本文格式為Word版，下載可任意編輯——代數(shù)結(jié)構(gòu)（非作業(yè)部分的課后習(xí)題答案）第四章代數(shù)結(jié)構(gòu)

P86：

8、（1）a*b=a*a2=a2*a=b*a；

同理可證b*c=c*b和c*d=d*c；

a*c=a*b2=a*a4=a*(a*a*a*a)=(a*a)*(a*a)*a=b2*a=c*a同理可證b*d；

a*d=a*c2=a*b4=a*a8=(a*a)*(a*a)*(a*a)*(a*a)*a=b4*a=c2*a=d*a

綜三所證，對(duì)任意x,y?A，都有x*y=y*x成立，故*是可交換運(yùn)算。

10、(Z＋,×)，其中Z+為正整數(shù)集，×為普通乘法運(yùn)算，幺元為1。×運(yùn)算在Z+上封閉，×運(yùn)算可結(jié)合、可交換。除幺元1外，代數(shù)系統(tǒng)(Z＋,×)中每個(gè)元素都沒有逆元。11、

證明：由于?k可交換，故只需證明：任選a,b,c?Nk，都有：

a?k(b?kc)=(a?kb)?k(a?kc)和(b?kc)?ka=(b?ka)?k(c?ka)成立

b?c])?k[kkb?ca?(b?c)b?c])?k[?a[]]=a?(b?c)?ak[kkkb?ca?(b?c)b?cb?c]?k[]?ak[](由于a[]為整數(shù))=a?(b?c)?ak[kkkka?(b?c)]=a?(b?c)?k[ka?k(b?kc)=a?(b?c?k[

a?(b?c?k[b?c])k]

(a?kb)?k(a?kc)

abac])?(ac?k[])abackk]=(ab?k[])?(ac?k[])?k[kkkacab(ab?ac)abac?([]?[])]=(ab?ac)?(k[]?k[])?k[kkkkk(ab?k[=(ab?ac)?(k[數(shù))

acab(ab?ac)abacabac]?k[])?k[]?k([]?[])(由于[]和[]是整kkkkkkk(ab?ac)]ka(b?c)]=a(b?c)?k[k=(ab?ac)?k[=a?k(b?kc)

又由?k是可交換運(yùn)算可知:

(b?kc)?ka=a?k(b?kc)=(a?kb)?k(a?kc)=(b?ka)?k(c?ka)

故?k對(duì)?k可分派.

P87：

*)的同構(gòu)映射f為：14、(A,*)到(A,○

f(e)=e，f(b)=c,f(a)=a,f(c)=b；或者f(e)=e，f(b)=c,f(a)=b,f(c)=a；

15.(N5,?5)的所有自同構(gòu)映射為f1、f2、f3和f4，其中f1(k)=k,k?N5；

f2(0)=0，f2(1)=4，f2(2)=3，f2(3)=2，f2(4)=4；f3(0)=0，f3(1)=3，f3(2)=1，f3(3)=4，f3(4)=2；f4(0)=0，f4(1)=2，f4(2)=4，f4(3)=1，f4(4)=3；

16、(N5,?5)的所有自同構(gòu)映射為f1和f2，其中f1(k)=k,k?N5；

f2(0)=0，f2(1)=1，f2(2)=3，f2(3)=2，f2(4)=4；

17、由f的定義可知：

a3a?b])f(a?6b)=f(a?b?6[6=a?b?6[f(a)=(a(mod3))＝a?3[]，故

a?b]?3[6a?b?6[3a?b]6]a?b]6]

=a?b?6[a?b]?3[6a?b?6[3a?ba?ba?b]?3[?2[]]636a?b]=a?b?3[3abf(a)?3f(b)=(a?3[])?3(b?3[])

33ab(a?3[])?(b?3[])ab33]=(a?3[])?(b?3[])?3[333ab(a?b)ab?([]?[])]=(a?b)?3([]?[])?3[33333ab(a?b)ab?([]?[])]=(a?b)?3([]?[])?3[33333a?b]=a?b?3[3=a?b?6[=f(a?6b)

19、不妨設(shè)?為（A,*）的零元，假設(shè)f(?)=?’，下面證明?’是代數(shù)系統(tǒng)(B,?)的零元。

任選b?B，由f是滿同態(tài)可知：存在a?A，使得f(a)=b.故，?’?b=f(?)?f(a)=f(?*a)=f(a)=b；而且，b??’=f(a)?f(?)=f(a*?)=f(a)=b;因此，?’為代數(shù)系統(tǒng)(B,?)的零元。結(jié)論得證。

20、(N4,?4)的所有自同態(tài)映射為：f1(k)=k,k?N4；

f2(0)=0，f2(1)=3，f2(2)=2，f2(3)=1；f3(0)=0，f3(1)=2，f3(2)=0，f3(3)=2；f4(0)=0，f4(1)=0，f4(2)=0，f4(3)=0；

P96:

1、(1)(3)(4)(5)不是半群，都不滿足結(jié)合律。(2)是半群。

2、(1)和(2)為獨(dú)異點(diǎn)。

(3)和(4)不是獨(dú)異點(diǎn)，由于沒有幺元。

4、（{0,2,4},?4）是不含幺元的有限半群。

5、({0,2,4,6},?8),({0,4},?8)是(N8,?8)的兩個(gè)子半群。

6、(N4,?4)的所有子獨(dú)異點(diǎn)為：(N4,?4),({0},?4),({0,2},?4)。

8、({1,4,6},?10),({1,2,4,6,8},?10),({1,2,4,5,6,8,9},?10),({1,2,3,4,5,6,7,8,9},?10)

9、0?62=2?60=0?A;0?64=4?60=0?A;2?64=4?62=2?A;2?62=4?A;4?64=4?A;0?60=0?A;因此，?6在A上封閉并且4為(A,?6)中的幺元。顯然，由(N6,?6)是獨(dú)異點(diǎn)可知：?6可結(jié)合。

故(A,?6)是獨(dú)異點(diǎn)，但由于(N6,?6)的幺元為1，與(A,?6)的幺元不同，故(A,?6)不是(N6,?6)的子獨(dú)異點(diǎn)。

10、滿足條件的同態(tài)映射f為：f(0)=0,f(1)=1,f(2)=3,f(3)=0,f(4)=1，f(5)=3。

P105：

12、證明:不妨設(shè)e是(G,*)的幺元。

-1-1-1-1-1

由于(a*b)*(b*a)=a*(b*b)*a=a*a=e；

-1-1

故b*a是a*b的逆元。

-1-1

由題目條件可知：a*b也是a*b的逆元。

-1-1-1-1

故b*a=a*b。

-1-1

進(jìn)而(a*b)*(a*b)=e

-1-1-1-1

而(b*a)*(a*b)=b*(a*a)*b=e；

-1-1-1-1

故(a*b)*(a*b)=(b*a)*(a*b),右乘(b*a)可得：a*b=b*a。

4222222

14、(a*b)=(a*b)*(a*b)=b*a*b*a；

而由條件，

444

(a*b)=b*a；

442222

故b*a=b*a*b*a；

2-12-1

上式左乘(b)和右乘(a),故2222

b*a=a*b；

而由題目條件，可知：

222

(a*b)=(a*b)*(a*b)=a*b；

22

即(a*b)*(a*b)=a*b；

-1-1

將上式左乘a和右乘b，可得：b*a=a*b；

故(G,*)是交換群。

15、證明：由于(G,*)是群，

故(G,*)中只有一個(gè)等冪元e，即a*a?a,b*b?b。而在*的運(yùn)算表中，每行元素都不同，并且a*e=a,故

a*a=b,b*b=a，a*b=a,b*a=b,進(jìn)而,

33

a=a*a*a=a*b=e,b=b*b*b=b*a=e命題得證。

16、證明：由于(G,*)是群，故G中每個(gè)元素都有逆元。

-1-1

下面證明：若x?y,則x?y。

-1-1

假設(shè)x?y,但是x=y

-1-1

則有：x*x=x*y=e,這與群的性質(zhì)：每行元素都不一致矛盾，故

-1-1

若x?y,則x?y。

不妨設(shè)G-{e}中共有n對(duì)不同的互逆元素：xi和yi,1?i?n。

假設(shè)對(duì)所有1?i?n，都有xi?yi,則G中共有2n+1個(gè)元素，這與(G,*)是偶階群矛盾，故存在1?k?n，使得xk=yk。

-1

因此xk=xk,故xk*xk=e，命題成立。

17、證明：*1到?4的同構(gòu)映射：

f(e)=0;f(a)=1;f(b)=3;f(c)=2;*2到?4的同構(gòu)映射：

g(e)=0;g(a)=2;g(b)=1;g(c)=3;

18、解：（先求互逆元素，再將互逆元素對(duì)應(yīng)起來）

?6到?7的同構(gòu)映射：

f(0)=1;f(3)=6;f(1)=2;f(5)=4;f(2)=3;f(4)=5;

P112：

4、由于偶數(shù)+偶數(shù)＝偶數(shù)，故+運(yùn)算對(duì)E集合具有封閉性。因此(E,+)是(Z,+)的子群。5、0是(N7,?7)的幺元。

0的階數(shù)是1；1、2、3、4、5、6的階數(shù)都是7；

6、(N17-{0},?17)中

1的階數(shù)為1；2的階數(shù)為8；3的階數(shù)為16；4的階數(shù)是4；5的階數(shù)是16；6的階數(shù)是16；

7的階數(shù)為16；8的階數(shù)為8；9的階數(shù)為8；10的階數(shù)為16；11的階數(shù)為16；12的階數(shù)為16；13的階數(shù)為4；14的階數(shù)為16；15的階數(shù)為8；16的階數(shù)為2；

2

(N17-{0},?17)的所有2階子群：({16