1.設(shè)函數(shù)f(x)=2x；+4x“2+4x2+4無+8x2+50,將/(x)寫成矩陣形式,并求其梯度矢量和Hesse矩陣，并證明該函數(shù)為凸函數(shù)。矩陣形式：/(X)=-XrAX+B*X+C2X.afl44「b「'4'式中X二1,A=ii12=,B=i=,C=50o_X2-_a21322_488在點X(k)處的梯度矢量為V/-(X<k))=AX,k)+BX.atl44「b「4式中x=1,A=ii12=,B=i=0_X2-_321322_488因為幾=4,f：iX2=4,總=：4,f：iX2=8所以原函數(shù)的Hessian矩陣為z"44HX=48因為原函數(shù)的定義域是實數(shù)集，屬于非空凸集，在其定義域內(nèi)，對于任意自變量都有Aj=4>0,亠="j=16>0,即原函數(shù)Hessian矩陣的各階順序48|主子式均大于零，可以說明Hessian矩陣是正定矩陣，所以原函數(shù)為凸函數(shù)<>2.約束優(yōu)化問題的數(shù)學模型為minf(x)=(X)-2)2+(x2一2)2s.t.g?)=彳+￡-1SO^2(x)=-x2<0^3(x)=-Xj<0用作圖法求該問題的極小點“，并驗證該點滿足血加-Tucker條件。該數(shù)學模型的可行域如圖1陰影(包括邊界)所示以點(2,2)為圓心以R為半徑做圓，”的值即為/(勸的值，可見其最小

所以極值—U可行點;又因為^,(A-)<0是該模型的緊約束，而所以極值—U可行點;又因為^,(A-)<0是該模型的緊約束，而Vf(x)=（2 -4\（O2K-4="-4V2-4■（2o）r'_（02）a-\▽g]X）=可以看岀可(/)=(1-2運庇0即極值點(R廳\F二，、二的目標函數(shù)梯度是所有緊約束梯度的線性組合，所以該點滿足KuhnI22丿-Tucker條件°3.對于極小化/(X),而受限于約束g“(x)no("=i,2,..-M)的優(yōu)化問題，寫出其內(nèi)點和外點罰函數(shù)表達式，并說明內(nèi)點罰函數(shù)法和外點罰函數(shù)法的特點。(I)內(nèi)點罰函數(shù)表達式為p(2))=/(x)+a￡計刃或p(x,川))=/(X)-川)》ln(g“(x)),罰因子嚴)為遞減正數(shù)列。(|>1外點罰函數(shù)表達式為"(X,嚴)卜/(X)+嚴￡{max[O,-g“(X)]f，罰因子W=17?⑹為遞增正數(shù)列。內(nèi)點罰函數(shù)的特點：[初始點可行；迭代在可行域內(nèi)部；最終點可行；只含不等式約束。外點罰函數(shù)的特點：初始點任意選??；迭代在可行域外部；最終點不可行；可含不等式與等式約束。4.在長為350cm、寬為260cm的長方形不銹鋼板的四角，各剪去一個小正方形，做成一個無蓋的儲水箱，試確定正方形的邊長，使儲水箱的容積最大。建立優(yōu)化設(shè)計模型，并用法求解(迭代3次)。設(shè)剪去的正方形邊長為X,如圖2所示350-2x260—2x圖2第四題圖儲水箱體積/(x)=x?(350-2x)-(260-2a)優(yōu)化模型為nin /(x)=-x?(350-2a)?(260—2x)s.t.0<x<130首先用進退法確定單峰區(qū)間:

取初始步長h=30,置初始值u3=0,f3=f(u3)=0,置k=0；置u=u3+h=30,f=f(u)=-1740000,k=k+l=l；因為f<f3,所以置u2=u3=0,f2=f3=0,u3=u=30,h=2h=60,k=k+l=2；.o>置u=u3+h=90,f=f(u)=-1224000,k=k+l=3；因為f>f3,kH1 ,所以置ul=u2=0 ,f1=f2=0,u2=u3=-l740000,u3=u=90,f3=f=-l224000。令a=min{ul,u3)=0,b=max{ul,u3)=90,所以該函數(shù)的一個單峰區(qū)間為[0,90]o法求解：置初始搜索區(qū)間[0,90],則a二0,b=90,左右試探點al=a+(b-a)=,a2=a+(b-a)=,相應的函數(shù)值1= (al)=+006, 2= (a2)=+006；因為1>2,所以a=al=,al=a2=,a2=a+(b-a)=。迭代第一次完成。1=(al)=+006, 2= (a2)=+006,因為1< 2,置b=a2=,a2=al=, 2= 1=+006,并計算al=a+(b~a)=。第二次迭代完成。1=(al)=+006, 2= (a2)=+006,因為1> 2,所以a=al=,al=a2=,a2=a+(b~a)=。第三次次迭代完成。/三次迭代后，al=,a2=, 1=(al)=+006, 2= (a2)=+006,因為1>2,所以置a*=a2=,a*即為問題的解。所以用法迭代三次的最優(yōu)解為x*二，優(yōu)化模型最小值為f(x*)=+006,即正方形的邊長為52.5222cm時，儲水箱的容積最大，最大為1993600cm2<>5.用最速下降法求下列無約束優(yōu)化問題極小點:Minf(A)二打+4卅+60設(shè)初始點取為/0)={2,2}T,迭代3次。1)初始點^0)1)初始點^0)={2,2}\令d(o>=-Vf(X°)=-4-163)?n求解一維問題17min0(a)=/(X⑹+^/(0>)=(2-4a)2+4(2-16a)2+60,當6/=—時取得

/ 、設(shè)計空間/ x.<5 行域1-XI+X,<41-0"X,<5?]■//0"1''/?>12 5 46設(shè)計空間非劣解圖3設(shè)計空間F.(x)圖4目標空間7.簡述遺傳算法、拓撲優(yōu)化算法的思想。遺傳算法是模擬生物在自然環(huán)境中的遺傳和進化過程而形成的一種自適應全局優(yōu)化概率搜索算法，最早由美國密歇根大學的Holland教授提出，起源于20世紀60年代對于自然和人工自適應系統(tǒng)的研究。遺傳算法是從代表問題可能潛在的解集的一個種群開始的，而一個種群則由經(jīng)過基因編碼的一定數(shù)目的個體組成。每個個體實際上是染色體帶有特征的實體。染色體作為遺傳物質(zhì)的主要載體，即多個基因的集合，其內(nèi)部表現(xiàn)（即基因型）是某種基因組合，它決定了個體的形狀的外部表現(xiàn)。因此，在一開始需要實現(xiàn)從表現(xiàn)型到基因型的映射即編碼工作。由于仿照基因編碼的工作很復雜，我們往往進行簡化，如二進制編碼，初代種群產(chǎn)生之后，按照適者生存和優(yōu)勝劣汰的原理，逐代演化產(chǎn)生出越來越好的近似解，在每一代，根據(jù)問題域中個體的適應度大小選擇個體，并借助于自然遺傳學的遺傳算子進行組合交叉和變異，產(chǎn)生出代表新的解集的種群。這個過程將導致種群像自然進化一樣的后生代種群比前代更加適應于環(huán)境，末代種群中的最優(yōu)個體經(jīng)過解碼，可以作為問題近似最優(yōu)解。拓撲優(yōu)化以材料分布為優(yōu)化對象，通過拓撲優(yōu)化，可以在均勻分布材料的設(shè)計空間中找到最佳的分布方案。具體來說，是在一個給定的空間區(qū)域里，依據(jù)已知的負載或支撐等約束條件，解決材料的分布問題，從而使結(jié)構(gòu)的剛度達到最大或使輸出位移、應力等目標達到規(guī)定要求的一種結(jié)構(gòu)設(shè)計方法，是有限元分析和優(yōu)化方法有機結(jié)合的方法。拓撲優(yōu)化的研究領(lǐng)域主要分為連續(xù)體拓撲優(yōu)化和離散結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化。不論哪個領(lǐng)域，都要依賴于有限元方法。連續(xù)體拓撲優(yōu)化是把優(yōu)化空間的材料離散成有限個單元（殼單元或者體單元），離散結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化是在設(shè)計空間內(nèi)建立一個由有限個梁單元組成的基結(jié)構(gòu)，然后根據(jù)算法確定設(shè)計空間內(nèi)單元的去留，保留下來的單元即構(gòu)成最終的拓撲方案，從而實現(xiàn)拓撲優(yōu)化。拓撲優(yōu)化的建模方法有變密度法，水平集法，獨立映射法，計劃法等。求解方法即算法主要有：QC法（優(yōu)化準則法）,MMA法（移動漸進法），SLP（序列線性規(guī)劃法），SQP（序列二次規(guī)劃法）。8.依據(jù)自己工作，提出優(yōu)化設(shè)計問題，并寫出優(yōu)化設(shè)計數(shù)學模型，編寫優(yōu)化程序，求出優(yōu)化結(jié)果并分析。ftincludeOftincludeO#include<>#include<>#include<>^defineFILEPATH //***〃數(shù)據(jù)文件名^defineNCOLONY500^defineCITY500intxColony=80；intxCity；doubleedgeSpeed=5000；double?>probabl=；doubleprobab2=； ；longN0CHANGE-20000；longmaxGen=80000；intcolony[NCOLONY][CITY]；doublecityXY[CITY][2]；doublecitydisECITY][CITY]；doubledis』[NCOLONY]；訝doublesumbest,sumTemp；doublespeed；inttemp[CITY],ibest；clockttiineStartttimeNow,timeTemp；longGenNum,Ni；voidmain()registerintCl.j,k,posC,posCl；intkltk2,11,12tposflag；registerdoubledisChange；statici=0；timeStart=timeNow=timeTemp=c1ock()；init()；for(；；){for(j=0；j<xCity；j++)temp[j]=colony[i][j]；disChange=O；posflag=0；posC=rand()%xCity；for(:；){if((rand()/<probabl)〃內(nèi)變異算子{doposCl=rand()%xCity；while(posCl==posC):Cl=colony[i][posCl]；}else{doj=rand()%xCo1ony；whi1e(j==i)；k=posilion(colony[j],temp[posC])；Cl=colony[j][(k+l)%xCity]:posCl=position(temp,Cl)；}if(speed>edgeSpeed&&posCKposC+2)break；///////////////////////if((posC+l)%xCity==posCl(posC-l+xCity)%xCity==posCl)break；kl=temp[posC]:k2=temp[(posC+l)%xCity]；1l=temp[posCl]；12=temp[(posCl+l)%xCity]；disChange+=citydis[kl][ll]+citydis[k2][12]-citydis[kl][k2]-citydistil][12]；invert(posC.posCl)；posflag++；if(posflag>xCity-1)break；////////////posC++；if(posC>=xCity)posC=0；if(speed<edgeSpeed&&disChange<0){disp[i]+=disChange；disChange=0；tempTest(i)；})if(speed>=edgeSpeed&&disChange<0){disp[i]+=disChange；kdisChange=O；tempTest(i)；)i++;if(i>=xColony){Ni++；GenNum++；i=0；probabl=probab1*(1-GenNum*maxGen):?■if(speed<edgeSpeed&&(rand()/<probab2)){mapped()；}if(GenNurn>-maxGen||Ni>二NOCHANGE){LastCPO；printBest(GenNuin,Ni)；exit(1)；elsefor(j=kl；j<k2+xCity；j++){tl=j%xCity；t2=(j+l)%xCity；tempdis+=citydis[tmp[tl]][tmp[t2]]；)returntempdis；課后習題:1:用黃金分割法編程求解函數(shù)/以)=10(召+冬-5)2+(召-兀2)2由點X(0)=[3.86933.3797]出發(fā)，沿方向=[-0?6,0?5]卩的極小值點。解:X(0)=[3.8693,1.3797]出發(fā)，沿=[-0?6,0?5]卩方向，可得x2=-0.8333^+4.6041,帶入原函數(shù)得：/(X)=3.6389x)2-9.1007x,+22.7651,容易確定其搜索區(qū)間為[0.3.8693]o黃金分割法C程序代碼如下。Doublea,b,e,k,u,al,a2,f1,f2,xljieguo,x2jieguo；e=；k=(sprt(5)-l)/2；a=0；b=；u二b-a；while(u>e){al=a+(l-k)*(b-a)；a2=a+k**(b~a)；fl=*al**al+；f2=*a2**a2+；if(fl<f2)b=a2；elsea=a2；u=b~a；}xlJieguo=(b+a)/2；x2Jieguo=*x1jieguo+；結(jié)果顯示X⑴=[1.25,3.562475]。2：用最速下降法求些列無約束優(yōu)化問題極小點。Mi心X)=#+4￡_160),設(shè)初始點取為X(0)=[2,2f,迭代三次。解：依題意以及最速下降法可知：，其中/=-W(X⑹)。由題意可知V/-(Xa))=[2xf,8xJ]r,代入原函數(shù)可得/(Xa+,))=f(X(k)-akVf(Xik}))=/(X⑷一/[2彳，遲丁)，是函數(shù)達到極小值則

滿足：川X；］）=2（屮）-）?（—2屮>）+8（垮〉_8a?『）?（-8護）=0,即滿足宀空')二16(｛廣。根據(jù)上式，從x⑹出發(fā)求得，a0=—=0.13077,所2(x；*))2+128(x^))2 130以X")=[2,2]7+0.13007[4,16]7=[2.52308,4.08112]「；刃=0.12723,所以X(2)=[2.5230&4.08112]7+0.12723(2x2.5230&8x4.08112]f=[2.16510.8.23505]7?2=0.11620,所以，更具前面計算可得:乂⑶二[2.16510,8.23505]7+0.11620[2x2.1651058x8.2350習7=[2.66827,15.89035”3：證明DFP法具有二次終止性。考慮函數(shù)/（X）=+x"GX+刃X+C,H為n階正定矩陣，由DPF方法可以得出2—X")—X")y汀=W（xz）-巧（X。,依題意可知只需證明對于心0丄…沖-1如下軟式子成立即可:,且當?shù)鷑T次時，即m二nT時，有Hn=G,且當?shù)鷑T次時，即m二nT時，有Hn=G】證明：當時，結(jié)