光從左手材料中反射和折射的特性

0負(fù)折射物質(zhì)的左、右1968年，前蘇聯(lián)物理治療師v.g.vselago考慮到能量損失，當(dāng)介質(zhì)同時(shí)滿(mǎn)足-0和-0時(shí)，麥克斯韋方程具有波動(dòng)解。在這種介質(zhì)中，磁體、磁體和波矢向左施近似化光學(xué)、逆dopple效應(yīng)和負(fù)折射滿(mǎn)足三個(gè)特征。因此，該材料被稱(chēng)為“l(fā)ph”或“負(fù)折射材料”（nrm）。2000年代，美國(guó)麻省理工學(xué)院的史密斯研究團(tuán)隊(duì)首次合成了具有負(fù)折射的左材料。2001年，他們首次觀察到微波束在這種左材料和空氣之間的邊界上產(chǎn)生負(fù)折射，這可能是建造負(fù)折射材料的可能性。從那時(shí)起，左材料已成為國(guó)內(nèi)外學(xué)術(shù)界和科學(xué)研究部門(mén)的熱點(diǎn)課題。左手材料的構(gòu)造成功,說(shuō)明了人們可以構(gòu)造出具有特殊的磁導(dǎo)率μ及介電系數(shù)ε的物質(zhì)的可能,激發(fā)了人們積極研究介質(zhì)的磁導(dǎo)率μ和介電系數(shù)ε對(duì)傳輸光波的影響.菲涅耳公式很好地解釋了常規(guī)的右手介質(zhì)中光的傳輸特性,但對(duì)于左手介質(zhì)中光的某些特性不好解釋.因此根據(jù)Maxwell的電磁場(chǎng)理論,重新推導(dǎo)出單色平面光波入射到介電常量和磁導(dǎo)率分別為ε1、μ1和ε2、μ2的兩種介質(zhì)時(shí)的菲涅爾公式以及反射率和透射率的普適表達(dá)式.此式不但適合常規(guī)的右手介質(zhì),對(duì)于ε2<0和μ2<0的左手材料同樣適用.從此式出發(fā),分析了光波在界面兩側(cè)的反射和透射特性,給出了在左手介質(zhì)中反射光為全偏光時(shí)布儒斯特角應(yīng)滿(mǎn)足的條件,此條件和右手介質(zhì)的布儒斯特定理有所不同,其布儒斯特角不但與折射率有關(guān),而且與磁導(dǎo)率有關(guān).1加tb結(jié)構(gòu)材料的tt法和n-quet12根據(jù)Maxwell的電磁場(chǎng)理論,對(duì)于無(wú)損耗、各向同性、均勻的介質(zhì)得到正弦時(shí)變光波的Helmholtz方程為?2E+K2E=0?2B+K2B=0(1)其中Κ2=ω2με=ω2μrμ0εrε0=ω2c2n2?n2=μrεr,c=√1ε0μ0式中n代表折射率,c是真空中光速.對(duì)于右手介質(zhì)ε>0,μ>0,n=√εrμr對(duì)于左手介質(zhì)ε<0,μ<0,n=-√εrμr(2)Helmholtz方程的平面單色光波解為E(x,t)=E0ei(ωt-k·r)H(x,t)=H0ei(ωt-k·r)且有K×E=ωμHK×H=-ωεEK·E=0,K·H=0H和E的大小關(guān)系為√μ0μrΗ=√ε0εrE(3)設(shè)單色平面光波入射到介電常量和磁導(dǎo)率分別為ε1、μ1和ε2、μ2的兩種透明絕緣材料的界面時(shí),可以證明入射波、反射波、折射波的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量EiErEt和磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量HiHrHt分別為Ei=Ei0ei(ωt-k·r),Er=Er0ei(ωt-k·r),Et=Et0ei(ωt-k·r)(4)Hi=Hi0ei(ωt-k·r),Hr=Hr0ei(ωt-k·r),Ht=Ht0ei(ωt-k·r)(5)設(shè)入射角為θi,反射角為θr,折射角θt.由邊界條件,在兩介質(zhì)的分界面上電場(chǎng)強(qiáng)度E的切向分量應(yīng)該連續(xù),得到反射定律和折射定律.θi=θr,n1sinθi=n2sinθt(6)為了為描述光束反射和折射的特性,將E分為垂直入射面的E⊥分量和平行入射面的E//分量.如圖1,en表示分界面的法矢量.根據(jù)電磁場(chǎng)邊界條件,界面兩側(cè)的E,H的切向分量分別相等.設(shè)en為分界面的單位法矢量,則有(Ei+Er)×en=Et×en(Hi+Hr)×en=Ht×en對(duì)于E⊥有Ei⊥+Er⊥=Et⊥(7)(Hi//-Hr//)cosθi=Ht//cosθt(8)根據(jù)式(3)Η=√εμE=√ε0εrμ0μrE,并把式(4)、(5)代入式(7)、(8)消去指數(shù)因子得到電場(chǎng)強(qiáng)度振幅之間的關(guān)系.Ei0⊥+Er0⊥=Et0⊥(9)√ε1μ1(Ei0⊥-Er0⊥)cosθi=√ε2μ2Et0⊥cosθt(10)由式(9)和式(10)得Er0⊥=√ε1μ1cosθi-√ε2μ2cosθt√ε1μ1cosθi+√ε2μ2cosθtEi0⊥=μ2n1cosθi-μ1n2cosθtμ2n1cosθi+μ1n2cosθtEi0⊥(11)Et0⊥=2√ε1μ1cosθi√ε1μ1cosθi+√ε2μ2cosθtEi0⊥=2μ2n1cosθiμ2n1cosθi+μ1n2cosθtEi0⊥(12)同理對(duì)于E//有Er0//=√ε2μ2cosθi-√ε1μ1cosθt√ε2μ2cosθi+√ε1μ1cosθtEi0//=μ1n2cosθi-μ2n1cosθtμ1n2cosθi+μ2n1cosθtEi0//(13)Et0//=2√ε1μ1cosθi√ε2μ2cosθi+√ε1μ1cosθtEi0//=2μ2n1cosθiμ1n2cosθi+μ2n1cosθtEi0//(14)普適的菲涅爾公式為r⊥=Er0⊥EΙ0⊥=μ2n1cosθi-μ1n2cosθtμ2n1cosθi+μ1n2cosθt(15)r//=Er0//Ei0//=μ1n2cosθi-μ2n1cosθtμ1n2cosθ1+μ2n1cosθt(16)t⊥=Et0⊥Ei0⊥=2μ2n1cosθiμ2n1cosθi+μ1n2cosθt(17)t//=Et0//Ei0//=2μ2n1cosθiμ1n2cosθi+μ2n1cosθt(18)對(duì)于常規(guī)的透明右手介質(zhì)材料,通常認(rèn)為μ1=μ2=μ0,上面結(jié)論簡(jiǎn)化為菲涅爾公式.對(duì)于界面兩側(cè)都為左手介質(zhì),ε1<0,μ1<0,n1<0和ε2<0,μ2<0,n2<0.即μ和n同時(shí)取負(fù)值,普適的菲涅爾公式計(jì)算結(jié)果不變.對(duì)于光從右手材料入射到左手材料時(shí)ε1>0,μ1>0,n1>0和ε2<0,μ2<0,n2<0,上面的公式計(jì)算結(jié)果不變.普適的菲涅爾公式不但適用于常規(guī)的右手材料,也適用于左手材料.計(jì)算時(shí)介質(zhì)的折射率和磁導(dǎo)率取絕對(duì)值代入計(jì)算即可.2反射率和透射率公式光波入射到兩種介質(zhì)的分界面上后,在無(wú)吸收、色散等其他能量損耗的情況下,則入射光的能量在反射光和折射光中重新分配,而總能量不變.設(shè)光斜入射到分界面上,入射光、反射光、折射光的光強(qiáng)為Ιi=12√ε1μ1[Ei0]2cosθi,Ιr=12√ε1μ1[Er0]2?cosθ′i,Ιt=12√ε2μ2[Et0]2cosθt則光能流的反射率R和透射率T為R=ΙrΙi=|Er0|2|Ei0|2(19)Τ=ΙtΙi=|Et0|2|Ei0|2√ε2μ2√μ1ε2cosθtcosθi=μ1n2cosθtμ2n1cosθi|Et0|2|Ei0|2(20)由于反射波與折射波的振幅和入射波的偏振態(tài)有關(guān),因此必須對(duì)波的垂直分量E⊥和平行分量E//分別計(jì)算其反射率和透射率.設(shè)電矢量Ei之振動(dòng)面與入射面成α角,則入射波的垂直分量振幅和平行分量振幅分別為Ei0⊥=Ei0cosα,Ei0//=Ei0sinα對(duì)于反射光有R=ΙrΙi=Ιr//+Ιr⊥Ιi=Ιr//Ιi//cos2α+Ιr⊥Ιi⊥sin2αR=R//cos2α+R⊥sin2α(21)同理對(duì)透射光得到T=T//cos2α+T⊥sin2α(22)垂直分量E⊥和平行分量E//反射率和透射率為R//=Ιr//Ιi//=|Er0//|2|Ei0//|2=|μ1n2cosθi-μ2n1cosθtμ1n2cosθi+μ2n1cosθt|2(23)R⊥=Ιr⊥Ιi⊥=|Er0⊥|2|Ei0⊥|2=|μ2n1cosθi-μ1n2cosθtμ2n1cosθi+μ1n2cosθt|2(24)Τ//=Ιt//Ιi//=|Et0//|2|Ei0//|2n2μ1cosθtn1μ2cosθi=|2μ2n1cosθiμ1n2cosθi+μ2n1cosθt|2×n2μ1cosθtn1μ2cosθi(25)Τ⊥=Ιt⊥Ιi⊥=|Et⊥|2|Ei⊥|2n2μ1cosθtn1μ2cosθi=|2μ2n1cosθiμ2n1cosθi+μ1n2cosθt|2×n2μ1cosθtn1μ2cosθi(26)當(dāng)光線(xiàn)垂直入射時(shí),反射率和透射率公式為R//=R⊥=|μ1n2-μ2n1μ1n2+μ2n1|2(27)Τ//=R⊥=4μ1μ2n1n2[μ1n2+n1μ2]2(28)通過(guò)式(21)～(26)簡(jiǎn)單計(jì)算得到R//+T//=1R⊥+T⊥=1R+T=1因此通過(guò)普適的菲涅爾公式得到的光能流反射率和透射率公式滿(mǎn)足能量守恒.從μ和n取值的正負(fù)可以看出反射率、透射率公式不但適用于常規(guī)的右手材料,也適用于左手材料.3左、右介質(zhì)中折射光和反射光垂直時(shí)的基本關(guān)系在常規(guī)介質(zhì)中當(dāng)入射角為布儒斯特角時(shí),入射光和折射光線(xiàn)垂直,且tanθb=n2n1對(duì)于μ1≠μ2特殊介質(zhì),當(dāng)r//=0時(shí),由式(16)或(23)得到μ1n2cosθi-μ2n1cosθt=0結(jié)合折射定律n1sinθi=n2sinθt,此時(shí)的入射角和折射角有如下關(guān)系μ1sin2θi=μ2sin2θt(29)從式(29)得到,布入斯特角不但和n1、n2有關(guān),也和μ1、μ2有關(guān).一般情況下,反射光和折射光也不垂直.下面討論左手介質(zhì)的一些狀況:1)當(dāng)界面兩側(cè)同為左手介質(zhì)時(shí),式(29)形式不變,情況和界面兩側(cè)同為右手介質(zhì)相同.若μ1=μ2,n1=n2,光線(xiàn)進(jìn)入第二介質(zhì)不發(fā)生偏折,由式(29)結(jié)合反射定律得到θi=θr=θt=π4透射光和反射光垂直,滿(mǎn)足布儒斯特定律.2)當(dāng)光線(xiàn)由右手材料進(jìn)入左手材料時(shí),式(29)兩邊符號(hào)不同,說(shuō)明了折射角θt應(yīng)取負(fù)值,即入射光線(xiàn)和折射光線(xiàn)處在界面法線(xiàn)的同側(cè).若μ1=-μ2,由式(29)得到sin2θi=-sin2θt即sin2θi=sin(π+2θt),θi=π2+θt,即θi-θt=π2(30)左手材料中,θt取負(fù)值.此時(shí)的折射光線(xiàn)和入射光線(xiàn)垂直.不同于常規(guī)的右手介質(zhì)布儒斯特定律中折射光和反射光垂直.3)若光線(xiàn)由空氣入射到左手介質(zhì)中,此時(shí)μ1=μ0式(29)變?yōu)閟in2θi=μr2sin2θt(31)一般情況下在左手材料中的|μr2|≠μ0,入射光線(xiàn)和折射光線(xiàn)也不垂直,而且布儒斯特角與磁導(dǎo)率有關(guān).同理對(duì)r⊥=0,由式(6)和式(15)得到反射光為平行于入射面的全偏光時(shí)應(yīng)滿(mǎn)足的條件為μ1tanθi=μ2tanθt(32)可以證明上式同樣適合于左手材料.4普適的表達(dá)形式根據(jù)Maxwell的電磁場(chǎng)理論,重新推導(dǎo)出