěn)帶常數(shù)項的單位根過程yat=

c+

yt

1

+ty其中，c是常數(shù)項。對

不斷地向后迭代，得到tayay

=

c

+（

c

+

+

）+tt

1t

2t=

.......=

ct+t

ajj

1確定的時間趨勢ct

，是由單位根過程中的常數(shù)項積累而成6Y1Y25,00020,00015,00010,0005,0000654321556065707580859095556065707580859095零售商品價格指數(shù)時序圖社會商品零售總額時序圖時間序列趨勢的三種基本類型：（1）序列不含常數(shù)項、時間趨勢項y

y

若

=1

，序列為一單位根過程；若

<1,tt

1t

序列為一穩(wěn)定過程。（2）序列含常數(shù)項、不含時間趨勢項y

c

y

tt

1t

若

=1

，序列為一帶常數(shù)項（均值不為0）的單位

根過程；若

<1,序列為一帶常數(shù)項的穩(wěn)定過程。8（3）序列帶常數(shù)項和時間趨勢項y

c

y

t

tt

1t

若

=1

，序列為一帶常數(shù)項和時間趨勢項的單位根過程；

若

<

1，序列為一帶常數(shù)項和時間趨勢項的穩(wěn)定過程。9（三）單位根檢驗1.

ADF檢驗1）

迪基—福勒（DF）檢驗一階自回歸模型y

y

tt

1t

1H：H0

:

11原假設(shè)為真時，最小二乘估計的t統(tǒng)計量為

1SE(

)t=

式中，

為

的最小二乘估計，SE（

）為

的標(biāo)準(zhǔn)差。10檢驗標(biāo)準(zhǔn)：

t統(tǒng)計量有非標(biāo)準(zhǔn)和非對稱的極限分布，

t記作

，對于給定的樣本量n和顯著性水平

,

t若統(tǒng)計量的實際計算值

小于臨界值，則拒絕原

假設(shè)

。例3.1112）

ADF檢驗DF檢驗只對存在一階自相關(guān)的序列適用。

ADF檢驗適用于存在高階滯后相關(guān)的序列。

y

y

x

y模型表述為

yt轉(zhuǎn)換為檢驗兩邊減

，可t

1tt

1tt

-

1，檢驗

(

1)

y

x令t

1tt

0。含有單位根的p階自回歸過程可以表述為

y

y

x

y

y

y......

ttt

1t1

t

12

t

2p

1

t

p

1上式中，檢驗假設(shè)為H0：

0或加帶常數(shù)項，或加帶趨勢項，或加帶常數(shù)項和趨勢項，檢驗標(biāo)準(zhǔn)同DF檢驗。

例3.12.

PP（

Phillips

andPerron）檢驗適用于存在高階自相關(guān)的序列，非參數(shù)檢驗方法檢驗基礎(chǔ)模型以及原假設(shè)同ADF檢驗，修正了系數(shù)的檢驗統(tǒng)計量，如下式。1

2

T

f

se

00t

1

2f2

f

s

00

tse(

)

式中，

是

的t統(tǒng)計量，

是系數(shù)

估計的標(biāo)準(zhǔn)誤，分母中

s是檢驗方程回歸估計標(biāo)準(zhǔn)誤，T是時期數(shù)。

f檢驗方程（模型）殘差的方差的一致估計，

是殘差00零頻譜估計。修正的t統(tǒng)計量有著和ADF統(tǒng)計量相同的漸近分布。133.

其它檢驗1）

KPSS

（Kwiatkowski,

Phillips,

Schmidt,和

Shin）檢驗原假設(shè)為序列是平穩(wěn)的，即H1:

1H0

:

1檢驗統(tǒng)計量

2

T

2f0LM

S

ttf其中，

是殘差的零頻譜估計，0t

S(t)

uu

y

x

是累積的殘差函數(shù)，殘差。rtttr

1采用KPSS檢驗，必須設(shè)定外生回歸項

，估計

的方法。xft0142）

DFGLS

（Dickey-FullerTest

with

GLS

Detrending）檢驗

用GLS去除趨勢得到

，ytd

yt

xt

。以

替代

y

，ydt

ydtt得到同ADF檢驗的模型形式

dyt

ydt

1

ydt

1

yd

vt1p

1t

p

1和類似的檢驗統(tǒng)計量。根據(jù)ERS

(1996)模擬的一套在T

50,100,200,

中檢驗統(tǒng)計量的臨界值，檢驗H0

:

0檢驗統(tǒng)計量取值低于臨界值時，拒絕原假設(shè)，序列平穩(wěn)。153）ERS

（Elliot,Rothenberg,

and

Stock

Point

Optimal）檢驗x類似DFGLS檢驗，必須設(shè)定外生回歸項

t

和估計

的一種f0方法。4）

NP

（Ng

and

Perron）檢驗dtyx構(gòu)造了基于GLS去勢數(shù)據(jù)

的四個檢驗統(tǒng)計量，必須設(shè)定ft0外生回歸項

和估計

的一種方法。例3.2例3.3例3.416二、ARCH模型的基本形式（一）問題的提出X44,4004,2004,0003,8003,6003,4003,2003,000255075100

125

150

175

200

225工業(yè)類股票指數(shù)曲線圖17

y

y序列進(jìn)行一階差分，得到

，由圖看序列的趨勢基本消除；如果序列

是白噪聲，即一階差分序列完全隨機(jī)，ttt

1

t所建立的模型合適。IY2001000-100-200-300255075100

125

150

175

200

225

工業(yè)類股票指數(shù)一階差分序列

曲線圖18t由圖看不出序列有較強(qiáng)的自相關(guān)，但Q=23.29較大，序列無自相關(guān)的概率p=0.503，不夠大，即序列無自相關(guān)的概率只有50%，很難得出序列無自相關(guān)的結(jié)論。

序列自相關(guān)圖19tE290,00080,00070,00060,00050,00040,00030,00020,00010,0000255075100

125

150

175

200

225工業(yè)類股指條件方差時序圖可以看出，k=1和k=2時，自相關(guān)系數(shù)較大，序列還包含一些有用的信息，

殘差序列

存在非t線性相關(guān)，從建模預(yù)測的角度，已建的模型不合理。

t2序列自相關(guān)圖21（二）ARCH模型1.

ARCH含義和基本模型若有一隨機(jī)過程{

}，它的平方

服從AR（q）過程2tt

2

2

2

......

2

01

t

12

t

2q

t

qt

其中，（

）獨立同分布，且有E（

）=

0，tt

D（

）=

2，t

=1，2，.....，則稱{

}服從q階的ARCH

tt

（q）過程，記作

~

ARCH（q）。ta

a

一般假設(shè)

0，

0，i

=1，2，......

，q。i022為確保{

t

}是一穩(wěn)定過程，

特征方程

aa2

L2

......

a

Lq1

L

—=01q的所有根都在單位圓外。即有a

aa+

+

......

+

<112q23

2t即給定過程在t時刻的條件方差

，

2

2t

2

2t

q

，

，......

，值時的方差t

1

2t2t2

2=

E（t

1，......

，

）t

qa

a=

+

2t

1

+......

+a

2t

q10q

可以看出，

的條件分布是正態(tài)的，但其條件方差是過t去平方誤差的線性函數(shù)，是隨時間而變化的函數(shù)。24ARCH類模型一般由兩個方程組成條件均值方程：AR（p）模型y

y

y

......

y

t1

t

12

t

2p

t

pty

y

單位根過程t

=

1，2，......tt

1t線性回歸模型y

x

x

......

x

t01

1t2

2tk

ktt條件方差方程：一般來說，ARCH類模型都是針對均值模

2型的殘差建立。

的變化規(guī)律不同，模型不同t252.

模型的另一種形式ARCH模型也可以表述為

h

vttt

......222ht01

t

12

t

2q

t

qvv其中，{

}獨立同分布，且

~N（0，1），ttt

=1，2，.......，T。參數(shù)的約束同前。263.

ARCH效應(yīng)檢驗拉格朗日乘子檢驗（LM檢驗）輔助回歸模型

2

0

2

2

......

2

t1

t

12

t

2q

t

qH

:

......

0012q檢驗統(tǒng)計量

2LM

nR~

（q）

2其中，n為計算輔助回歸時的樣本數(shù)據(jù)個數(shù)，R2

為輔助回歸的未調(diào)整可決系數(shù)，即擬合優(yōu)度。檢驗標(biāo)準(zhǔn)

拒絕

的概率小于給定的顯著性水平H0例3.5274.

模型參數(shù)估計最小二乘二步最大似然5.

參數(shù)的檢驗合理性檢驗參數(shù)符號參數(shù)大小顯著性檢驗參數(shù)與0的顯著性差異283.

模型的識別和診斷檢驗（1）

識別階數(shù)可以與ARMA定階類似

2t利用

的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)（2）診斷檢驗標(biāo)準(zhǔn)化殘差1

?

?

?v=

/（h

）2ttt用于檢驗ARCH模型是否有效的去除了平方序

2t?v列

（

）中的自相關(guān)和被估計的殘差

是否沒有t表現(xiàn)出過大的峰度值

。29殘差的獨立性檢驗檢驗平方標(biāo)準(zhǔn)化殘差序列（

）的自相關(guān)——?v2tQ統(tǒng)計量檢驗。殘差的正態(tài)性檢驗

JB檢驗?v計算標(biāo)準(zhǔn)化殘差序列（

）的JB統(tǒng)計量t模型判定

AIC

SC304.

預(yù)測只要知道參數(shù)

，

，......

，

的值，就可以在a

aa01q

2

2t

q（t

—1）時刻，利用給定的數(shù)據(jù)

，...…

，

，預(yù)測

在時刻t的條件方差t

1

2。tt31三、

廣義的ARCH

模型

——GARCH模型（一）GARCH（p,q）模型的形式h

v

1.

含義在ARCH（q）過程tttvv其中，{

}獨立同分布，且

~N（0，1），t

=1，2，.......，T。tt

若階數(shù)q，條件異方差可以表示為h

......

h

h

......

h222t01

t

12

t

2q

t

q1

t

12

t

2p

t

p

L

L

-

......

pLp

0

的根都在單位圓外2特征方程1

-

-12上述過程稱為廣義的ARCH過程，簡稱為GARCH過程，

記作

~GARCH（p

，q）。t參數(shù)的約束與ARCH（

q）模型一樣32參數(shù)的約束與ARCH（

q）模型一樣GARCH

過程是穩(wěn)定的過程充分必要條件

（1）

+

（1）<

1qp

i

其中，

（1）=；

（1）=jj

1i

1保證條件方差為正的條件

0

0i

=1，2，......

，q；0i

j

0j=1，2，……，p；332.

GARCH（1,1）的性質(zhì)GARCH（1,1）模型

h

vttth

2

ht01

t

11

t

1GARCH（1，1）是穩(wěn)定過程的充分必要條件為若表明模型中含有單位根，模型記為IGARCH（1，1）。

若

+

>0.5,

沖擊一般都會持續(xù)一段時間；111

若

+

=1,

隨機(jī)沖擊會有長久的影響。134（二）

GARCH效應(yīng)檢驗仍可采用LM檢驗（三）

參數(shù)估計采用極大似然估計（MLE），假定擾動項服從高斯分布或服從分布；BHHH算法。采用矩估計（ME），避免分布的限制；改進(jìn)的矩估計法GMM法。35（四）

模型的檢驗與評價1.

參數(shù)的檢驗合理性檢驗顯著性檢驗例3.6和例3.5中參數(shù)的檢驗2.

殘差檢驗ARCH類模型和其他統(tǒng)計模型一樣，都假定殘差序列獨立同分布，因此殘差的獨立性很重要，也就是殘差序列不能存在自相關(guān)。例3.73.

模型評價借助一些評價指標(biāo)比較不同模型預(yù)測效果實際應(yīng)用中需要注意數(shù)據(jù)的選擇：數(shù)據(jù)時期長度——太長，會包含過多不正常數(shù)據(jù)；太少，不能保證參數(shù)估計的正確收斂；數(shù)據(jù)的頻率——低頻數(shù)據(jù)容易導(dǎo)致GARCH參數(shù)估計中的收斂性或穩(wěn)健性問題。波動測定，一般選擇至少1至2年的日數(shù)據(jù)或日內(nèi)數(shù)據(jù)。（五）預(yù)測在前一天波動率的基礎(chǔ)上迭代預(yù)測以后的波動率37四、ARCH模型的拓廣形式（一）指數(shù)GARCH模型—

E（

Exponential

）GARCH模型tht

vt=vv其中，{

}獨立同分布，且

~N（0，1），t

=1，tth2，.......，T。并設(shè)條件方差

有下面的形式：t

pq

log

h

log

h

i

t

it

it0jt

j

i

ht

iht

i

j

1i

1

則稱

服從EGARCH過程。th模型中條件方差采用了自然對數(shù)形式，意味著

非負(fù)且杠桿效應(yīng)是指數(shù)型的。若t

0，說明信息作用非對稱。

0當(dāng)時，杠桿效應(yīng)顯著。38（二）（G）ARCH-M模型如果隨機(jī)過程{

}有表現(xiàn)形式y(tǒng)t

y

x

g(h

)

ttttv

vt=

1，2，.......，T。v其中，

=

h

{

}獨立同分布，且

~N（0，1），tttthhg

(

)為條件方差

的函數(shù)，

有ARCH（q）或htttyGARCH（p，q）的形式，則隨機(jī)過程{

}服從t（G）ARCH-M過程。

>

0

，表明回報率同大的波動是正相關(guān)。(

)

g

h

h、g(ht

)

ht為簡便，實際應(yīng)用中，常取tt或

g(h

)

ln(h

)

。tt39（三）TARCH模型TARCH（Threshold

ARCH）模型最先由Zakoian（1990）提出，它具有如下形式的條件方差

q

pj

1h

d

h22t0i

t

it

1

t

1j

t

ji

1d其中

是一個名義變量t1

t

0

dt

0

其他

40d

t

0

）和下跌信息由于引入

，股價上漲信息（t

t

0（）對條件方差的作用效果不同。上漲時

q

為2d

0

，其影響可用系數(shù)

代表；下跌時it

1

t

1i

1

0

q

i

。若，則說明信息作用是非對稱的。i

1

0而當(dāng)時，負(fù)的隨機(jī)沖擊較正的隨機(jī)沖擊對波動會有更大的影響，即認(rèn)為存在杠桿（leverage）效應(yīng)。是對GARCH應(yīng)用條件的一個放松。41（四）冪ARCH

(PARCH)模型tvht=tqp

h

(

)

h

t0jt

jj

t

jit

ij

1i

1

ht其中,

>

0，

1.

是標(biāo)準(zhǔn)差的冪參數(shù),

用來評價沖擊對條件方差的影響幅度;

0

,存在非對稱效應(yīng).

模型中,

=2

,

=

0

,則PARCH模型為GARCH模型.42（五）

成分（Component）

ARCH模型若GARCH(1,1)模型的條件方差可寫為ht

t2

1

ht

1

上式表現(xiàn)條件方差與常數(shù)

的平均偏離程度。成分cARCH模型如下式，反映條件方差對于一個變量

的平t均偏離趨勢h

c

c

h

c

2t

1ttt

1t

1t

1其中

c

c

2

htt

1t

1t

143h

c上面的第一個式子描述短期（Transitory）成分，tt

以的勢（power，反映衰減速度）趨于０；第二個式子描述長期（Permanent）成分

，以

的勢趨

ct

c

1

，以保證

的收斂速度足于

。一般地，0.99t夠慢．另外，可以在兩式或任意一個中加入外生變量，來改變序列短期或長期波動水平．44（六）非對稱(asymmetric)成分GARCH模型將TARCH模型與成分ARCH模型相結(jié)合可以得到非對稱的成分模型，

h

z

2t

1ctct

1t

11

1th

c

c

c

d

h

c

z2

2t

2

2

ttt

1t

1t

1t

1t

1t

1t

1z

z

0d其中，

和

都是外生變量，

是名義變量．當(dāng)1t2tt時，條件方差中存在短期杠桿效應(yīng)。例3.845模型的選擇先驗信息

對稱非對稱從數(shù)據(jù)出發(fā)初選模型檢驗

參數(shù)合理性

參數(shù)顯著性殘差檢驗分析評價R2、

AIC

、SC，Q-

P

、MAPE46五、多元ARCH模型（一）模型形式1.對角VECH（Diagonal

VECH）模型pq

(

)

t0it

i