基于minimax算法的星載賦形反射面波束形狀優(yōu)化設(shè)計(jì)

0天線的賦形反射面天線600kmkg是一條廣泛的遙感衛(wèi)星軌道。當(dāng)衛(wèi)星通過這些軌道運(yùn)行時(shí)，通常保持三軸的穩(wěn)定姿態(tài)。為了使地面覆蓋區(qū)域內(nèi)接收信號(hào)電平不隨衛(wèi)星位置的變化而發(fā)生變動(dòng),星上數(shù)傳天線的輻射方向圖應(yīng)能彌補(bǔ)星地間傳輸路徑的空衰變化,稱這種波束為地球匹配波束。我國數(shù)傳天線的研制開始于上世紀(jì)80年代,最初由于受到衛(wèi)星對(duì)地觀察空間以及技術(shù)條件的限制,采用結(jié)構(gòu)緊湊的背射雙線螺旋天線或波導(dǎo)十字縫陣組合天線來實(shí)現(xiàn)波束賦形。雖然也達(dá)到了當(dāng)時(shí)國際上賦形反射面天線類同的性能,但是功率耐受和最大指向圓錐面輻射對(duì)稱性問題分別限制了這兩種天線的應(yīng)用。為了滿足航天任務(wù)的需要,十分有必要研制性能更為優(yōu)良的賦形反射面數(shù)傳天線。但是目前國內(nèi)賦形反射面數(shù)傳天線的性能較之國外有不小的差距,因?yàn)樵O(shè)計(jì)過程中,國外通?；谖锢砉鈱W(xué)原理,通過對(duì)天線遠(yuǎn)場站點(diǎn)的性能進(jìn)行評(píng)估,不斷調(diào)整反射面形狀從而保證天線波束滿足設(shè)計(jì)要求。而國內(nèi)大都基于幾何光學(xué)原理,利用饋源入射能量和反射面反射能量相等來確定中截線的形狀。在這個(gè)過程中由于沒有對(duì)遠(yuǎn)場性能進(jìn)行評(píng)估,所以實(shí)際得到的天線波束與預(yù)期的設(shè)計(jì)目標(biāo)存在偏差?；趲缀喂鈱W(xué)原理進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)首先要確定其端值條件,端值條件分為兩種:一種是反射面中心的輻射指向天線零度角方向,反射面邊緣的輻射指向天線最大覆蓋角方向,這種端值條件被稱為第一端值條件;第二端值條件則是反射面中心的輻射指向天線最大覆蓋角方向,反射面邊緣的輻射指向天線零度角方向。如果采用第一種端值條件,由于饋源的遮擋會(huì)在近軸角域形成低于規(guī)定最低電平的凹區(qū);采用第二種端值條件雖然可以消除饋源的遮擋,但是在近軸中心區(qū)內(nèi)有大的干涉波紋,也會(huì)出現(xiàn)低于最低電平線的小角域。針對(duì)這些問題,本文采用物理光學(xué)與Minimax(極小極大值)相結(jié)合的方法對(duì)基于幾何光學(xué)法的設(shè)計(jì)結(jié)果進(jìn)一步進(jìn)行優(yōu)化,從而保證覆蓋角域內(nèi)的增益都滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)要求。1同型饋源設(shè)計(jì)為了獲得對(duì)地面的圓對(duì)稱覆蓋,賦形反射面數(shù)傳天線應(yīng)選用對(duì)稱結(jié)構(gòu),反射面中截線的形狀示意圖如圖1所示。最初在數(shù)傳賦形反射面設(shè)計(jì)中采用端值條件1,入射角和發(fā)射角間的關(guān)系為:{ψ=0,θ=0ψ=ψm,θ=θm(1){ψ=0,θ=0ψ=ψm,θ=θm(1)利用幾何光學(xué)原理,反射面的中截線方程可寫成如下形式:ρ(ψ)=ρ0exp(∫ψ0tan(θ(τ)+τ2)dτ)(2)ρ(ψ)=ρ0exp(∫ψ0tan(θ(τ)+τ2)dτ)(2)式中ψ為饋源的一次投射角,θ為反射面反射的二次波束角,是關(guān)于ψ的函數(shù)。根據(jù)射線管中能量守恒,兩者之間的關(guān)系如下式所示:{dθ(ψ)dψ=ΚΙ(ψ)sinψG(θ)sinθΚ=∫θm0G(θ)sinθdθ∫ψm0Ι(ψ)sinψdψ(3)?????????????dθ(ψ)dψ=KI(ψ)sinψG(θ)sinθK=∫θm0G(θ)sinθdθ∫ψm0I(ψ)sinψdψ(3)式中ψm為饋源對(duì)反射面的最大半張角;I(ψ)為饋源的歸一化功率方向圖;G(θ)為設(shè)計(jì)要求的理想覆蓋歸一化功率方向圖,其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下所示:G(θ)=20lg(R/h)+G0(dBi)(4)G(θ)=20lg(R/h)+G0(dBi)(4)在覆蓋區(qū)內(nèi):0°≤θ≤θm且R(θ)=√r12+(r1+h)2-2r1(r1+h)cosβ(5)sinβR(θ)=cosεr1+h(6)R(θ)=r12+(r1+h)2?2r1(r1+h)cosβ???????????????????????????√(5)sinβR(θ)=cosεr1+h(6)式子中θm最大覆蓋角;h為衛(wèi)星軌道高度;r1是地球平均半徑;ε是地面站天線的接收仰角;β為地面站與星下點(diǎn)的地心角,G0為星下點(diǎn)的增益要求。由式(3)可以確定θ與ψ間的關(guān)系,再代入式(2)可確定賦形反射面參數(shù)和幾何形狀。第一種端值條件下,反射面中心區(qū)域的一部分反射線會(huì)被饋源所遮擋,因此在天線遠(yuǎn)場輻射的近軸角域會(huì)形成電平凹區(qū),而凹區(qū)電平往往會(huì)低于設(shè)計(jì)指標(biāo)要求。為了避免饋源的遮擋,文獻(xiàn)首次提出了第二種端值條件,其中截線示意圖如圖1所示,入射角和發(fā)射角間的關(guān)系為:{ψ=0,θ=θmψ=ψm,θ=0(7){ψ=0,θ=θmψ=ψm,θ=0(7)以一個(gè)X波段賦形反射面數(shù)傳天線為例,基于幾何光學(xué)方法對(duì)這兩種端值條件分別進(jìn)行設(shè)計(jì),得到這兩種端值條件下賦形反射面天線中截線如圖2所示。設(shè)計(jì)過程中反射面的半徑a為0.325m;ρ0為0.1471m;h為600km;地面站起始工作仰角εmin為5°;對(duì)應(yīng)的最大覆蓋角θm約為65.57°;位于最大覆蓋角站點(diǎn)的增益Gm為8dBi;工作中心頻率為8.25GHz。要獲得理想圓對(duì)稱的天線遠(yuǎn)場方向圖,饋源必須是圓對(duì)稱的,實(shí)際工程中通常采用波導(dǎo)同軸多模饋源,在本文仿真設(shè)計(jì)中為了使設(shè)計(jì)結(jié)果更接近工程應(yīng)用,采用與文獻(xiàn)中相同尺寸的同軸多模饋源。根據(jù)文獻(xiàn)中的同軸多模饋源的尺寸,在商用軟件HFSS11中創(chuàng)建仿真模型并進(jìn)行了分析,得到饋源的方向圖如圖3所示。從圖中可以看出,此同軸多模饋源具有軸向電平下凹的匹配波束、波束近似圓對(duì)稱分布,符合實(shí)際工程需要。2天線的遠(yuǎn)場計(jì)算根據(jù)幾何光學(xué)方法確定賦形反射面天線中截線后,一般采用物理光學(xué)法(PO)計(jì)算其遠(yuǎn)區(qū)輻射場,根據(jù)PO可得反射面的遠(yuǎn)區(qū)場表達(dá)式為:EΡΟ=-jωμ04πre-jkr∫S[?r×(J(s′)×?r)]ejkr′??rds′(8)J(s′)=2(?n×Ηi)(9)其中S代表反射面表面,dS′代表反射面表面的積分面源,Hi是饋源在反射面上的入射磁場,J(s′)是反射面表面的感生電流,?n是反射面上法線的單位矢量,μ0是自由空間的磁導(dǎo)率,ω是角頻率,k是波數(shù),k=2π/λ,r是觀察點(diǎn)所在的位置矢量,r=|r|??r=r/r?r′是場源所在的位置矢量。數(shù)傳天線具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的幾何結(jié)構(gòu),饋源位于其正中心,采用PO法計(jì)算其遠(yuǎn)場時(shí)要考慮饋源的遮擋效應(yīng),并且由于天線的工作角域較大,要把反射面邊緣的繞射作用考慮進(jìn)去。通常采用物理繞射理論對(duì)PO方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行修正,以提高計(jì)算結(jié)果的精度。EΡΤD=jk4π∫C{Ζ0Ι(l)[?s×(?s×?t)]+Μ(l)(?s×?t)}e-jkRRdl(10)其中C代表圍繞反射面邊緣的閉合曲線,I(l)和M(l)分別是反射面邊緣等效電流和磁流的幅度,?s是反射面邊緣散射波單位矢量,?t是反射面邊緣切向單位矢量,R=|r-r′|,Z0是自由空間特征阻抗。以Matlab為編程工具,根據(jù)式(8)～(10)自編了天線遠(yuǎn)場的分析程序,并對(duì)如圖2所示的中截線確定的反射面天線的遠(yuǎn)場進(jìn)行了計(jì)算,得到的結(jié)果如圖4所示。圖4(a)是在端值條件1的情況下,基于幾何光學(xué)法優(yōu)化所得的天線方向圖。從圖中可以看出由于饋源的遮擋,某些區(qū)域的增益就低于設(shè)計(jì)指標(biāo)要求。以往通常采用交叉振子饋源來代替同軸多模饋源來減少的遮擋效應(yīng),但是饋源的一次輻射特性會(huì)變差。端值條件2時(shí),反射面中心的輻射指向天線最大覆蓋角方向,從而基本上消除了饋源遮擋對(duì)天線性能的影響?；趲缀喂鈱W(xué)法優(yōu)化所得的天線遠(yuǎn)場方向圖如圖4(b)所示,從圖中可以看出,在大部分角域設(shè)計(jì)結(jié)果滿足指標(biāo),但是在近軸中心的部分角域,設(shè)計(jì)結(jié)果遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于設(shè)計(jì)要求增益。這是因?yàn)榉瓷涿嫔?、下邊緣的間距相對(duì)波長很大(在此設(shè)計(jì)實(shí)例中,半徑a=0.325m,工作波長λ=0.03636mm,因此2a/λ≈18),它們的迭加會(huì)在近軸中心區(qū)內(nèi)形成起伏較大的干涉波紋?？梢?要在所有的覆蓋角域內(nèi)使得設(shè)計(jì)結(jié)果滿足指標(biāo)要求,必須對(duì)中截線的形狀進(jìn)一步進(jìn)行優(yōu)化。目前對(duì)賦形反射面天線的進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)有很多的算法可以可供選擇,諸如最速下降法、蟻群算法、遺傳算法、多目標(biāo)優(yōu)化算法、極小極大值法(Minimax)等。其中Minimax算法在實(shí)際工程應(yīng)用中更加適用,因?yàn)榧偃缒軌驅(qū)崿F(xiàn),此算法能夠保證即使在性能最差的評(píng)估站點(diǎn)所得到的性能也滿足設(shè)計(jì)要求,因此本文采用Minimax算法對(duì)基于幾何光學(xué)原理得到的中截線形狀進(jìn)行優(yōu)化。3應(yīng)用實(shí)例及優(yōu)化結(jié)果對(duì)中截線的形狀進(jìn)行優(yōu)化,首先按照?qǐng)D1中的坐標(biāo)系,利用z和x的之間關(guān)系來表示圖2中的中截線,因?yàn)橹薪鼐€是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的,所以只取x≥0的部分來進(jìn)行擬合。本文采用5次的Newton差值多項(xiàng)式來進(jìn)行擬合中截線形狀,具體表達(dá)式如下式所示:z=f(x)=a0+a1(x-x1)+a2(x-x1)(x-x2)+?+a5(x-x1)(x-x2)?(x-x5)(11)把所有展開系數(shù)合成起來構(gòu)成優(yōu)化變量u=(a0,a1,a2,…,a5)T,這樣通過調(diào)節(jié)u就可以改變中截線的形狀。采用Minimax算法進(jìn)行天線的賦形設(shè)計(jì),首先要在0～θm范圍內(nèi)選取M個(gè)角度來形成觀測變量y=(0,θ1,θ2,…,θM)T,然后利用(8)～(10)計(jì)算每個(gè)觀測角度的電場值,并與設(shè)計(jì)指標(biāo)進(jìn)行對(duì)比構(gòu)成目標(biāo)函數(shù)F(u,y),具體形式如下式所示:F(u,y)=(F1(u,0),F1(u,θ1),?,F1(u,θΜ))Τ(12)F1(u,θi)=[D1(θi)-fco(u,θi)],1≤i≤Μ(13)D1(θi)是第i個(gè)觀測站點(diǎn)設(shè)計(jì)要求的主極化電場值,fco(u,θi)是設(shè)計(jì)參量為u的情況下第i個(gè)觀測角度的主極化電場計(jì)算結(jié)果。Minimax方法是通過改變參數(shù)向量u來使得目標(biāo)函數(shù)F(u,y)的最大值最小化,可以寫成如下的形式:ψ(u)=max1≤i≤ΜF(xiàn)(u,yi)(14)ψ(u*)=minu∈Umax1≤i≤ΜF(xiàn)(u,yi)(15)即在u的某個(gè)限定范圍內(nèi),尋找能夠函數(shù)ψ(u)取值最小的點(diǎn)u*。基于一種限步長的梯度迭代算法,以Matlab作為編程工具,通過自編的求解Minimax問題的優(yōu)化程序分別對(duì)兩種端值條件的中截線形狀進(jìn)行優(yōu)化后得到的天線遠(yuǎn)場如圖5所示。圖5(a)是對(duì)端值條件1的優(yōu)化結(jié)果,圖中實(shí)線是自編程序的計(jì)算結(jié)果,點(diǎn)劃線是設(shè)計(jì)要求。為了證明優(yōu)化結(jié)果的正確性,在商用的電磁仿真軟件GRASP8對(duì)最終優(yōu)化所得的反射面進(jìn)行了建模仿真,仿真結(jié)果如圖中虛線所示。從圖中可以看出:優(yōu)化后天線性能均滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)要求,覆蓋角域內(nèi)任何一點(diǎn)的增益都不低于設(shè)計(jì)要求,完全消除了由于饋源的遮擋在近軸區(qū)域所形成的電平凹區(qū),且自編程序的計(jì)算結(jié)果與商用軟件仿真結(jié)果十分一致,充分表明了本文優(yōu)化結(jié)果的正確性。圖5(b)是對(duì)端值條件2的優(yōu)化結(jié)果,圖中各線型所代表的含義同圖5(a)相同。從圖中可以看出:雖然在近軸中心區(qū)內(nèi)依然有起伏較大的干涉波紋,但是覆蓋角域內(nèi)的增益均在設(shè)計(jì)要求指標(biāo)之上。與圖4(b)所示結(jié)果相比,不僅消除了近軸區(qū)低于最低電平線的小角域,而且在遠(yuǎn)軸的大角域(64°以上的部分)結(jié)果也滿足設(shè)計(jì)要求。從以上分析中可以看出,采用本文算法對(duì)基于幾何光學(xué)原理得到的中截線形狀進(jìn)行優(yōu)化后,兩種端值條件下的天線遠(yuǎn)場波束形狀都滿足設(shè)計(jì)要求。但是在端值條件2時(shí)近軸中心區(qū)域天線波束的起伏較大,在零度角附近最低電平與最高電平的差值最大可以得到20dB以上,如此劇烈的波束起伏必然對(duì)地面接收設(shè)備的性能提出更高的要求,而端值條件1時(shí)波束的起伏相對(duì)要小的多,因此在實(shí)際工程中最好采用端值條件1的優(yōu)化結(jié)果。兩種不同端值條件下插值節(jié)點(diǎn)的值及其優(yōu)化前后的系數(shù)值分別如表1、表2所示。其中表1是端值條件1時(shí)的數(shù)值,表2是端值條件2時(shí)的數(shù)值。從這兩個(gè)表中可以看出:為了避免優(yōu)化后反射面中心到饋源