一類冪函數(shù)的均值公式

1spn的解析確定指定的自然數(shù)n、smaradach功率sp（n）定義為。當(dāng)n取遍自然數(shù)時(shí),由SP(n)便得到了如下的一個(gè)數(shù)列:1,2,3,2,5,6,7,4,3,10,11,6,13,14,15,4,17,6,19,10,....在文中,Smarandache教授讓我們研究數(shù)列{SP(n)}的性質(zhì),從SP(n)的定義很容易得到:如果n是一個(gè)素?cái)?shù)的方冪即n=pα,則有如果,且對所有的αi(i=1,2,...,r),都有≤pi那么SP(n)=U(n),其中U(n)=∏p|np.令A(yù)表示所有具有這個(gè)性質(zhì)的n的集合,則SP(n)在集合A上具有可乘性,即對任意的n1,n2∈A.如果(n1,n2)=1,則SP(n1n2=SP(n1)SP(n2).然而SP(n)卻不是可乘函數(shù),比如SP(8)=4,SP(3)=3,而SP(24)=6≠SP(3)×SP(8),因此對SP(n)的均值性質(zhì)研究就顯得十分困難.但是對于大部分的n,SP(n)的值等于函數(shù)U(n)的值,所以在SP(n)的許多均值問題研究中,我們可以用可乘函數(shù)U(n)代替非可乘函數(shù)SP(n).本文利用解析方法證明了這一點(diǎn),并獲得了SP(n)的幾個(gè)有趣的漸近公式,即證明了:定理1對任意的實(shí)數(shù)x≥1,有漸近公式其中∏p表示對所有的素?cái)?shù)求積,ε為任意給定的正數(shù).定理2對任意的實(shí)數(shù)x≥1,有漸近公式其中Φ(n)為歐拉函數(shù).定理3對任意的實(shí)數(shù)x≥1,有漸近公式其中d(n)表示Dirichlet除數(shù)函數(shù),ζ(s)表示Riemann-zeta函數(shù),γ為歐拉常數(shù)2p/p型為了完成定理的證明,我們需要如下的幾個(gè)引理引理1對任意的實(shí)數(shù)x≥1,有漸近公式證明令從U(n)的定義知U(n)是一個(gè)可乘函數(shù),那么由Eurler積公式,可得因?yàn)?其中σ>2為s的實(shí)部,則由Perron公式,有其中N為離x最近的整數(shù),當(dāng)x為半奇數(shù)時(shí)取N=x-1/2,||x||=|x-N|.在上式中取a(n)=U(n),s0=0,b=3,T=x3/2,H(x)=x,B(σ)=ζ(σ-1),則有其中現(xiàn)在來估計(jì)將積分線從3±iT移到±iT.此時(shí)函數(shù)處有一個(gè)一階極點(diǎn),留數(shù)為,即取,容易估計(jì)和由于,所以這樣便證明了引理1.引理2對任意的實(shí)數(shù)x≥1,有估計(jì)式證明因?yàn)棣?gt;p,所以pp<pα≤x,那么又因?yàn)閜α≤x,則結(jié)合(1)和(2),我們有注意到,其中π(x)表示小于或等于x的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù),可以得到∑p<1nxp<<∑p<lnxlnx<<ln2x.結(jié)合(3)式,便有這樣便證明了引理2.引理3對任意的實(shí)數(shù)x≥1,有估計(jì)式證明設(shè)則U(n)=p1p2…pr,且U(n)|SP(n)因?yàn)镾P(n)>U(n),所以至少存在一個(gè)素?cái)?shù)pi(1≤i≤r),它的次數(shù)αi滿足αi>p1p2…pr.令α=max{αi,i=1,2,...,r},p表示α所對應(yīng)的最大的素?cái)?shù),那么根據(jù)SP(n)的定義,易知由(4)式,便有從引理2知這樣便證明了引理3.3un這節(jié)完成定理的證明.首先證明定理1.注意到SP(n)≥U(n),我們有此時(shí)由引理3,便