2021年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（二）真題及答案

1[畢選題|…時岫是，的

A.低階無窮小

B.等價無窮小

C.高階無窮小

D.同階但非等價無窮小

正確答案：C

參考解析:

J。"[―⑵「2/_n

X7*6lx，根據(jù)階無窮小的定

義."-1）也是『的高階無窮小.

-——#0,

函數(shù)/（X）='x在*=0處

21單選題jI.x=0

A.連續(xù)且取得極大值

B.連續(xù)且取得極小值

C.可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)為零

D.可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不為零

正確答案：D

參考解析:

x

e-1-,I

因為/'(O)=lim-------------=lime~\--=lim^■--=lim*=4-，所以“.”、

xx2x?-o2x2函數(shù)f(x)

在x=0處可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不為零.

3［畢逸題7有一圓柱體,底面半徑與高隨時間變化的速率分別為2cm/s,-3cm/s,

當(dāng)?shù)酌姘霃綖?0cm,高為5cm時，圓柱的體積與表面積隨時間變化的速率分別為

0.

A.125弘cm'!/s,40ncm2/s

B.125ncm'/s,-40ncm2/s

C.-100cm3/s,40ncm2/s

D.-100cm3/s,-40冗cm"/s

正確答案：C

參考解析：

設(shè)圓柱體底面半徑為r,高為人則曰=2坐=-3.

ntat

由體積V=irr2h,S=21r廠+27TM,得

2dhdSAdrc,dr~dh

丁，1=4"—+2irh—+2irr丁，

dtd/drdr山drdr

代入r=10,A=5=2,—=-3得==-100IT,-=40TT,

dr山dtdt

故該圓柱的體積與表面積隨時間變化的速率分別為一】00宣cm3/s.4O7Tcm7s.

4［單選題7設(shè)函數(shù)f(x)=ax-blnx(a>o)有2個零點，則b/a的取值范圍是().

A.(e,+0°)

B.(0,e)

1

C.(0,e)

1

D.(e,+8)

正確答案：A

參考解析：

/(x)=ax-bInx(a>0),則x>0且/'(x)=a——=——

XX

當(dāng)6WO時，則/(x)NO,與題意矛盾.

當(dāng)b>0時，令/'(x)=0得x=：,則當(dāng)工w(0,?)時J'(x)<0;當(dāng)*W(1,+8)時,

r(x)>0.

又lim/(x)=+?,lim/(x)=+oc,所以需包—6In—=6-6In—<0,解

?-o*\a/aaa

eb

得一>e.

a

5［單選題/設(shè)函數(shù)f(x)=secx在x=0處的2次泰勒多項式為l+ax+bx)貝U().

A.a=l,b=-2

1

B.a=l,b=2

1

C.a=0,b=-2

1

D.a=0,b=2

正確答案：D

參考解析：

由題意得/'(x)=secxtanxJ"(x)=secxtan2x+secx,

則依據(jù)泰勒公式得a=￡留=°力=烏譬=T-

61單選題］設(shè)函數(shù)f(x,y)可微，且f(x+1,ex)=x(x+l)~,f(x,x2)=2x2lnx,則df(1,

1)=().

A.dx+dy

B.dx-dy

C.dy

D.-dy

正確答案：C

參考解析：

將f(x+l,e，)=x(x+l)2兩邊對x求導(dǎo)得

f\(x+1,e')+/；(x+I,e*)e*=(x+1)2+2x(x+1).①

將*=0代入①得/；(1/)+/；(1,1)=L②

將/(3/)=2dlnx兩邊對x求導(dǎo)得

22:

f\(xtx)+/z(x,x),2x=4xInx+2x,—.③

將x=】代入③得?2=2.④

聯(lián)立②④解得￡(1,1)=0/；(1,1)=1,

故(lf(111)=dy.

7［畢選題7設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,1］上連續(xù)，貝3也

limf/f弛二1)；

A.G?2n'2n

B.!R￡4空)：

c四亙

D.處￡居)：

正確答案：B

參考解析：

由定積分定義得。(x)dx=網(wǎng)這里將區(qū)間［0,1］分為n等份，即

k.上

［0，］，…，1"1，耳，…，1rL'I?特殊點依次取區(qū)間中點--=與二%=1，

InJInnJInJn2n

故〃U)dx=也口(4

8［本選題7二次型f(X|,X2,乂3)=3+乂2)2+&+*3)2-區(qū)七1)2的正慣性指數(shù)與負(fù)慣性

指數(shù)依次為().

A.2,0

B.1,1

C.2,1

D.1,2

正確答案：B

參考解析：

/01I\

二次型矩陣A=121,

<110>

-A11-A-101+AI

\A-AE|=I2-A1=12-A1

I1-A11-A

-101

=(A+1)12-AI=-A(A+1)(A-3)=0,

11-A

則A的特征值為-1,0,3,所以正慣性指數(shù)與負(fù)慣性指數(shù)依次為1,1.

9［畢逸邀7設(shè)三階矩陣A=(a1,a2,a3),B=(P(,B2,63),若向量組a1，a2

Q3可以由向量組3,以線性表出，則().

A.Ax=O的解均為Bx=O的解

B.ATX=O的解均為BTx=O的解

C.Bx=O的解均為Ax=O的解

D.BTX=O的解均為ATx=O的解

正確答案：D

參考解析:

因為向量組a”a2,a3o可由向量組氏，32,B3線性表出，所以存在矩陣C,

使得A=BC,取轉(zhuǎn)置得CBJA)對于Va,BTa=0,貝ijC的a=0,即A，a=0,故BTX=0

的解均為A,X=0的解.

0-1、

A=2-11

io［畢選翦已知矩陣L12-5),若下三角可逆矩陣P和上三角可逆矩

陣Q,可使得PAQ為對角矩陣,則P,Q可以分別取().

00、

10

01>

<10O\f\0I、

2-I0,013

C.I-321Jlo

01>

<1oo\n2

oioUo-12

D.ll31)lo0

1j

正確答案：C

參考解析:

/10Oy10-1yl01\

PAQ=2-102-11013

經(jīng)驗證，(-321A_12-5Ao01>

/I0-1yl01\/I00\

=01-3013=010，故C項正確.

W00Ao0UVO00/

1式填空題］

f'|x|3-pdx=

參考解析：

1

【解析】

||x|31dx=2Jx,3'"tlx=-廣3*1(72)

Jo

1+81

一k3.=

121填空題］

設(shè)函數(shù)〉=y(x)由參數(shù)方程廠=2e'+t+1確定，則d富2V1

y=4(/-l)e*+X2&'-0

參考解析：

2

3

【解析】

dydydt=4e'+4(1-l)e'+2t_4fe'+2t

dxdtdx2e'+1

ddy

d2!\dxld/=d(2」.]=_2_

dx2=d/五~市’2e*+1=2e+T

故近2

3

IM填空題］

dz

設(shè)函數(shù)z=z(x,y)由方程(x+1)z+yInz-arctan(2xy)=l確定，則社(0.2)

參考解析:

1

【解析】

令F(x,y,z)=(x+l)z+yInz-arctan(2xy)T,

則尸；=2-；■—好百，匕=(x+1)+工,將丁=。,>=2代入原方程得z=1

1+(2xy)x

故區(qū).=1

axM2)-

(0.2.1)

\以填空題］

/(/)=j產(chǎn)//in.d>,則國=

已知函數(shù)

參考解析：

IT2

—cos-

2TT

【解析】交換積分次序求解.

原區(qū)域為X型區(qū)域,。=|(->)I1WxW，2,y7wyW￡|,

將其轉(zhuǎn)化為丫型區(qū)域為D=|(z,y)I】於yWWxW/|,

所以函數(shù)/(/)=[dx/jin—dy=[dy(sin*dx=[(ycos-----ycos

求導(dǎo)得/'(，)=?COS--fCOSr,則/'(:■卜-^-COS—.

151填空題］

微分方程y'''-y=0的通解為

參考解析：

y=C（e'+C2e^'cosy-x+C31：'sin?x（其中,C?，G為任意常數(shù)）

【解析】該微分方程的特征方程為人3—1=0,解得特征根為

叵

A|=1,入2=-y+51，入37-T'

故通解為）"=Ge'+Gencos+Qb匕sinjx（其中G，G，G為任意常數(shù)）.

\6\填空題］

XX12x

多項式/(%)=I12

中r項的系數(shù)為

21X

12-1X

參考解析:

一5

【解析】

xx\2xX-4X+2-10

1x2-11x2-1

/（X）=—

21x121x1

2-11x2-11x

%-52-31

1x2-1

，所以/項的系數(shù)為-5.

21x1

2-11x

171簡答題］

1+fe,2dt,、

求極限lim九1

e”一1sinxj

參考解析:

222

1

2

簡答題］

Cxi

已知函數(shù)"X)

1+x>求曲線y=f(x)的凹凸區(qū)間及漸近線.

參考解析:

由題意知X=-1為間斷點.

當(dāng)N>0時/(幻=7^-,則/(幻=rr^ZCx)=八2>0,

1+X(1+X)(1+X)

故y=/(x)在(0,+8)上是凹的.

當(dāng)r。且“T時小)=-三，則/,⑷=-寇奈了⑴=-不匕,

①當(dāng)X<-1時/"(幻=-12>0,故，=/(x)在(-8,-1)上是凹的；

②當(dāng)-1(工<0時J"(x)=-:2<0,故>=/(x)在(-1,0)上是凸的.

綜上所述，曲線y=/(x)的凹區(qū)間為(0,+x),(-x,-1)；凸區(qū)間為(-1,0).

因為li碩幻=limp=8,所以曲線y=/(外不存在水平漸近線；

因為工/仃)=Jim占=8,所以X=-1為曲線y=/(x)的垂直漸近線；

因為a=limW=lim-；Xr=1,6=lim[f(x)-x]=lim(------%)=-1,

XX(14*X)t-*?*\1+4)

所以y=x-l為曲線y=/(x)的斜漸近線；

又因為〃=lim=lim:"-r=-1,6=lim[/(x)+x]=lim(--+/)=1,

所以y=-4+1也為曲線y=/(x)的斜漸近線.

綜上所述，曲線y=/1)有一條垂直漸近線x=-1,兩條斜漸近線y=4-1和y=-x+l.

191簡答題]

f/(X),12小

I--ax=-x-x+C

設(shè)函數(shù)f(x)滿足JA6,L為曲線y=f(x)(4WxW9),記L的長

度為S,L繞x軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)曲面的面積為A,求S和A

參考解析：

因為/-x+C,所-x+c)'=9-1,

JG6丘\613

故/(4)=4-xr—Gj'(x)=_；為由

s=J^A/1+[/*(?)]ia=J/1+W-yx-^jd.r

A=(2碩工)/l+[f\x)]2dx=-石)、,/l+(?)'-；”)dr

=y-irJ(x--3V￡)(+y-x'^j<lr=yirJ(x-3)(x+l)dx=

201簡答題]

設(shè)y=y(x)(x>0)是微分方程xy'—6y=-6滿足條件y(白)=10的解.

(I)求y(x)；

(II)設(shè)P為曲線y=y(x)上一點，記曲線y=y(x)在點P的法線在Y軸上的截距為

當(dāng)L最小時，求點P的坐標(biāo).

參考解析：

(I)由題意知，-9二-'則

y=J也?(J-—dx+C)=e6,n**(J~—e-6"dx+C)

=x6(J-6x'dx+C)=x6(x-6+C)=Cxb+1.

由y(。)=10得C=■，故>(x)=-1-x6+1(x>0).

(H)設(shè)點P的坐標(biāo)為卜,親？+i),導(dǎo)數(shù)>，(工)=2F.

所以點P處的法線方程為丫-(+/+|)=-(式、-工).

65J

令X=0,則/p=^7+yx+1，^=2x-lr-=生令給=0可得駐點x=1.

又因為斗=(10x4+lOx**)=20>0,

dx*i?i*?I

故X=1為函數(shù)唯一的極小值點,必為最小值點，此時點夕的坐標(biāo)為

211簡答題］

jjxydxdy.

設(shè)平面區(qū)域D由曲線(xz+y2也X2-y2(x20,y20)與x軸圍成,計算二重積分D

參考解析:

1p.|

=’sinGeosHcos2~2edte=—sin2伏,o『2?d。

4Jo8

x

=--1[產(chǎn)cos_2<9dcos2tf=-1-cos'234

16Jo480

1

=48,

221簡答題]

'210、

A=120

設(shè)矩陣11aM僅有兩個不同的特征值，若A相似于對角矩陣，求