2020學年第二學期徐匯區(qū)學習能力診斷卷

高三數(shù)學20

一、填空題(本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分)

考生應在答題紙的相應位置直接填寫結果.

1.集合A={x|——2%<0},B={x||x|<l},則AUB=

2.已知函數(shù)/(耳=唾30+2],則方程尸(x)=4的解x=

IX)

3.等比數(shù)列{《,}(nwN*)中，若a,=1-,a5=-,則％=________.

162

4.若方程V-2x+3=0的兩個根為0和夕，則|々|+|尸|=.

5.函數(shù)/(x)=Asin(69x+e)(A>0,①>0J夕|<§)的

部分圖像如右圖所示，則/&)=.

22

6.雙曲線--匕=1的焦點到漸近線的距離等于____________

49

7

7.在二項式(l+ax)7(aeR)的展開式中，x的系數(shù)為一，則lim(a+/+/+...+優(yōu))的值是

3

8.已知正四棱柱A3C?！狝AG。的八個頂點都在同一球面上，若43=1，

AA=后，則A、C兩點間的球面距離是.

cosCsinC

9.在A4BC中，已知AB=1,BC=2,若丁=,則y的最小值是.

sinCcosC----------

/\

。12。13

10.已知三行三列的方陣a2la22a23中有9個數(shù)為(i=1,2,3；1,2,3),從中任取三個數(shù)，

。32a337

則有且僅有兩個數(shù)位于同行或同列(注意：不能同時出現(xiàn)既有兩數(shù)同行、又有兩數(shù)同列的情況)的

概率是.(結果用分數(shù)表示)

11.在AABC中，AN^-AC,BN與CM交于點、E,AB=a,

23

AC=b,則而=(用￡、B表示).

12.己知實數(shù)a、ZH吏得不等式|ar2+版+。區(qū)》對任意［1,2］都成立，在平面直角坐標系X功中,

點(a,b)形成的區(qū)域記為。.若圓好+?2=戶上的任一點都在。中，則「的最大值為.

二、選擇題(本大題共有4題，滿分20分，每題5分)每題有且只有一個正確選項?？忌鷳诖痤}

紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑.

13.設a:x>l且y>2,J3:x+y>3,則a是尸成立的-----------------()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

14.設4、Z2為復數(shù)，下列命題一定成立的是---------------------------()

A.如果zJ+z；=0,那么Z］=Z2=0

B.如果團=員|,那么Z］=±Z?

C.如果。是正實數(shù)，那么-a<Z］<a

D.如果|zj=a,。是正實數(shù)，那么z「Z|=”2

15.若/(x)是R上的奇函數(shù)，且f(x)在［0,+oo)上單調遞增，則下列結論：①y=|f(x)|是

偶函數(shù);②對任意的xeR都有，(-x)+"(x)|=0；③y=f(x)/(-x)在(-8,0］上單調遞增；

④反函數(shù)y=/T(x)存在且在(-oo,0］上單調遞增.其中正確結論的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

16.已知｛%｝是公差為d(d>0)的等差數(shù)列，若存在實數(shù)玉,吃，七，…，/滿足方程組

fsinx1+sinx2+sinx3+.;.+sinx9=0,則.的最小值為----------()

smx｝+生sm+a3smx3H----i-a9sinx9=25,

三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙的相應位置寫出必要的步驟.

17.（本題滿分14分，第（1）小題6分，第（2）小題8分）

如圖，在直三棱柱ABC—A與G中，BAA.BC,

BA=BC=BB[=2.

（1）求異面直線Ag與AC所成角的大小；

（2）若何是棱BC的中點.求點M到平面4片。的距離.

18.（本題滿分14分，第（1）小題6分，第（2）小題8分）

已知函數(shù)/（x）=\x+a\-yjl-x2.

（1）若4=正，求函數(shù)/（x）的零點；

（2）針對實數(shù)。的不同取值，討論函數(shù)/（力的奇偶性.

19.（本題滿分14分，第（1）小題6分，第（2）小題8分）

元宵節(jié)是中國的傳統(tǒng)節(jié)日之一.要將一個上底為正方形ABCD的長方體狀花燈掛起，將兩根等長（長

度大于A、C兩點距離）的繩子兩頭分別拴住A、C；B、D,再用一根繩子0P與上述兩根繩子連結

并吊在天花板上，使花燈呈水平狀態(tài)，如圖.花燈上底面到天花板的距離設計為1米，上底面邊長為

0.8米，設ZPAC=0,所有繩子總長為y米.（打結處的繩長忽略不計）

⑴將y表示成。的函數(shù)，并指出定義域；

（2）要使繩子總長最短，請你設計出這三根繩子的長.（精確到0.01米）

20.(本題滿分16分，第(1)小題4分，第(2)小題6分，第(3)小題6分)

已知橢圓土+匕=1上有兩點尸(—2,1)及0(2,-1),直線/:丁=丘+。與橢圓交于A、B兩點，

63

與線段PQ交于點C(異于尸、Q).

—?1—?

(1)當&=1且PC=§C。時，求直線/的方程；

(2)當人=2時，求四邊形E4QB面積的取值范圍；

⑶記直線PA、PB、QA、QB的斜率依次為占、&、%、k4.當b#0且線段AB的中點“在

直線>=—x上時，計算匕"的值，并證明：片>2燈總

21.(本題滿分18分，第(1)小題4分，第(2)小題6分，第(3)小題8分)

若數(shù)集M至少含有3個數(shù)，且對于其中的任意3個不同數(shù)a,。,c(a<8<c),a,0,c都不能成為等

差數(shù)列，則稱M為“a集”.

⑴判斷集合"2,4,8,…,2"}(〃eN*,3)是否是a集？說明理由；

(2)已知左eN*,ZN3.集合A是集合{1,2,3,…，&}的一個子集，設集合3=卜+2左一l|xeA},

求證：若A是a集，則Au8也是a集；

⑶設集合一，…，一,——，(〃eN*,〃23),判斷集合C是否是a集，證明你的結論.

34nn+1v)

2020學年第二學期徐匯區(qū)學習能力診斷卷

數(shù)學學科參考答案及評分標準2021.4

一.填空題：（本大題共有12題，滿分54分,第1?6題每題4分，第7?12題每題5分

71

1.(-1,2)2.13.44.2735.2sin——x6.3

4

1兀132-172V29

7.-8.一9.-10.-11.—a+—b12.

22275529

二.選擇題：（本大題共有4題,滿分20分,每題5分)

13.A14.D15.B16.C

三.解答題：（本大題共5題，滿分74分）

17.（本題滿分14分，第（1）小題6分，第（2）小題8分）

【解】由于4G//AC，所以/CA4（或其補角）即為異面直線Ag與AG所成角，2分

連接C4,在A44c中，由于A4=4C=AC=20,所以AA4。是等邊三角形，所以

TT7T

NCA4=1,所以異面直線Ag與4G所成角的大小為§,6分

（2）如圖所示，建立空間直角坐標系，可得有關點的坐標為C（0,0,2）、B1（0,2,0）、A,（2,2,0）,

M(0,0,l).8分

設平面ABC的法向量為五=(“,V,W),則〃，CB1〃_LAB.

?.?恒=(0,2,-2),=(-2,0,0),

2v-2w=0w=v

且〃,CB]=0,n-AJBJ=(),.?.<n，取V=1,

—2u=0u=0

得平面A|B＜的一個法向量為5=（0,1,1）,11分

且，=行，又?.?麗=（（）,2,-1）,于是點M到平面A|BC的距離

1_V2

n\x/2

V2

所以，點M到平面人耳。的距離等于當.14分

MN1CB]

解法二：過點M作MNLCB［交CB］于N,由MN_LA￡nMNJ_平面A4C.

CB{c4與=B、

在RfAOWN中，由NMCN=%,CM=1,得MN=%,

42

5

所以，點“到平面4月。的距離等于己-.(解法三：利用等體積法，略.)

18.(本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分)

【解】(1)函數(shù)“X)的定義域為［—1,1］,

由a=y/2,,得卜+V5l—Jl—-=0,

化簡得2^+2夜x+l=O,即(0X+1J=0二%=—孝,

所以，函數(shù)“X)的零點為了=-咚.-------------------------------------6分

(注意：不求定義域扣1分)

(2)函數(shù)"X)的定義域為［—1,1］,若函數(shù)/(X)為奇函數(shù)，則必有/(—1)+〃1)=0

代入得|a+l|+|a—1|=()于是彳“_］無解，所以函數(shù)/(x)不能為奇函數(shù)——9分

若函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，由/(—1)=/⑴得卜l+a|=|l+a|解得a=0：-----12分

又當a=0時，"x)=|x|—Jl—f,則/(_幻=卜止/一(一Jef=兇_，12=/(x)

對任意xe［-1,1］都成立.--------------------------------------------------13分

綜上，當。=0時，函數(shù)”X)為偶函數(shù)，當時，函數(shù)“X)為非奇非偶函數(shù).一14分

19.(本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分)

【解】(1)設上底中心為M,則|AM|=0.4亞，|PM|=0.4應tan(),|PA|="色，故

cosO

y=4|PA|+|OP|=4|PA|+|OM|-|PM|=^^+l-0.4&tanO=^^^^+l,-----------------5分

cos0cos0

0G0,arctan.------------------------------------------------------------------------------------------------6分

(2)記A=——:------，則sinO+Acos0=4,即71+A2sin(0+^)=4,

cos0

由sin(O+p)V1,得A24^,等號成立時0=曰-arctane0,arctan,------10分

從而丫方加=0.4回+1憶3.19(米)，-----------------------------------------11分

此時這三根繩子長分別約為1.17米，1.17米，0.85米.-----------------------14分

20.(本題滿分16分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分)

【解】(1)設C(a,b),則定=(。+2,〃-1),戈=(2—a,—l—勿，由定=；質，得

2

〃+2=—(2—a),

2解得，"=一了

b=L

3

所以，直線/的方程為y—；=x—(—|),即x-y+l=0.--------------------4分

(2)直線/的方程為y=2x+b,代入橢圓方程，整理得9/+8法+2〃—6=0(*)—5分

則lABUQ?標碼V『j5(54-胡)-----------------------6分

99

—4—\+b4+1+〃

由/與線段PQ相交，有，二十二”<0,得一5<6<5,7分

由即0=-<，勺=2知+為=-1,所以AB_LPQ且|「。=2宕，

故四邊形PAQB的面積S=；|陰.陷=⑹叫=孩J54-2〃,-------------9分

其取值范圍為一，二^.--------------------------------------------------10分

93

(3)將直線/的方程/:y=fcc+。，代入橢圓方程，整理得(1+2/)x=4kbx+2b2-6=0(*)11分

設A3,y),B(X2,y2),則AB中點坐標為±X,2l土,

I22)

且xX2為方程(*)的兩根，則xi+x2=-------T

b1+2,

由條件，有％+"+，+=0,BPxi+x+yi+y2=0,---------------------------12分

222

又yi=kxi+b,y2=kx2+b,故有(1+k)(xi+x2)+2b=0,

4kb1

即(1+2)(-------y)+2Z?=0,解得b=0(舍)或k二一.-----------------------即分

l+2r2

、口1…4b4b2-12

當卜二一時，xi+x2=----，X1X2=--------，貝!]

233

kk

12

X)+2x24-2(%+2)(X2+2)

xx

~\iJ(%+x2)+(/?-1)*■]

=4--------2------------------=_,------------------------------------14分

+2(X+冗2)+42

又由干…x+1%+1(I+A1)(在+H1)二痞+等a+z)+s+i)[i

乂LL14K^KA——"——"——，

玉-2X2-2(XJ-2)(X2-2)X}X2-2(X}+%2)+42

由女尸內,利用基本不等式有4+后>2勺t4成立.-----------------------------16分

21.(本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分)

【解】(1)任取三個不同元素2，〈2%2卜(其中O?i〈j<kWn),

若此三數(shù)成等差數(shù)列，則

但2i+2k>2k>2j+1=2-2j,因此這三個數(shù)不能成等差數(shù)列.

所以，集合{1,2,4,8,…,2"}(〃eN*,”23)是集”.----------------------4分

(2)反證法.假設AuB不是“a集”，即4口8中存在三個不同元素*<八2,

使x,y,z成等差數(shù)列，則x+z=2y.-------------------------------------------5分

因為A是“a集"，所以，x,y,z不能全在A中；-----------------------------6分

如果x,y,z全在B中,則[x-(2k-l)]+[z-(2kT)]=2[y-(2kT)]依然成立,

且x-(2k-l),y-(2k-l),z-(2kT)都在A中，這說明A中存在三個數(shù)構成等差數(shù)列，

即A不是“a集”，與條件矛盾，因此，x,y,z也不能全在B中.---------------7分

由于B中最小可能元素(為2k)大于A中最大可能元素(為k),

所以必有xwA,zeB.------------------------------------------------------8分

從而，y=-(x+z)<-[k+k+(2k-l)]=2k--<2k,故yeB；

222

同樣，y=—(x+z)>—[l+l+(2k-l)]=k+—>k,故y《A.

22