試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat17頁2023-2024學(xué)年湖南省岳陽市第十三中學(xué)高一上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．下列運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合二次根式的運(yùn)算法則，以及三角函數(shù)的特殊角的取值，即可求解．【詳解】對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D錯(cuò)誤．故選：B2．將一副三角板如圖所示放置，斜邊平行，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，結(jié)合三角板的特征進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖所示：因?yàn)椋运?，故選：C．3．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)完全平方公式求解即可．【詳解】因?yàn)?，所以，故選：C4．世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一哥德巴赫猜想于年由哥德巴赫在給歐拉的信中提出：任一大于的偶數(shù)都可寫成兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和這個(gè)猜想至今沒有完全證明，目前最前沿的成果是年我國數(shù)學(xué)家陳景潤證明了“”，即他證明了任何一個(gè)充分大的偶數(shù)，都可以表示為兩個(gè)數(shù)之和，其中一個(gè)是素?cái)?shù)，另一個(gè)或?yàn)樗財(cái)?shù)，或?yàn)閮蓚€(gè)素?cái)?shù)的乘積，被稱為“陳氏定理”我們知道素?cái)?shù)又叫質(zhì)數(shù)，是指在大于的自然數(shù)中，除了和它本身以外，不能被其他自然數(shù)整除的數(shù)請(qǐng)問同學(xué)們，如果我們從不大于的自然數(shù)中任取兩個(gè)不同的數(shù)，這個(gè)兩個(gè)數(shù)都是素?cái)?shù)有多少種不同的情況？（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，分析可得有個(gè)符合題意的素?cái)?shù)，由列舉法可得答案.【詳解】根據(jù)題意，在不大于的自然數(shù)中，素?cái)?shù)有、、、，共個(gè)，則取出個(gè)數(shù)都是素?cái)?shù)的取法有,,,,,共6種，故選：A．5．下列選項(xiàng)中的垃圾分類圖標(biāo)，既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形的是()A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形的定義，結(jié)合選項(xiàng)即可得解．【詳解】由中心對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形的定義可知，選項(xiàng)C符合題意，其他選項(xiàng)均不符合．故選：C6．中，若：：：：，為的重心，則面積：面積：面積（

）A．：： B．：： C．：： D．：：【答案】D【分析】由重心的性質(zhì)判斷．【詳解】如圖所示，延長(zhǎng)三條線分別交三角形三邊于三點(diǎn)，由重心的概念知其為各邊的中點(diǎn)，則的面積的面積，的面積的面積，所以，同理可證明．所以面積：面積：面積：：．故選：D7．如圖，在平行四邊形中，，，，以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫弧交于點(diǎn)，連接，則陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】過點(diǎn)作，求出，再結(jié)合扇形面積公式，即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)作，如圖所示：，則，,則梯形AECD的面積，扇形ADE的面積所以陰影部分面積為．故選：B．8．在某種濃度的鹽水中加入“一杯水”后，得到新的鹽水，它的濃度為，又在新鹽水中加入與前述“一杯水”的重量相等的純鹽后，鹽的濃度變?yōu)椋敲丛瓉睇}水的濃度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)溶液濃度溶質(zhì)，可得到兩個(gè)方程，解方程組即可．【詳解】解：設(shè)原鹽水溶液為克，其中含純鹽克，后加入“一杯水”為克，依題意得：，解得，故原鹽水的濃度為，故選：B．9．一條拋物線的頂點(diǎn)為，且與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為一正一負(fù)，則、、中為正數(shù)的（

）A．只有 B．只有 C．只有 D．只有和【答案】A【分析】根據(jù)有兩根和頂點(diǎn)坐標(biāo)的符號(hào)確定，的符號(hào)，再根據(jù)韋達(dá)定理確定的符號(hào)．【詳解】解：因?yàn)榕c軸有兩個(gè)交點(diǎn)所以時(shí)，，即，設(shè)兩根為，因?yàn)轫旤c(diǎn)為，所以，所以，．又因?yàn)榕c軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為一正一負(fù)，所以，因?yàn)椋裕蔬x：A10．反比例函數(shù)與一次函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象只能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用反比例函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)分類討論，判斷符合的選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，，反比例函數(shù)在上應(yīng)有，且單調(diào)遞減，而一次函數(shù)的斜率大于，故此時(shí)，A、B、C、D都不可能．當(dāng)時(shí)，，反比例函數(shù)在上應(yīng)有，且單調(diào)遞增，而一次函數(shù)的斜率滿足，故只有B成立．當(dāng)時(shí)，，反比例函數(shù)在上應(yīng)有，且單調(diào)遞增，而一次函數(shù)的斜率滿足，故此時(shí)，A、B、C、D都不可能，故選：B．11．如圖，用若干根相同的小木棒拼成圖形，拼第個(gè)圖形需要根小木棒，拼第個(gè)圖形需要根小木棒，拼第個(gè)圖形需要根小木棒若按照這樣的方法拼成的第個(gè)圖形需要根小木棒，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】拼第個(gè)圖形需要根小木棒，拼第個(gè)圖形需要根小木棒，拼第個(gè)圖形需要根小木棒，從而拼第個(gè)圖形需要根小木棒，由此能求出．【詳解】解：拼第個(gè)圖形需要根小木棒，拼第個(gè)圖形需要根小木棒，拼第個(gè)圖形需要根小木棒，則拼第個(gè)圖形需要根小木棒，解得．故選：B．12．如圖所示，已知三角形為直角三角形，為圓切線，為切點(diǎn)，，則和面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接OC,過點(diǎn)B作于M.利用幾何關(guān)系證明出，得到，即可求解.【詳解】如圖,連接OC,過點(diǎn)B作于M.∵BC是⊙O的切線,OC為半徑,∴,即.∵DE是⊙O的直徑,.又∵，∴.∵∴∴∴.故選：B.二、填空題13．已知實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩根分別為，且，則實(shí)數(shù)m的值為.【答案】【分析】利用韋達(dá)定理求出，再根據(jù)即可得解.【詳解】由題意可得，解得或，，則，解得.故答案為：.14．對(duì)于實(shí)數(shù)，，定義符號(hào)，其意義為：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，例如：，若關(guān)于的函數(shù)，則該函數(shù)的最大值為．【答案】【分析】根據(jù)符號(hào)的意義，結(jié)合函數(shù)圖像求解即可．【詳解】在平面直角坐標(biāo)系中畫出和的圖像，根據(jù)符號(hào)的意義可知，截取交點(diǎn)及其下方的圖像，得到函數(shù)的圖像：聯(lián)立方程，解得．所以函數(shù)最大值為.故答案為：．15．火車勻速通過長(zhǎng)米的鐵橋用了秒，如果它的速度加快倍，通過米長(zhǎng)的鐵橋就只用了秒，求這列火車的長(zhǎng)度為．【答案】米【分析】根據(jù)速度、時(shí)間、路程之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】解：火車以原來的速度通過米長(zhǎng)的鐵橋，要用秒，火車原來的速度為米秒，火車的長(zhǎng)度為米．故答案為：米．16．如圖，是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)E為高BD上的動(dòng)點(diǎn).連接CE，將CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CF.連接AF，EF，DF，則周長(zhǎng)的最小值是.【答案】/【分析】由已知條件可得，則得，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，設(shè)交于點(diǎn)，則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，再結(jié)合已知條件可求出周長(zhǎng)的最小值【詳解】點(diǎn)為高上的動(dòng)點(diǎn).將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，且是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，，，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，設(shè)交于點(diǎn)，則，在Rt中，，則，則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，即，，，在中，，周長(zhǎng)的最小值為.故答案為：.三、解答題17．計(jì)算：(1)；(2)解方程：．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)零次冪的性質(zhì)、算術(shù)平方根的意義、特殊角的余弦值、負(fù)整數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)分類討論進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，，解得，故，當(dāng)時(shí)，，解得，故，綜上所述，原方程的解為或．18．某學(xué)校為了豐富學(xué)生課余生活，開展了“第二課堂”的活動(dòng)，推出了以下四種選修課程：繪畫；唱歌；演講；十字銹學(xué)校規(guī)定：每個(gè)學(xué)生都必須報(bào)名且只能選擇其中的一個(gè)課程學(xué)校隨機(jī)抽查了部分學(xué)生，對(duì)他們選擇的課程情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖中的信息，解決下列問題：(1)這次學(xué)校抽查的學(xué)生人數(shù)是_____；(2)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；(3)求扇形統(tǒng)計(jì)圖中，課程部分的圓心角的度數(shù)；(4)如果該校共有名學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)該校報(bào)的學(xué)生約有多少人？【答案】(1)人(2)圖見解析(3)(4)人【分析】由條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的概念與頻率公式求解．【詳解】（1）人，這次學(xué)校抽查的學(xué)生人數(shù)是人；（2）樣本中選擇課程的人數(shù)為：人，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：（3），即課程部分的圓心角的度數(shù)為；（4）人，即該校名學(xué)生中報(bào)的大約有人．19．通過實(shí)驗(yàn)研究，專家們發(fā)現(xiàn)：初中學(xué)生聽課的注意力指標(biāo)數(shù)是隨著老師講課時(shí)間的變化而變化的，講課開始時(shí)，學(xué)生的興趣激增，中間有一段時(shí)間，學(xué)生的興趣保持平穩(wěn)的狀態(tài)，隨后開始分散學(xué)生注意力指標(biāo)數(shù)隨時(shí)間分鐘變化的函數(shù)圖象如圖所示越大表示學(xué)生注意力越集中當(dāng)時(shí)，圖象是拋物線的一部分，當(dāng)和時(shí)，圖象是線段．(1)當(dāng)時(shí)，求注意力指標(biāo)數(shù)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式；(2)一道數(shù)學(xué)競(jìng)賽題需要講解分鐘，問老師能否經(jīng)過適當(dāng)安排，使學(xué)生在聽這道題時(shí)，注意力的指標(biāo)數(shù)都不低于．【答案】(1)，；(2)可以.【分析】（1）設(shè)出二次函數(shù)的解析式，利用待定系數(shù)法求出注意力指標(biāo)數(shù)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式.（2）根據(jù)（1）中的函數(shù)解析式，求出學(xué)生在聽這道題時(shí)，注意力的指標(biāo)數(shù)都不低于的值，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為，而其圖象經(jīng)過點(diǎn)，，，因此，解得，，；所以注意力指標(biāo)數(shù)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式為，（2）觀察圖象知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，設(shè)，顯然函數(shù)圖象過點(diǎn)，即有，解得，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，令，得，解得，當(dāng)時(shí)，令，得，解得，顯然有，所以老師可以經(jīng)過適當(dāng)?shù)陌才?，在學(xué)生注意力指標(biāo)數(shù)不低于時(shí)，講授完這道競(jìng)賽題.20．閱讀材料，完成相應(yīng)任務(wù)：“賈憲三角”又稱“楊輝三角”，在歐洲則稱為“帕斯卡三角”如圖所示，它揭示了為非負(fù)數(shù)展開式的各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律．根據(jù)上述規(guī)律，完成下列問題：(1)直接寫出_____．(2)的展開式中項(xiàng)的系數(shù)是_____．(3)利用上述規(guī)律求的值，寫出過程．【答案】(1)(2)8(3)答案見解析【分析】（1）由楊輝三角規(guī)律求解，（2）由二項(xiàng)式定理求解，（3）轉(zhuǎn)化為展開后求解．【詳解】（1）由楊輝三角圖可得（2）由楊輝三角的性質(zhì)可得的展開式二項(xiàng)式系數(shù)可知展開式中項(xiàng)的系數(shù)為；（3）21．如圖，內(nèi)接于，為的直徑，與相交于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與過點(diǎn)的直線相交于點(diǎn)，且．(1)求證：是的切線；(2)已知，且與，分別相交于點(diǎn)，，若，，，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）欲證明是的切線，只需證明．（2）由∽，得，根據(jù)條件即可求出，再由∽，得，根據(jù)條件即可求出，，，，再通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)，進(jìn)而可以證明，求出即可得出答案．【詳解】（1）連接，如圖所示：是直徑，，即，，，，，是的切線．（2），，

，，∽，，即，又，，，，∽，，，，在中，，，在中，，，，即，，，，，，∽，，即，．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用相似三角形的判定定理和性質(zhì).22．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸相交于點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，與軸相交于點(diǎn)，連接．(1)求點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖，點(diǎn)在線段上點(diǎn)不與點(diǎn)重合，點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，，連接，，，設(shè)的面積為，的面積為，，當(dāng)取最大值時(shí)，求的值；(3)如圖，拋物線的頂點(diǎn)為，連接，，點(diǎn)在第一象限的拋物線上，與相交于點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)，(2)1(3)存在，【分析】（1）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，即可求出點(diǎn)，的坐標(biāo)；（2）由點(diǎn)，，的坐標(biāo)可得出，，的長(zhǎng)度，由點(diǎn)的坐標(biāo)及，可得出，，的長(zhǎng)，利用三角形的面積計(jì)算公式，即可找出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可找出當(dāng)取最大值時(shí)的值；（3）存在，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)