...wd......wd......wd...第一局部相似三角形知識要點(diǎn)大全知識點(diǎn)1.．相似圖形的含義把形狀一樣的圖形叫做相似圖形?！布磳?yīng)角相等、對應(yīng)邊的比也相等的圖形〕解讀：〔1〕兩個圖形相似，其中一個圖形可以看做由另一個圖形放大或縮小得到．〔2〕全等形可以看成是一種特殊的相似，即不僅形狀一樣，大小也一樣．〔3〕判斷兩個圖形是否相似，就是看這兩個圖形是不是形狀一樣，與其他因素?zé)o關(guān)．例1．放大鏡中的正方形與原正方形具有怎樣的關(guān)系呢分析：要注意鏡中的正方形與原正方形的形狀沒有改變．解：是相似圖形。因?yàn)樗鼈兊男螤钜粯?，大小不一定一樣．?．以下各組圖形：①兩個平行四邊形；②兩個圓；③兩個矩形；④有一個內(nèi)角80°的兩個等腰三角形；⑤兩個正五邊形；⑥有一個內(nèi)角是100°的兩個等腰三角形，其中一定是相似圖形的是_________(填序號)．解析：根據(jù)相似圖形的定義知，相似圖形的形狀一樣，但大小不一定一樣，而平行四邊形、矩形、等腰三角形都屬于形狀不唯一的圖形，而圓、正多邊形、頂角為100°的等腰三角形的形狀不唯一，它們都相似．答案：②⑤⑥．知識點(diǎn)2．比例線段對于四條線段a,b,c,d，如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等，即〔或a:b=c:d〕那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段．解讀：〔1〕四條線段a,b,c,d成比例，記作〔或a:b=c:d〕，不能寫成其他形式，即比例線段有順序性．〔2〕在比例式〔或a:b=c:d〕中，比例的項(xiàng)為a,b,c,d，其中a,d為比例外項(xiàng)，b,c為比例內(nèi)項(xiàng)，d是第四比例項(xiàng)．〔3〕如果比例內(nèi)項(xiàng)是一樣的線段，即或a:b=b:c，那么線段b叫做線段和的比例中項(xiàng)。(4)通常四條線段a,b,c,d的單位應(yīng)一致，但有時為了計算方便，a和b統(tǒng)一為一個單位，c和d統(tǒng)一為另一個單位也可以，因?yàn)檎w表示兩個比相等．例3．線段a=2cm,b=6mm,求．分析：求即求與長度的比，與的單位不同，先統(tǒng)一單位，再求比．例4．a(chǎn),b,c,d成比例，且a=6cm,b=3dm,d=dm，求c的長度．分析：由a,b,c,d成比例，寫出比例式a:b=c:d，再把所給各線段a,b,,d統(tǒng)一單位后代入求c．知識點(diǎn)3．相似多邊形的性質(zhì)相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等．解讀：〔1〕正確理解相似多邊形的定義，明確“對應(yīng)〞關(guān)系．〔2〕明確相似多邊形的“對應(yīng)〞來自于書寫，且要明確相似比具有順序性．例5．假設(shè)四邊形ABCD的四邊長分別是4，6，8，10，與四邊形ABCD相似的四邊形A1B1C1D1的最大邊長為30，則四邊形A1B1C1D分析：四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1相似，且它們的相似比為對應(yīng)的最大邊長的比，即為，再根據(jù)相似多邊形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，利用方程思想求出最小邊的長．知識點(diǎn)4．相似三角形的概念對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊之比相等的三角形叫做相似三角形．解讀：〔1〕相似三角形是相似多邊形中的一種；〔2〕應(yīng)結(jié)合相似多邊形的性質(zhì)來理解相似三角形；〔3〕相似三角形應(yīng)滿足形狀一樣，但大小可以不同；〔4〕相似用“∽〞表示，讀作“相似于〞；〔5〕相似三角形的對應(yīng)邊之比叫做相似比．注意：①相似比是有順序的，比方△ABC∽△A1B1C1，相似比為k,假設(shè)△A1B1C1∽△ABC，則相似比為。②假設(shè)兩個三角形的相似比為1，則這兩個三角形全等，全等三角形是相似三角形的特殊情況。假設(shè)兩個三角形全等，則這兩個三角形相似；假設(shè)兩個三角形相似，則這兩個三角形不一定全等．例6．如圖，△ADE∽△ABC，DE=2，BC=4，則和的相似比是多少點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)嗎注意：解決此類問題應(yīng)注意兩方面：〔1〕相似比的順序性，〔2〕圖形的識別．解：因?yàn)椤鰽DE∽△ABC，所以，因?yàn)?，所以，所以D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)．知識點(diǎn)5．相似三角的判定方法定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似；平行于三角形一邊的直線截其他兩邊〔或其他兩邊的延長線〕所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．如果一個三角形的兩個角分別與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似．如果一個三角的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似．如果一個三角形的三條邊分別與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似．直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形都相似．例7．如圖，點(diǎn)D在△ABC的邊AB上，滿足怎樣的條件時，△ACD與△ABC相似試分別加以列舉．分析：此題屬于探索性問題，由相似三角形的判別方法可知，△ACD與△ABC已有公共角∠A，要使此兩個三角形相似，可根據(jù)相似三角形的判別方法尋找一個條件即可．解：當(dāng)滿足以下三個條件之一時，△ACD∽△ABC條件一：∠1=∠B；條件二：∠2=∠ACB；條件三：，即AC2=AD·AB．知識點(diǎn)6．相似三角形的性質(zhì)對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等；對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比，對應(yīng)角平分線的比都等于相似比；相似三角形周長之比等于相似比；面積之比等于相似比的平方．例8．如圖，△ADE∽△ABC，AD=8，BD=4，BC=15，EC=7求DE、AE的長；你還能發(fā)現(xiàn)哪些線段成比例．分析：此題重點(diǎn)考察由兩個三角形相似，可得到對應(yīng)邊成例，即．例9．△ABC∽△A1B1C1，，=，△ABC的周長為20cm，面積為40cm2．求〔1〕△A1B1C1的周長；〔2〕△A1B1C分析：根據(jù)相似三角形周長之比等于相似比；面積之比等于相似比的平方求解．易求出△A1B1C1的周長為30cm;△A1B1C1的面積第二局部相似三角形模型分析大全相似三角形判定的根本模型認(rèn)識〔一〕A字型、反A字型〔斜A字型〕〔平行〕〔不平行〕 〔二〕8字型、反8字型〔蝴蝶型〕〔平行〕〔不平行〕〔三〕母子型〔四〕一線三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形〔等腰梯形〕或者等邊三角形為背景〔五〕一線三直角型：雙垂型：相似三角形判定的變化模型旋轉(zhuǎn)型：由A字型旋轉(zhuǎn)得到。8字型拓展共享性一線三等角的變形一線三直角的變形第三局部相似三角形典型例題講解母子型相似三角形例1：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，BE∥CD交CA延長線于E．求證：．例2：：如圖，△ABC中，點(diǎn)E在中線AD上,．求證：〔1〕；〔2〕．ACDACDEB例3：：如圖，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分別交AD、AC于E、F．求證：．相關(guān)練習(xí)：1、如圖，AD為△ABC的角平分線，EF為AD的垂直平分線．求證：．2、：AD是Rt△ABC中∠A的平分線，∠C=90°，EF是AD的垂直平分線交AD于M，EF、BC的延長線交于一點(diǎn)N。求證：(1)△AME∽△NMD;(2)ND=NC·NB3、：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一點(diǎn)，CF⊥BE于F。求證：EB·DF=AE·DB5．ACBPDE〔第25題圖〕：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜邊AB上的一個動點(diǎn)，PD⊥AB，交邊AC于點(diǎn)D〔點(diǎn)D與點(diǎn)A、C都不重合〕，E是射線DC上一點(diǎn)，且∠EPD=∠A．設(shè)A、P兩點(diǎn)的距離為xACBPDE〔第25題圖〕〔1〕求證：AE=2PE；〔2〕求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；〔3〕當(dāng)△BEP與△ABC相似時，求△BEP的面積．雙垂型1、如圖，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分別是AC、AB上的高求證：〔1〕△ABD∽△ACE；〔2〕△ADE∽△ABC；(3)BC=2ED2、如圖，銳角△ABC，AD、CE分別是BC、AB邊上的高，△ABC和△BDE的面積分別是27和3，DE=6，求：點(diǎn)B到直線AC的距離。共享型相似三角形1、△ABC是等邊三角形,D、B、C、E在一條直線上,∠DAE=，BD=1，CE=3，,求等邊三角形的邊長.2、：如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．求證：〔1〕△ABE∽△ACD；〔2〕．一線三等角型相似三角形CCADBEF例1：如圖，等邊△ABC中，邊長為6，D是BC上動點(diǎn)，∠EDF=60°〔1〕求證：△BDE∽△CFD〔2〕當(dāng)BD=1，F(xiàn)C=3時，求BE例2：〔1〕在中，，，點(diǎn)、分別在射線、上〔點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合〕，且保持.①假設(shè)點(diǎn)在線段上〔如圖〕，且，求線段的長；②假設(shè)，，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；ABCABC備用圖ABC備用圖ABCPQABCD正方形的邊長為〔如以以下圖〕，點(diǎn)、分別在直線、上〔點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合〕，且保持.當(dāng)時，求出線段的長.ABCDABABCDABCD例3：在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．〔1〕如圖8，P為AD上的一點(diǎn)，滿足∠BPC＝∠A．①求證；△ABP∽△DPC②求AP的長．CCDABP〔2〕如果點(diǎn)P在AD邊上移動〔點(diǎn)P與點(diǎn)A、D不重合〕，且滿足∠BPE＝∠A，PE交直線BC于點(diǎn)E，同時交直線DC于點(diǎn)Q，那么①當(dāng)點(diǎn)Q在線段DC的延長線上時，設(shè)AP＝x，CQ＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；②當(dāng)CE＝1時，寫出AP的長．例4：如圖，在梯形中，∥，，．點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，以為頂點(diǎn)作，射線交腰于點(diǎn)，射線交腰于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．〔1〕求證：△∽△；〔2〕假設(shè)△是以為腰的等腰三角形，求的長；〔3〕假設(shè)，求的長．相關(guān)練習(xí)：1、如圖，在△ABC中，，，是邊上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且．ABCDE(1)求證：△ABCDE(2)如果，，求與的函數(shù)解析式，并寫出自變量的定義域；(3)當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時，試說明△ADE是什么三角形，并說明理由．2、如圖，在△ABC中，AB=AC=6，BC=5，D是AB上一點(diǎn)，BD=2，E是BC上一動點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE，并作，射線EF交線段AC于F．〔1〕求證：△DBE∽△ECF；〔2〕當(dāng)F是線段AC中點(diǎn)時，求線段BE的長；〔3〕聯(lián)結(jié)DF，如果△DEF與△DBE相似，求FC的長．3、在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC=6，AB=DC=4，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)．〔1〕如圖，P為BC上的一點(diǎn)，且BP=2．求證：△BEP∽△CPD；〔2〕如果點(diǎn)P在BC邊上移動〔點(diǎn)P與點(diǎn)B、C不重合〕，且滿足∠EPF=∠C，PF交直線CD于點(diǎn)F，同時交直線AD于點(diǎn)M，那么①當(dāng)點(diǎn)F在線段CD的延長線上時，設(shè)BP=，DF=，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；②當(dāng)時，求BP的長．EDEDCBA〔備用圖〕EDCBAP〔第25題圖〕4、如圖，邊長為的等邊，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)是射線上一動點(diǎn)，以線段為邊向右側(cè)作等邊，直線交直線于點(diǎn)，〔1〕寫出圖中與相似的三角形；〔2〕證明其中一對三角形相似；〔3〕設(shè)，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；〔4〕假設(shè)，試求的面積．備用圖備用圖一線三直角型相似三角形例1、矩形ABCD中，CD