2021年四川省天府名校高考數(shù)學(xué)診斷性試卷（文科）（5月份）

一、選擇題（共12小題）.

1.已知集合4={可（x-3）（x+2）<0},B={x\x-2>0},則AG8=（）

L[x\-3<x<-2]B?{x|x>3}C.{x\x<-4}D.{R|2Vx〈3}

1,、

2.以，為虛數(shù)單位，則..、2一()

（1-1)

1

A.--i--BirD.—

221-i2l-2i

2

3.已知sin（a-兀）哈則cos2a的值等于（)

D

A

-iB.c.16D.3

252525

4.閱讀下面的程序，則程序表示的函數(shù)為（）

(NPUTx、

IFx<0THEN

y--x-1

ELSE

IFxRTHEN

y=0

ELSE

ENDIFy=x+l

ENDIF

PRlNl'y

\^ENDy

-x+1(x<0)

A.y=<0(x=0)

x-l(x>0)

xT(x<0)

B.y=<0(x=0)

-x+1(x>0)

x+l(x<0)

C.y二0(x=0)

-x+1(x>0)

-x+1(x<0)

D.y二0(X=0)

x+l(x>0)

5.已知直線x+ay-a=O和圓N+V-x=O的交點為A,8,且=則實數(shù)a的值為()

A.2B.1C.—D.-1

2

JTJT

6.已知函數(shù)f(x)=4sin(x若)的圖象為C,為了得到函數(shù)g(x)=4sin(2x哈)的圖象,

只要把C上所有點()

A.橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變

B.縱坐標(biāo)縮短到原來的?倍，橫坐標(biāo)不變

C.縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，橫坐標(biāo)不變

D.橫坐標(biāo)縮短到原來的■倍，縱坐標(biāo)不變

7.己知函數(shù)f(x)==(x€[2,6]),則()

A./(%)是單調(diào)遞增函數(shù)

B./(%)是奇函數(shù)

C.函數(shù)/(x)的最大值為/(2)

D.,/(3)</(4)</(5)

8.與雙曲線/-4y2=4有共同的漸近線，且經(jīng)過點(2,旄)的雙曲線方程為()

22

A.一上口

416

ax+by=3

9.擲骰子兩次，設(shè)。和。分別是第一次和第二次出現(xiàn)的點數(shù)，且滿足方程組《

x+2y=2

則X,y均為正值的概率為()

A.—B.—C.13

363636

10.函數(shù)f(x)=Toga(x-b)(a>0且aWl)及g(x)—bx+a,則y—f(x)及y—g

(x)的圖象可能為()

c.D.

11.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若c(acosB-bcosA)=16,a+b

=8,ZC=60°,則c的值等于（）

A.V19B.3&C.行D.4

12.一塊邊長為10的正方形鐵片如圖所示的陰影部分截下，然后用余下的四個全等的等腰

三角形加工成一個正四棱錐形容器，則這個正四棱錐的外接球的表面積為（）

A,螫兀B,塑兀C,理兀D,塑兀

4164864

二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）

13.設(shè)向量［=（〃，1）,E=「4,-2）,且則實數(shù)〃的值是.

14.某地區(qū)有高中學(xué)生2400人，初中學(xué)生10900人，小學(xué)生11000人，此地教育局為了了

解本地區(qū)中小學(xué)生的近視情況及其形成原因，要從本地區(qū)抽取1%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則按

分層抽樣的方法抽取高中學(xué)生，初中學(xué)生和小學(xué)生的人數(shù)分別

是_______

x-y+3》0

15.若x,y滿足不等式組，x+y-3<0）則3x+y的最大值為

,y>T

]1

16.已知AB,CD是過拋物線y2=8x,焦點F且互相垂直的兩弦，則+

|AF|?|BF||CF|'|DF|

的值為___________________

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題,

每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

17.已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,”且S“=2%+1.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式。"；

(2)若￡=-127,求〃.

18.成都市為促進(jìn)生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三

類，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱.為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機抽取了成

都市三類垃圾箱中總計1000噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如表所示（單位：噸）：

“廚余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱

廚余垃圾5005050

可回收物3024030

其他垃圾202060

（I）試估計廚余垃圾投放正確的概率：

（2）試估計生活垃圾投放錯誤的概率；

（3）假設(shè)廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別

為a,b,c,其中a>0,a+b+c=450.當(dāng)數(shù)據(jù)a,b,c的方差s?最大時，寫出a,b,c

的值（結(jié)論不要求證明），并求此時52的值.

2

注：S=^［（Xi-X）2+（X2-X）2+...+（X-X）>其中X為數(shù)據(jù)XI,…，Xn

n1'n

的平均數(shù).

19.如圖，在三棱錐P-ABC中，ZiABC為直角三角形，NACB=90。，△PAC是邊長為4

的等邊三角形，BC=2A/3>AC,A8的中點分別是。，E,NPDE=60；

（1）請你判斷平面尸A8垂直于平面ABC嗎？若垂直，請證明；若不垂直，請說明理由；

（2）求三棱錐P-ABC的體積.

20.已知函數(shù)/（x）=xe'+e'.

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）畫出函數(shù)f（x）的大致圖象，并說明理由;

(3)求函數(shù)g(x)—f(x)-a(czGR)的零點的個數(shù).

21.己知中心在原點，焦點為B(-2,0),F2(2,0)的橢圓經(jīng)過點塔，-1-).

(1)求橢圓方程；

IMF,||MF2|

(2)若M是橢圓上任意一點，例Q交橢圓于點A,交橢圓于點B,求-二■和+-.-Y

|F1A||F2B|

的值.

(-)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第

一題計分.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，點。為坐標(biāo)原點，直線/的直角坐標(biāo)方程為丫岑乂，與，直線

/與X軸交于點M,拋物線C的參數(shù)方程為，x=2pt(p>0,，為參數(shù)).

y=2pt

(1)以點。為極點，以X軸正半軸為極軸，求直線/的極坐標(biāo)方程及點M的極坐標(biāo)；

(2)設(shè)直線/與拋物線C相交于E,F兩點，若歸/平一|MFHME|=0,求拋物線C的準(zhǔn)

線方程.

［選修4-5：不等式選講］

23.已知函數(shù)/(x)=|2x-3|,h(x)=/(x+l)+f(x+4).

(1)若不等式。(x)?Im-1|對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)，〃的取值范圍；

(2)若不等式⑷%(x)W|5a+b|+|5a-(aWO,a,Z>ER)恒成立,求實數(shù)x的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.已知集合4={x|(x-3)(x+2)<0},B={x|x-2>0},則408=()

A.{x|-3<x<-2}B.{小>3}C.{x\x<-4}D.U|2<x<3}

解：?集合A={x|(x-3)(x+2)<0}={x|-2<x<3},

B={x\x-2>0}={x|x>2},

：.AQB=[x\2<x<3},

故選：D.

2.設(shè)i為虛數(shù)單位，則丁()

(1-i)2

D.1

1721

解：上

(1-i)2-2i-2i-i2

故選：B.

3.已知sin(a-兀)舊，則cos2a的值等于()

5

771

A.----B.-----C?一D.16

2525225

解：因為sin(a-Jl)

5

2

所以sina=——,

5

q7

則cos2a=l-2sin2a=1-2X---=——.

2525

故選:A.

4.閱讀下面的程序，則程序表示的函數(shù)為()

，NPUTx

IFx<0THEN

y--x-1

ELSE

IFx-0THEN

y=0

ELSE

ENDII)=x+l

ENDIF

PRINTy

IEND

-x+1(x<0)

A.y=<0(X=0)

x-l(x>0)

xT(x<0)

B.y=0(x=0)

-x+1(x>0)

x+l(x<0)

C.y二0(X=0)

-x+1(x>0)

-x+1(x<0)

D.y=*0(x=0)

x+l(x>0)

解：根據(jù)題目中的程序語言知，該程序運行后輸出的是分段函數(shù)：

-x+1,x<0

y=?0,x=0,

x+1,x>0

故選：D.

5.已知直線x+ay-。=0和圓f+y2-x=O的交點為A,B,且|A8|=1,則實數(shù)a的值為()

A.2B.1C.—D.-1

2

解:由圓/+y7=0,得(x*2+y2],

則圓心坐標(biāo)為(*,0),半徑/?=，■.

|A_I

圓心到直線x+ay-〃=0的距離d=2

l+a2

1(2解得

則3B|=2,

T-----0--12

4l+a2

故選：c.

1T

6.已知函數(shù)f(x)=4sin(x't*_^_)的圖象為C,為了得到函數(shù)g(x)=4sin(2x+：)的圖象,

5

只要把C上所有點()

A.橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變

B.縱坐標(biāo)縮短到原來的?倍，橫坐標(biāo)不變

C.縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，橫坐標(biāo)不變

D.橫坐標(biāo)縮短到原來的?倍，縱坐標(biāo)不變

JT1T

解：...函數(shù)f(x)Rsinlx—^-)的圖象為C,為了得到函數(shù)g(x)=4sin(2x-丁)的圖

象，

只要把C上所有點橫坐標(biāo)縮短到原來的a倍，縱坐標(biāo)不變，即可，

故選：D.

7.已知函數(shù)f(x)=3(x€［2,6］),則()

x-1

A.f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)

B.f(x)是奇函數(shù)

C.函數(shù)f(x)的最大值為7(2)

D.f⑶</(4)</(5)

解：根據(jù)題意，f(x)=一<(xC［2,6］),在區(qū)間［2,6］±,f(x)為減函數(shù)，

x-1

據(jù)此分析選項：

對于A,/(%)在區(qū)間［2,6］上為減函數(shù)，A錯誤；

對于8,/(%)的定義域為［2,6］,不是奇函數(shù)，3錯誤；

對于C,f(x)在區(qū)間［2,6］上為減函數(shù)，則f(x)的最大值為/(2),C正確；

對于。，/(%)在區(qū)間［2,6］上為減函數(shù)，則/(3)>/(4)>/(5),。錯誤；

故選：C.

8.與雙曲線X2-4)2=4有共同的漸近線，且經(jīng)過點(2,泥)的雙曲線方程為()

22

A.<

416

解：設(shè)與雙曲線爐-4)2=4有共同的漸近線的雙曲線的方程為r-4爐=入,

?.?該雙曲線經(jīng)過點(2,娓)，

...入=4-4X5=-16.

22

.??所求的雙曲線方程為：x2-4/=-16,即匚-==1

416

故選：B.

9.擲骰子兩次，設(shè)。和〃分別是第一次和第二次出現(xiàn)的點數(shù)，且滿足方程組(ax+by=3,

x+2y=2

則x,y均為正值的概率為()

A.—B.—C.—D.—

36363636

解：擲骰子兩次，設(shè)。和6分別是第一次和第二次出現(xiàn)的點數(shù)，

滿足方程組用+所3,-y均為正值，

Ix+2y=2

，兩直線的交點在第一象限，

但<1倍>1

b或F,

—>2—<2

aa

解得(a,b)的可能取值為：

(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),

(4,2),(5,I),(5,2),(6,1),(6,2),共13個，

基本事件(a,b)總數(shù)為：6X6=36,

.”，y均為正值的概率為尸=41.

故選：C.

10.函數(shù)f(x)=-logfl(x-b)(〃>0且aW1)及g(x)=hx+af則y=f(x)及y=g

(x)的圖象可能為()

解：在一(X)中，a>0且

4。圖象中對數(shù)函數(shù)過(1,0)點，則6=0,此時直線g(x)=a,直線圖象不滿足條件.

8圖中，/(x)為增函數(shù)，則直線過(0,0),貝即b=-l,此時直

線縱截距不滿足條件.

C圖中，/(x)為減函數(shù)，則a>l,直線過(0,0),則-8=1,即b=-l,此時直線

縱截距滿足條件.

故選：C.

11.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,h,c,若c(“cosB-6cosA)=16,a+b

=8,ZC=60°,則c的值等于()

A.V19B.3&C,^17D.4

解：因為。(acosB-AosA)=16,

222222

由余弦定理可得c(a?a+c-b-加b+c-a)=16；整理可得序-分=(a+h)

2ac2bc

(。-b)=16,

又因為a+6=8,

所以〃-Z?=2,解得。=5,b=3,

又NC=60°,

所以由余弦定理可得C=J52+32.2X5x

故選：A.

12.一塊邊長為10的正方形鐵片如圖所示的陰影部分截下，然后用余下的四個全等的等腰

三角形加工成一個正四棱錐形容器，則這個正四棱錐的外接球的表面積為()

E

A.2%兀B.281KC.%兀D.281K

4164864

解：由題意可知，正四棱錐的底面邊長為6,斜高E/=5,

則高0E=4,

則正四棱錐的外接球的球心在高0E（或其延長線）上，

設(shè)正四棱錐的外接球的半徑為R,

在RtZkOGA中，0G=R-4,GA=R,。4=3&,

則（R-4）2+（M）2=R2,解得尺=今?

則這個正四棱錐的外接球的表面積為4兀R2=4兀X弓）2=2魯兀.

故選：A.

二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）

13.設(shè)向量；=（n,I）,芯=（-4,-2）,且！〃芯，則實數(shù)”的值是2.

解：根據(jù)題意，向量之=（〃，1）,芯=（-%-2）,

若；〃則-2n=-4,解可得〃=2,

故答案為：2.

14.某地區(qū)有高中學(xué)生2400人，初中學(xué)生10900人，小學(xué)生11000人，此地教育局為了了

解本地區(qū)中小學(xué)生的近視情況及其形成原因，要從本地區(qū)抽取1%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則按

分層抽樣的方法抽取高中學(xué)生，初中學(xué)生和小學(xué)生的人數(shù)分別是24,109,

110

解：按分層抽樣方法，抽取高中學(xué)生為2400Xl%=24（人），

初中學(xué)生為10900X1%=109（人），

小學(xué)生為11000X1%=110（人）.

故答案為：24,109,110.

'x-y+3〉0

15.若x,y滿足不等式組<x+y-340,則3x+y的最大值為11

y>-l

解：由約束條件作出可行域如圖,

由圖可知，當(dāng)直線y=-3x+z過A時，直線在y軸上的截距最大,

z有最大值為3X4-1=11.

故答案為：11.

]1

16.已知4B,CD是過拋物線V=8x,焦點F且互相垂直的兩弦，則

|AF|?|BF|TCFHDFI

的值為

解：拋物線V=8x的焦點尸（2,0）,

由題意可知，直線A8,C。的斜率存在且不為0,

設(shè)直線AB的斜率為相，則直線AB的方程是（x-2）,

設(shè)A（即，yi）,B。2,丁2）,

'2_

2

聯(lián)立方程,V-*X,消去y得：-4（加+2）x+4m=0f

y=m（x-2）

.4(m2+2)

??X]+X2=-----2---，5X2=4，

m

HF|2=(X[-2)2+y]2=(l+/)(X「2)2,同理|8砰=(x2.)2+y22=

(l+m2)(x2-2)，

用=|(1+/)5-2)5-2)|=16()+1).,

m

;直線co的斜率為-2，

m

A|CF|*|DF|=16(機2+i),

.]1m211

-2

?*lAFl-lBFl*ICFl-lDF|16(m2+1)\6(m+i)

故答案為：上.

16

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，

每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

17.已知數(shù)列｛為｝的前〃項和為S”，且S,=2斯+1.

(1)求數(shù)列｛a“｝的通項公式如；

(2)若S,尸-127,求".

解：(1)當(dāng)〃=1時，3=-1；

當(dāng)”22時，an=Sn-Sn.\=(2an+1)-(2a?.(+1)=2arl-2an-1

于是｛%｝是首項為-1,公比為2的等比數(shù)列，

所以an—-2"-1.

(2)c)=-2(1-2")=_2"+i,

nl-q1-2

由S“=-127,得-2"+l=-127,

解得n—1.

18.成都市為促進(jìn)生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三

類，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱.為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機抽取了成

都市三類垃圾箱中總計1000噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如表所示(單位：噸)：

“廚余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱

廚余垃圾5005050

可回收物3024030

其他垃圾202060

(1)試估計廚余垃圾投放正確的概率：

(2)試估計生活垃圾投放錯誤的概率；

(3)假設(shè)廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別

為a,b,c,其中。>0,a+b+c=450.當(dāng)數(shù)據(jù)a,b,c的方差s?最大時，寫出a,h,c

的值(結(jié)論不要求證明)，并求此時$2的值.

注：s?八[(x「x)2+(x2-x)2+…+(x-x)2])其中x為數(shù)據(jù)a，X2,???,xn

的平均數(shù).

解：(1)由題意知，廚余垃圾有500+50+50=600(噸)，投放到“廚余垃圾”箱500

噸，

所以廚余垃圾投放正確的概率為黑=?；

6006

(2)由題意知，生活垃圾投放錯誤有50+50+30+30+20+20=200,

所以生活垃圾投放錯誤的概率為以紗=《；

10005

(3)由題意知，a+b+c=450,所以a,b,c的平均數(shù)為150,

計算,產(chǎn)=工義[(a-150)2+(.h-150)2+(c-150)2]=—X(?2+/>2+<?-67500),

33

因為(a+b+c)2=cr+^cr+lah+lhc+lac>cfi+h^c2,因此當(dāng)々=450,b=0,c=0時，，/

取得最大值為45000.

所以當(dāng)a,b,c的方差$2最大時，。=450,b=c=0f此時$2=45000.

19.如圖，在三棱錐尸-A8C中，△ABC為直角三角形，ZACB=90°,△PAC是邊長為4

的等邊三角形，BC=2j§，AC,AB的中點分別是。，E,NPDE=60°.

(1)請你判斷平面PAB垂直于平面ABC嗎？若垂直，請證明；若不垂直，請說明理由;

(2)求三棱錐P-A8C的體積.

p

B

解：(1)平面PAB_L平面ABC.理由如下：

因為AC,A8的中點分別是。，E,則￡>E〃8c

因為乙4cB=90°,8c=2?,

所以O(shè)EL4C,DE=M.

因為△P4C是邊長為4的等邊三角形，所以叨LAC,叩=2?.

因為NPOE=60°,

在△「￡>￡中，由余弦定理，得PE=dpD2+DE；2-2PD?DE?cosNPDE=3,

所以尸￡>2=p￡2+E￡)2,所以PEJ_EZX

因為ED_LAC,PD±AC,EDC\PD=D,所以AC_L平面PEO,

所以AC_LPE.又ACCED=D,

所以尸￡_1_平面ABC.

又因為PEu平面PAB,

所以平面P4B_L平面ABC.

(2)由(1)知PEL平面ABC,

所以PE是三棱錐P-ABC的高.

又因為△ABC為直角三角形，ZACB=90°,8c=2?,且AC=4,

所以SAA8C=/AU8C=￡X4X2?=4F，

所以三棱錐P-ABC的體積丫=已加尸《=梟4?X3=4?.

20.已知函數(shù)/(x)=xe'+ex.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)畫出函數(shù)f(x)的大致圖象，并說明理由；

(3)求函數(shù)g(x)=f(x)-a(?GR)的零點的個數(shù).

解：(1)函數(shù)f(x)=xe，+F,定義域為R,則/(x)=(x+2)

令/(x)=0,解得x=-2,

當(dāng)x<-2時，f(x)<0,則/(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>-2時，/(x)>0,則/'(x)單調(diào)

遞增，

故當(dāng)x=-2時，函數(shù)/(x)有極小值/(-2)=-y,

e

所以/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-2,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,-2),有極小值

一,無極大值；

e

(2)令/(x)=0,解得x=-1,當(dāng)x<-1時，/(x)<0,當(dāng)x>-1時，/(x)>0,

所以/(x)的圖象經(jīng)過特殊點AQ2,—y),B(-1,0),C(0,1),

e

當(dāng)Xf-8時，與一次函數(shù)相比，指數(shù)函數(shù)y="呈爆炸式增長，增長速度更快，

結(jié)合(1)中的單調(diào)性與極值情況，作出函數(shù)/(x)的圖象如圖所示：

(3)函數(shù)g(x)=f(x)-a(a€R)的零點的個數(shù)為函數(shù)y=/(x)的圖象與直線y=a

的交點個數(shù)，

由(1)以及(2)的圖象可知，當(dāng)x=-2時，/(%)有極小值f(-2)=4，

e

結(jié)合函數(shù)/(X)的圖象，所以關(guān)于函數(shù)g(x)=f(X)-〃的零點的個數(shù)如下：

當(dāng)■時，零點的個數(shù)為。個；

e

當(dāng)〃=一■或。20時，零點的個數(shù)為1個；

e

當(dāng)—?<〃<()時，零點的個數(shù)為2個.

e

?

/

(

/

-2-Lz

〃1r

(‘、)I

21.已知中心在原點，焦點為Fi(-2,0),Fi(2,0)的桶圓經(jīng)過點(搟，得).

(1)求橢圓方程；

iMFi||MF2|

(2)若M是橢圓上任意一點,MQ交橢圓于點A,MF交橢圓于點B,求丁一「

2+14r

的值.

解：(1)VFi(-2,0)，尺(2,0),橢圓經(jīng)過點(,，

；.2a=1(y+2)2+(-|-)2-2)2+(-1-0)2=

則又c=2，.\b2=a2-c,2=10-4=6.

22

故橢圓方程為：三--=了

106

(2)由題意設(shè)AM：x=m\y-2,BM：x=m2y+2,

再設(shè)M(xo,yo),A(xi,y\),B(X2,yz),

_

x=m1y2

聯(lián)立v2v2，得(3叫2+5)y2_12my-18=0.

xIy=1

106

-18?3ni]2+5

；加1丁G得工?

om?y

-18131n22+5

同理了也丁五7,得三

-18*y0'

3m2+5y2

不妨設(shè)M在x軸上方，則v〈O,>2VO,

.|叫|y01鞏1y。

?,iFiAl--y；|F2B|--y2

|MF1IIMF2]

22+

(3m1+3m210),

e.x0+2

乂?IRl—，IH9一

1Vo2y。

23(x+2)23(x-2)2

.|MF1I|MF2|00

+=-+10]

iFjAl|F2B|782■12

y

y0o

^(6x210y224)=