./量子理論說明及都是波動(dòng)方程的解。提示：將代入方程式兩端,經(jīng)過運(yùn)算后,視其是否相同。解：利用三角函數(shù)的微分公式和,將代入方程：對(duì)于電磁波,所以是波動(dòng)方程的一個(gè)解。對(duì)于,可以通過類似的計(jì)算而加以證明：試根據(jù)Planck黑體輻射公式,推證Stefan定律：,給出的表示式,并計(jì)算它的數(shù)值。提示：,I=cE/4解：將代入上式,作變量代換后,上式變?yōu)?說明在長波低頻區(qū)域=0,Planck公式還原為Rayleigh-Jeans公式。提示：應(yīng)用Taylor級(jí)數(shù)展開。解：在長波低頻區(qū)域=0,可將用Taylor級(jí)數(shù)展開至一階,并代入Planck公式即可得Rayleigh-Jeans公式,試通過對(duì)能量密度函數(shù)求極值,推導(dǎo)出Wien位移定律,。解：本題正確求解的關(guān)鍵是必須明確以波長為變量求得的最大能量密度及波長max和以頻率為變量求得的最大能量密度及頻率max無對(duì)應(yīng)關(guān)系:c=maxmax.現(xiàn)對(duì)這兩個(gè)物理量分別計(jì)算如下:<1>求max根據(jù)能量密度函數(shù)的表示式得到,當(dāng)上述微分為零時(shí)能量密度函數(shù)取極值<可以證明,取極大值.>,即:=0為平庸根,另一個(gè)根由下述方程得到:.令,上述方程變換為:3<ex-1>-xex=0通過迭代求解,可得兩個(gè)根x=0,x=2.82.從而得到關(guān)系式.<2>求max先將能量密度的表示式變換為波長的函數(shù):對(duì)E<>求極值:極值條件為上式等于零.再令,得到:5<ey-1>-yey=0迭代求得:y=0,y=4.965.y=0為平庸根,y=4.965時(shí),E<>取極大值<可以證明>,故而,.<3>綜合上述兩個(gè)結(jié)果,容易發(fā)現(xiàn)maxmax不等于光速c.計(jì)算下列波長的一個(gè)光子和1mol光子的能量：a600nm紅,b550nm黃,c400nm藍(lán),d200nm紫外,e150pmX射線,f1cm微波。解：本題用到的長度單位變換為：。一個(gè)光子的能量為：,而1mol光子的能量為：。這里N0是Avogadro常數(shù),是Planck常數(shù),是光速,是波長。對(duì)與本題的各種波長,代入以上公式得：a,；b,；c,；d,；eE=8.26×103eV,Emol=7.975×105kJ；fE=1.24×104eV,Emol=1.20×10-2kJ。用波長為750nm,500nm,200nm的光照射以下金屬的表面：Na2.3eV,K2.2eV,Cs2.1eV,W4.5eV。括號(hào)中的數(shù)值是該金屬的功函數(shù),請(qǐng)估計(jì)光電子發(fā)射時(shí),每種情況的電子動(dòng)能。解：光電子發(fā)射時(shí),電子動(dòng)能,這里是金屬的功函數(shù)。代入本題的波長和功函數(shù),計(jì)算結(jié)果見下表：————————————————————————————— Na KCsW—————————————————————————————=750 無發(fā)射無發(fā)射無發(fā)射無發(fā)射=5000.18eV0.28eV0.38eV無發(fā)射=2003.90eV4.00eV4.10eV1.70eV—————————————————————————————測(cè)量光電子的動(dòng)能,把它看作入射光頻率的函數(shù)。在波長為625nm時(shí),動(dòng)能為0.2eV；在波長為416nm時(shí),動(dòng)能為1.2eV；在312nm時(shí),動(dòng)能為2.2eV。計(jì)算此金屬的功函數(shù),能否通過這些數(shù)據(jù),確定Planck常數(shù),試給出h的數(shù)值。解：本題中h作為未知量出現(xiàn)。據(jù)公式,將第一組和第二組數(shù)據(jù)代入公式并將公式中的每一項(xiàng)的能量單位都換成eV,得到一方程組,從這個(gè)方程組可得和。利用這兩個(gè)參數(shù)和第三組數(shù)據(jù)可驗(yàn)證所得結(jié)果正確。計(jì)算下列情況下得deBroglie波長：a速度為的氫原子；b能量為0.05eV和的自由電子；c能量為0.05eV的氙原子。解：粒子的deBroglie波長為=h/p。a的原子量為1.007825,原子質(zhì)量單位1.6605655×1027kg,所以b1eV=1.6022×1031J,電子質(zhì)量為9.10953×1031kg。自由電子的波長和能量的關(guān)系為,將數(shù)據(jù)代入公式并統(tǒng)一單位得,對(duì)于能量為0.05eV的自由電子,=5.485×109m；對(duì)于能量為5×10eV的自由電子,=5.485×1013mc的原子量為微粒子發(fā)生衍射現(xiàn)象的條件是孔徑尺寸要與波長相當(dāng)。今有動(dòng)能102~105eV的電子,試論當(dāng)孔徑直徑為106m普通光柵時(shí),能否觀察到衍射現(xiàn)象。解：1eV=1.6022×1031J,電子質(zhì)量為9.10953×1031kg。自由電子的波長和能量的關(guān)系為。對(duì)于動(dòng)能為102eV的自由電子,=1.226×1010m；對(duì)于能量為105eV的自由電子,=3.878×1012m。所以動(dòng)能為102~105eV的電子不能在普通光柵上觀察到衍射現(xiàn)象。試將兩個(gè)正弦波,疊加,導(dǎo)出測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。解：將兩個(gè)正弦波疊加后,利用和角公式得,在附近,當(dāng)時(shí),。此時(shí)坐標(biāo)圍為,動(dòng)量圍為,從而可得/2。試說明中得任何一個(gè)函數(shù)都是波動(dòng)方程的解,且滿足定態(tài)要求與時(shí)間無關(guān)。它們也是另一形式波動(dòng)方程得解：,請(qǐng)驗(yàn)證。解：將代入方程：故是,且,與時(shí)間無關(guān),是該波動(dòng)方程的定態(tài)解。又因?yàn)?所以的解。說明和中的任何一個(gè)函數(shù)都不是的解,也不符合定態(tài)要求,試推證之。解：將代入方程,所以不是的解。并且是時(shí)間的函數(shù),所以也不符合定態(tài)要求。對(duì)同理可證。寫出氫原子中電子的波動(dòng)方程。解：其中右邊第一項(xiàng)為動(dòng)能項(xiàng),第二項(xiàng)為核與電子的靜電相互作用項(xiàng)。試問,,,及中哪些是的本征函數(shù),本征值為多少。解：a。是該方程的一個(gè)本征函數(shù),本征值。b。不是該方程的本征函數(shù)。c。是該方程的一個(gè)本征函數(shù),本征值。d。不是該方程的本征函數(shù)。e。不是該方程的本征函數(shù)。已知?jiǎng)恿克惴?試求下列各波函數(shù)所代表的粒子動(dòng)量平均值,a,b,c,其中。解：動(dòng)量平均值。abc求一維勢(shì)箱粒子的值。解：一維勢(shì)箱粒子的本征函數(shù)為：一個(gè)電子被限制在0.1nm的一維箱中,試估計(jì)其動(dòng)量及速度的不確定圍。解：根據(jù)測(cè)不準(zhǔn)原理,電子被限制在箱中,其位置的不確定性可以認(rèn)為是箱的大小。則電子質(zhì)量為,則試以一維勢(shì)箱運(yùn)動(dòng)為模型,討論己三烯的電子成鍵。解：下圖所示為己三烯鏈上的電荷分布情況三個(gè)最高峰分別出現(xiàn)在第一,第三,第五個(gè)C-C鍵上,說明上述三個(gè)鍵為雙鍵,其余為單鍵.三個(gè)雙鍵中,中間的雙鍵的電荷分布較小,說明這個(gè)雙鍵的強(qiáng)度小于邊上的雙鍵.一維勢(shì)箱的長度有變?yōu)闀r(shí),箱中粒子的能級(jí)和波函數(shù)會(huì)發(fā)生什么變化？解：處于一維勢(shì)箱中粒子的能級(jí)和波函數(shù)為和當(dāng)勢(shì)箱的長度縮短時(shí),其能級(jí)和波函數(shù)分別變?yōu)楹?。其能?jí)間隔將變大而波函數(shù)的形式并不發(fā)生變化,但波函數(shù)振幅變大。請(qǐng)用分離變數(shù)方法將三維勢(shì)箱中粒子的波動(dòng)方程化為三個(gè)一維勢(shì)箱中的方程。解：三維勢(shì)箱中粒子的波動(dòng)方程為：設(shè),并代入以上方程,方程兩端同時(shí)除以得,方程左端每一項(xiàng)只含一個(gè)變量,且三個(gè)變量是無關(guān)的,所以每一項(xiàng)都等于一個(gè)常數(shù)。設(shè)這三個(gè)常數(shù)為,和,且,則三維勢(shì)箱中粒子的波動(dòng)方程化為三個(gè)一維勢(shì)箱中的方程,,和。請(qǐng)給出三維立方勢(shì)箱中粒子最低的五個(gè)能級(jí)的量子態(tài)和簡并度。解：由題20可知三維立方勢(shì)箱中粒子的能級(jí)可表示為,其最低的五個(gè)能級(jí)的量子態(tài)和簡并度見下表,————————————————————————能級(jí)簡并度量子態(tài)<l,m,n>————————————————————————11<1,1,1>23<2,1,1>,<1,2,1>,<1,1,2>33<2,2,1>,<2,1,2>,<1,2,2>43<3,1,1>,<1,3,1>,<1,1,3>51