高三（上）數(shù)學(xué)試題文科階段性考試（一）第頁共4頁2023-2024學(xué)年度（上）階段性考試（一）高2021級(jí)數(shù)學(xué)（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，，則（

）A．B．C．D．2．已知（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限3．拋物線的準(zhǔn)線方程是（

）A．B．C．D．4．已知函數(shù)，則（

）A． B．2 C． D．35．已知滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最小值是（

）A．1 B．2 C．11 D．無最小值6．下列函數(shù)中，既是上的增函數(shù)，又是以為周期的偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．7．定義在R上的奇函數(shù)滿足是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C．0 D．28．用半徑為10cm，圓心角為的扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，這個(gè)圓錐的體積為（

）A． B．128 C． D．969．下列說法正確的有（

）①對于分類變量與，它們的隨機(jī)變量的觀測值越大，說明“與有關(guān)系”的把握越大；②我校高一、高二、高三共有學(xué)生人，其中高三有人.為調(diào)查需要，用分層抽樣的方法從全校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為的樣本，那么應(yīng)從高三年級(jí)抽取人；③若數(shù)據(jù)、、、的方差為，則另一組數(shù)據(jù)、、、的方差為；④把六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)為：.A．①④ B．①② C．③④ D．①③10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，則（

）

A．B．C．D．11．人們用分貝來劃分聲音的等級(jí)，聲音的等級(jí)（單位：）與聲音強(qiáng)度（單位：）滿足.一般兩人小聲交談時(shí)，聲音的等級(jí)約為，在有50人的課堂上講課時(shí)，老師聲音的等級(jí)約為，那么老師上課時(shí)聲音強(qiáng)度約為一般兩人小聲交談時(shí)聲音強(qiáng)度的（

）A．1倍 B．10倍 C．100倍 D．1000倍12．函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，且，若函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則．14．已知，，則.15．如圖，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓的交點(diǎn)將圓的周長八等分，且，則該雙曲線的漸近線方程為．16．設(shè)函數(shù)，有下列結(jié)論：①的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱；

②的圖象關(guān)于直線對稱；③在上單調(diào)遞減；

④在上最小值為，其中所有正確的結(jié)論是．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17．最近，紀(jì)錄片《美國工廠》引起中美觀眾熱議，大家都認(rèn)識(shí)到，大力發(fā)展制造業(yè)，是國家強(qiáng)盛的基礎(chǔ)，而產(chǎn)業(yè)工人的年齡老化成為阻礙美國制造業(yè)發(fā)展的障礙，中國應(yīng)未雨綢繆.某工廠有35周歲以上(含35周歲)工人300名，35周歲以下工人200名，為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān).現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計(jì)了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“35周歲以上(含35周歲)”和“35周歲以下”分為兩組，在將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組:分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機(jī)抽取2人，求至少抽到一名“35周歲以下組”工人的概率.（2）規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”，請你根據(jù)已知條件完成的列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”?生產(chǎn)能手非生產(chǎn)能手合計(jì)35歲以下35歲以上合計(jì)0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82818．已知向量，函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在中，分別是角的對邊，且，，求的周長．19．如圖，在四棱錐中，平面平面，底面為菱形，為等邊三角形，且，，為的中點(diǎn)．

(1)若為線段上動(dòng)點(diǎn)，證明：；(2)求點(diǎn)與平面的距離．20．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與交于，兩點(diǎn)，的周長為8，且點(diǎn)在上．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線與圓：交于C，D兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求面積的取值范圍．21．已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；22．?dāng)?shù)學(xué)中有許多美麗的曲線，如在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線E：（如圖），稱這類曲線為心形曲線.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，當(dāng)時(shí)，(1)求E的極坐標(biāo)方程；(2)已知P，Q為曲線E上異于O的兩點(diǎn)，且，求的面積的最大值.高2021級(jí)數(shù)學(xué)（文科）答案1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一元二次不等式的求解方法，結(jié)合集合的交集，可得答案.【詳解】由不等式，分解因式可得，解得，則，所以.故選：A.2．已知（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】由已知等式求出復(fù)數(shù)，得到復(fù)數(shù)，由復(fù)數(shù)的幾何意義得在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在象限.【詳解】由，得，則，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選：B3．拋物線的準(zhǔn)線方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先化為標(biāo)準(zhǔn)型，利用拋物線的準(zhǔn)線方程可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以?zhǔn)線方程為.故選：A.4．已知函數(shù)，則（

）A． B．2 C． D．3【答案】C【分析】利用分段函數(shù)的定義代入求值即可.【詳解】由題意可得：.故選：C．5．已知滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最小值是（

）A．1 B．2 C．11 D．無最小值【答案】A【分析】作出可行域,將目標(biāo)函數(shù)變?yōu)?通過平移直線即可求出的最小值.【詳解】根據(jù)題意,可行域如圖所示:將直線平移至剛好經(jīng)過時(shí),取的最小值:.故選:A.6．下列函數(shù)中，既是上的增函數(shù)，又是以為周期的偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用函數(shù)的奇偶性、在指定區(qū)間上的單調(diào)性逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】顯然函數(shù)、都是奇函數(shù)，AC不是；當(dāng)時(shí)，，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞減，B不是；函數(shù)是周期為的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為原函數(shù)，即在上遞增，D是.故選：D7．定義在R上的奇函數(shù)滿足是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C．0 D．2【答案】C【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)奇偶性的性質(zhì)分析可得，進(jìn)而可得，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，從而利用周期性即可求解.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，且，又函數(shù)是偶函數(shù)，則，變形可得，則有，進(jìn)而可得，所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，則.故選：C.8．用半徑為10cm，圓心角為的扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，這個(gè)圓錐的體積為（

）A． B．128 C． D．96【答案】C【分析】根據(jù)題意確定圓錐的母線長，根據(jù)扇形的弧長求出圓錐的底面半徑和高，根據(jù)圓錐體積公式即可求得答案.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為R，由題意可知圓錐母線長為，由題意可得，故圓錐的高為，故圓錐的體積為，故選：C9．下列說法正確的有（

）①對于分類變量與，它們的隨機(jī)變量的觀測值越大，說明“與有關(guān)系”的把握越大；②我校高一、高二、高三共有學(xué)生人，其中高三有人.為調(diào)查需要，用分層抽樣的方法從全校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為的樣本，那么應(yīng)從高三年級(jí)抽取人；③若數(shù)據(jù)、、、的方差為，則另一組數(shù)據(jù)、、、的方差為；④把六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)為：.A．①④ B．①② C．③④ D．①③【答案】A【分析】利用獨(dú)立性檢驗(yàn)可判斷①；利用分層抽樣可判斷②；利用方差公式可判斷③；利用進(jìn)位制之間的轉(zhuǎn)化可判斷④.【詳解】對于①，對于分類變量與，它們的隨機(jī)變量的觀測值越大，說明“與有關(guān)系”的把握越大，①對；對于②，由分層抽樣可知，應(yīng)從高三年級(jí)抽取的人數(shù)為，②錯(cuò)；對于③，記，則，所以，數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，其方差為，③錯(cuò)；對于④，把六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)為：，④對.故選：A.10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，則（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】利用函數(shù)圖象可求出的解析式為，再根據(jù)平移規(guī)則可得.【詳解】由圖象可知，，解得；由振幅可知；將代入可得，又，即可得，因此，易知，故選：C.11．人們用分貝來劃分聲音的等級(jí)，聲音的等級(jí)（單位：）與聲音強(qiáng)度（單位：）滿足.一般兩人小聲交談時(shí)，聲音的等級(jí)約為，在有50人的課堂上講課時(shí)，老師聲音的等級(jí)約為，那么老師上課時(shí)聲音強(qiáng)度約為一般兩人小聲交談時(shí)聲音強(qiáng)度的（

）A．1倍 B．10倍 C．100倍 D．1000倍【答案】C【分析】根據(jù)所給聲音等級(jí)與聲音強(qiáng)度的函數(shù)關(guān)系，求出聲音等級(jí)即可比較得解.【詳解】∵聲音的等級(jí)式（單位：）與聲音強(qiáng)度（單位：）滿足，又∵老師的聲音的等級(jí)約為63dB，，解得，即老師的聲音強(qiáng)度約為，∵兩人交談時(shí)的聲音等級(jí)大約為，，解得，即兩人交談時(shí)的聲音強(qiáng)度約為，老師上課時(shí)聲音強(qiáng)度約為兩人小聲交談時(shí)聲音強(qiáng)度的倍.故選：C12．函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，且，若函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將在上的圖象每次向右平移2個(gè)單位，且縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话耄玫皆谏系膱D象，根據(jù)的圖象與有四個(gè)不同的交點(diǎn)，得到的取值范圍.【詳解】先作出在上的圖象，根據(jù)可知在上的圖象為在上的圖象向右平移2個(gè)單位且縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话氲玫剑淼玫缴系膱D象，如圖：

函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)可看作與有四個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖可知，故.故選：A．13．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則．【答案】35【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，及等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，故答案為：35.14．已知，，則.【答案】【分析】本題首先可通過同角三角函數(shù)關(guān)系求出，然后根據(jù)二倍角公式即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，則，故答案為：.15．如圖，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓的交點(diǎn)將圓的周長八等分，且，則該雙曲線的漸近線方程為．【答案】【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合代入法、雙曲線漸近線方程進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為，連接、，則，因?yàn)樽鴺?biāo)軸和雙曲線與圓的交點(diǎn)將圓的周長八等分，則，故點(diǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得，所以，所以該雙曲線的漸近線方程為．故答案為：16．設(shè)函數(shù)，有下列結(jié)論：①的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱；

②的圖象關(guān)于直線對稱；③在上單調(diào)遞減；

④在上最小值為，其中所有正確的結(jié)論是．【答案】②③【分析】整理化簡解析式可得，根據(jù)正弦函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】，當(dāng)時(shí)，，則的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，故①錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，則的圖象關(guān)于直線對稱，故②正確；由，得，當(dāng)即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，故③正確；當(dāng)時(shí)，，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴的最小值為，故④錯(cuò)誤．故答案為：②③．17．最近，紀(jì)錄片《美國工廠》引起中美觀眾熱議，大家都認(rèn)識(shí)到，大力發(fā)展制造業(yè)，是國家強(qiáng)盛的基礎(chǔ)，而產(chǎn)業(yè)工人的年齡老化成為阻礙美國制造業(yè)發(fā)展的障礙，中國應(yīng)未雨綢繆.某工廠有35周歲以上(含35周歲)工人300名，35周歲以下工人200名，為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān).現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計(jì)了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“35周歲以上(含35周歲)”和“35周歲以下”分為兩組，在將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組:分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機(jī)抽取2人，求至少抽到一名“35周歲以下組”工人的概率.（2）規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”，請你根據(jù)已知條件完成的列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”?生產(chǎn)能手非生產(chǎn)能手合計(jì)35歲以下35歲以上合計(jì)附表:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）；（2）列聯(lián)表見解析，有把握.【分析】（1）分別計(jì)算樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中35周歲以上組工人個(gè)數(shù)與35周歲以下組工人個(gè)數(shù)，并分別做好標(biāo)記，然后利用列舉法以及古典概型計(jì)算方法可得結(jié)果.（2）分別計(jì)算“35周歲以上組”與“35周歲以下組”中的生產(chǎn)能手個(gè)數(shù)，然后列出表格，并依據(jù)公式計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】（1）由已知得，樣本中有35周歲以上組工人60名，35周歲以下組工人40名，所以，樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中，35周歲以上組工人有(人)，記為；35周歲以下組工人有(人)，記為從中隨機(jī)抽取2名工人，所有可能的結(jié)果共有10種:至少有一名“35周歲以下組”工人的可能結(jié)果共有7種：.故所求的概率:

（2）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100名工人中，“35周歲以上組”中的生產(chǎn)能手(人)，“35周歲以下組”中的生產(chǎn)能手(人)，據(jù)此可得列聯(lián)表如下:生產(chǎn)能手非生產(chǎn)能手合計(jì)35歲以下10304035歲以上303060合計(jì)4060100所以得:所以有95%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，審清題意，同時(shí)識(shí)記公式，簡單計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.18．已知向量，函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在中，分別是角的對邊，且，，求的周長．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，二倍角公式、輔助角公式求出并化簡，再利用正弦函數(shù)單調(diào)性求解作答.（2）由（1）求出，再利用余弦定理求解作答.【詳解】（1）依題意，，由得：，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）由（1）知，，即，而，則，于是，解得，由余弦定理有，即，解得，所以的周長為.19．如圖，在四棱錐中，平面平面，底面為菱形，為等邊三角形，且，，為的中點(diǎn)．

(1)若為線段上動(dòng)點(diǎn)，證明：；(2)求點(diǎn)與平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）因?yàn)榫€段上動(dòng)點(diǎn)，明顯要證明平面，利用線面垂直判定定理，分別證明，即可；（2）利用等體積變換求距離即得.【詳解】（1）

連接，．∵為等邊三角形，，，，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，，，，，又，平面，平面，，平面又平面，（2）由（1）知平面平面，∴．由題意，∴，，∴中，，∴中，，∴中，由余弦定理得，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則即，，得，故點(diǎn)與平面的距離為20．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與交于，兩點(diǎn)，的周長為8，且點(diǎn)在上．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線與圓：交于C，D兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求面積的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由的周長結(jié)合橢圓的定義得出，再將代入橢圓方程，即可求出，進(jìn)而得出橢圓的方程；（2）設(shè)直線l的方程為，由點(diǎn)到之間距離公式及勾股定理得出，設(shè)，，由直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得出和，代入，設(shè)，，由的單調(diào)性得出值域，即可求出的范圍．【詳解】（1）因?yàn)榈闹荛L為8，所以，解得，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，得，解得，所以橢圓E的方程為．

（2）由（1）知圓的方程為，設(shè)直線l的方程為，則圓心到直線l的距離，由，可得．設(shè)，，聯(lián)立方程組，消去x得，則，，所以，設(shè)，則，設(shè)，易知在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋裕?/p>

21．已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)在（2）的條件下，證明：．【答案】(1)(2