幾何學(xué)的發(fā)展簡(jiǎn)史上海市第十中學(xué)數(shù)學(xué)教研組王沁[課前設(shè)計(jì)]中國(guó)古代是一種在世界上數(shù)學(xué)領(lǐng)先的國(guó)家，用近代數(shù)學(xué)科目來(lái)分類的話，能夠看出：無(wú)論是算術(shù)、代數(shù)還是幾何、三角，中國(guó)古代數(shù)學(xué)在各方面都十分發(fā)達(dá)。并且在數(shù)學(xué)理論與實(shí)際需要的聯(lián)系中，發(fā)明出了與古希臘等歐洲國(guó)家風(fēng)格迥異的實(shí)用數(shù)學(xué)。可惜的是，現(xiàn)行的教材對(duì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家的成就介紹得極少。即使教材中有，但是也基本上出現(xiàn)在閱讀材料中，幾乎沒(méi)有老師會(huì)去介紹，固然，學(xué)生也極少去看。我本人接觸這些數(shù)學(xué)歷史知識(shí)也是拜賜學(xué)校提供的再學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)。我校有一種由秦一嵐校長(zhǎng)總負(fù)責(zé)、全校老師共同參加的市級(jí)課題：史情教育與各學(xué)科校本課程的整合。如何在數(shù)學(xué)學(xué)科上整合史情教育，在數(shù)學(xué)課中充足挖掘數(shù)學(xué)學(xué)科的民族精神內(nèi)涵，弘揚(yáng)中華民族精神和上海都市精神，滲入德育教育，探索出一條符合學(xué)生特點(diǎn)的教學(xué)辦法，通過(guò)師生互動(dòng)，能提高學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作精神，并提高學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)，是擺在我面前的一種重要課題。為此，我做了下列幾方面的準(zhǔn)備。第一步，擬定課題。高二正在上立體幾何，于是擬定上幾何學(xué)（偏重立體幾何）的發(fā)展簡(jiǎn)史。第二步，收集資料。重要是閱讀大量有關(guān)數(shù)學(xué)史的書籍。第三步，理清脈絡(luò)。把看到的大量信息進(jìn)行梳理，按照時(shí)間次序、內(nèi)容與教材內(nèi)容的有關(guān)程度、在幾何史上地位的重要性等方面進(jìn)行選用。第四步，組織教案。擬定前一部分講幾何學(xué)發(fā)展簡(jiǎn)史，后一部分讓學(xué)生用學(xué)習(xí)過(guò)的幾何知識(shí)（重要是立體幾何）來(lái)解決某些實(shí)際問(wèn)題。數(shù)學(xué)應(yīng)用能力是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育的重要構(gòu)成部分，同時(shí)它也是學(xué)生比較單薄的環(huán)節(jié)。中學(xué)里的數(shù)學(xué)內(nèi)容多半是純正的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，而現(xiàn)在國(guó)家倡導(dǎo)數(shù)學(xué)素質(zhì)教育,那么提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力是其中重要的一環(huán)。為了提高同窗對(duì)立體幾何的愛(ài)好，提高學(xué)生應(yīng)用立體幾何知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，我選擇了四道應(yīng)用性較強(qiáng)的例題:平改坡問(wèn)題,遮陽(yáng)篷的角度,飛機(jī)高度測(cè)量和蜂巢表面積最小問(wèn)題。鑒于學(xué)生的實(shí)際數(shù)學(xué)水平與能力，我沒(méi)有讓學(xué)生從數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題出發(fā)自行建立數(shù)學(xué)模型，而是在協(xié)助他們建立了數(shù)學(xué)模型后，指導(dǎo)學(xué)生如何看懂模型，如何聯(lián)系學(xué)習(xí)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。我但愿通過(guò)我的課，能讓更多的學(xué)生理解數(shù)學(xué)的歷史，理解中國(guó)數(shù)學(xué)的歷史，為我國(guó)古代數(shù)學(xué)家的杰出奉獻(xiàn)而自豪。同時(shí)讓同窗看到數(shù)學(xué)是多么有用的一門學(xué)科，多么有趣的一門學(xué)科，但愿無(wú)論是數(shù)學(xué)成績(jī)好還是數(shù)學(xué)成績(jī)不抱負(fù)的同窗都能對(duì)數(shù)學(xué)永遠(yuǎn)保持一分愛(ài)好。[教案]教學(xué)目的：（1）讓學(xué)生大致理解幾何學(xué)（重要是立體幾何）學(xué)在中外的發(fā)展簡(jiǎn)史；（2）通過(guò)使用古代數(shù)學(xué)家的辦法解決問(wèn)題，讓學(xué)生親身體會(huì)中國(guó)古代科學(xué)家的成就；（3）通過(guò)中外數(shù)學(xué)家的成就比較中外古代研究數(shù)學(xué)的思想的不同；（4）通過(guò)學(xué)習(xí)過(guò)的立體幾何知識(shí)來(lái)解決某些實(shí)際問(wèn)題。教學(xué)重點(diǎn)：割補(bǔ)法應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題。教學(xué)難點(diǎn)：實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化。教學(xué)過(guò)程：前言“《九章》所蘊(yùn)含的思想影響，必將日益明顯，在下一世紀(jì)中凌駕于《原本》思想體系之上，不僅不無(wú)可能，甚至說(shuō)是殆成定局?！薄獏俏目　秴R校九章算術(shù)序》[引入]數(shù)學(xué)的歷史就是“數(shù)”與“形”的發(fā)展史。我們的先民在從野蠻走向文明的漫長(zhǎng)歷程中，逐步認(rèn)識(shí)了數(shù)與形的概念。“形”的意識(shí)可能跟人類歷史同樣古老。例如：在中國(guó)出土的新石器時(shí)代的陶器大多為圓形或其它規(guī)則形狀，陶器上有多個(gè)幾何圖案，普通尚有三個(gè)著地點(diǎn)，這些都是幾何知識(shí)的萌芽。古埃及在齊阿普斯王朝(公元前29左右)時(shí)代建造起來(lái)的金字塔,其塔基是一種“原則”的正方形，各邊的誤差不超出萬(wàn)分之六。希臘人發(fā)明了他們自己的文明和文化，對(duì)當(dāng)代西方文化的發(fā)展影響最大，對(duì)今天數(shù)學(xué)的奠基起了決定作用。[新課講授]一﹑古希臘幾何學(xué)⒈古典時(shí)期(公元前6到公元前3)（1）泰勒斯（約前640—前546年）將埃及的實(shí)用幾何帶入希臘，開(kāi)始證明幾何命題。（2）畢達(dá)哥拉斯（約前585—前5）學(xué)派對(duì)圖形進(jìn)行廣泛的研究。開(kāi)頭研究的一類問(wèn)題叫面積應(yīng)用問(wèn)題。幾何上有三個(gè)出名的作圖問(wèn)題：作一正方形使其與給定的圓面積相等；給定正方體一邊，求作另一正方體之邊，使后者體積兩倍于前者體積；用尺規(guī)三等分任意角。有好些數(shù)學(xué)成果是為解決這三個(gè)問(wèn)題而得出的副產(chǎn)品。（3）希波克拉底（前5世紀(jì)下半葉）已研究畫圓為方及立方倍積問(wèn)題。據(jù)說(shuō)最早把間接證明引用到數(shù)學(xué)里的是他。他所著的幾何書叫《幾何原本》，已經(jīng)失傳。（4）德謨克利特（約前460—前370年）發(fā)現(xiàn)棱錐和圓錐的體積分別等于同底等高的棱柱和圓柱體積的三分之一（但是證明是由歐道克斯作出的）。他的幾何著作很可能是歐幾里德《幾何原本》問(wèn)世以前的重要著作。（5）亞里士多德（約前384—前3）發(fā)明了演繹邏輯，即使他的哲學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)的直接影響極少，但對(duì)古希臘的論證幾何等數(shù)學(xué)的發(fā)展起到明顯的增進(jìn)作用。他給“定義”、“定理”、“公設(shè)”等以明確的解釋。（6）歐幾里德（前3左右生活在亞歷山大城并在該處授徒）著《幾何原本》，確立幾何學(xué)的邏輯體系，成為世界上最早的公理化數(shù)學(xué)著作?！对尽饭彩?，第一篇到第四篇講直邊形和圓的基本性質(zhì)；第五篇講比例論；第六篇講相似形；第七、八、九篇是數(shù)論；第十篇是不可公度量的分類；第十一、十二、十三篇是立體幾何及窮竭法。西方曾有兩本影響最廣的書，一本是《圣經(jīng)》，另一本就是《幾何原本》?！对尽肥鞘褂脮r(shí)間最長(zhǎng)的數(shù)學(xué)教科書?！对尽肥聦?shí)上是古希臘古典時(shí)期某些個(gè)別發(fā)現(xiàn)的整頓，是眾多學(xué)者智慧的結(jié)晶，歐幾里德對(duì)前人的成果加以整頓、歸納、完善和發(fā)展，他仍然是個(gè)大數(shù)學(xué)家。即使它的內(nèi)容存在缺點(diǎn)，并且與當(dāng)代教學(xué)趨勢(shì)日益不相適應(yīng)，但從歷史的角度看，它確實(shí)是一部偉大的著作，無(wú)愧于“西方數(shù)學(xué)的代表作”的稱號(hào)。這個(gè)時(shí)期的數(shù)學(xué)僅僅是定性的。那個(gè)時(shí)期的知識(shí)分子只限于搞哲學(xué)和科學(xué)工作，不去搞商業(yè)和貿(mào)易；有教養(yǎng)的人不關(guān)心實(shí)際問(wèn)題。他們就這樣把數(shù)學(xué)思維和實(shí)際需要割裂開(kāi)來(lái)，并且數(shù)學(xué)家也沒(méi)有感到有去改善算術(shù)辦法和代數(shù)辦法的壓力。只有當(dāng)有文化的階級(jí)與奴隸階級(jí)之間的壁壘在亞歷山大時(shí)期被沖破并且有教養(yǎng)的人關(guān)心實(shí)際事務(wù)的時(shí)候，重點(diǎn)才轉(zhuǎn)移到數(shù)量知識(shí)以及發(fā)展算術(shù)和代數(shù)方面。⒉亞歷山大時(shí)期(前3到公元6)阿基米德（前287—前2）運(yùn)用窮竭法求出球的表面積和體積公式,研究拋物弓形面積,給出π的范疇,它的幾何著作是希臘數(shù)學(xué)的頂峰。大概從公元1世紀(jì)初起,亞歷山大的數(shù)學(xué)工作特別是幾何工作開(kāi)始衰落.而此時(shí)在東方的中國(guó)數(shù)學(xué)正蓬勃發(fā)展。二、中國(guó)古代幾何學(xué)中國(guó)的幾何有悠久的歷史，可靠的統(tǒng)計(jì)從公元前十五世紀(jì)談起，甲骨文內(nèi)已有“規(guī)”和“矩”兩個(gè)字,規(guī)是用來(lái)畫圓的,矩是用來(lái)畫方的.春秋時(shí)期，隨著鐵器的出現(xiàn)，生產(chǎn)力的提高，中國(guó)開(kāi)始了由奴隸制向封建制的過(guò)渡，新的生產(chǎn)關(guān)系增進(jìn)了科學(xué)技術(shù)的發(fā)展與進(jìn)步。戰(zhàn)國(guó)時(shí)期人們通過(guò)田地及國(guó)土面積的測(cè)量，城池的修建，水利工程的設(shè)計(jì)等生產(chǎn)生活實(shí)踐，積累了大量的數(shù)學(xué)知識(shí)。（1）但是秦朝的焚書坑儒給中國(guó)文化事業(yè)造成空前的浩劫，西漢作為數(shù)學(xué)新發(fā)展及先秦典籍的急救工作的結(jié)晶，便是《九章算術(shù)》的成書。它對(duì)于中國(guó)和東方數(shù)學(xué)，大致相稱于《幾何原本》對(duì)于希臘和歐洲數(shù)學(xué)。中國(guó)古代的幾何普通不討論圖形離開(kāi)數(shù)量關(guān)系的性質(zhì)，而要計(jì)算出長(zhǎng)度、面積、體積。在《九章算術(shù)》的方田章中有多個(gè)多邊形、圓、弓形等的面積公式；商功章討論了多個(gè)立體的體積公式。《九章算術(shù)》后，中國(guó)的數(shù)學(xué)著述基本采用兩種方式：一是為《九章算術(shù)》做注；二是以《九章算術(shù)》為楷模編纂新的著作。通過(guò)兩漢社會(huì)經(jīng)濟(jì)和科學(xué)技術(shù)的大發(fā)展，到魏晉時(shí)期，思想文化領(lǐng)域中儒家的統(tǒng)治地位被削弱，代之以談三玄——《周易》、《老子》、《莊子》為主的辯難之風(fēng)。與此相適應(yīng)，數(shù)學(xué)家重視理論研究，力圖把自先秦到兩漢積累起來(lái)的數(shù)學(xué)知識(shí)建立在必然可靠的基礎(chǔ)之上。（2）劉徽和他的《九章算術(shù)注》便是魏晉時(shí)代造就的最偉大的數(shù)學(xué)家和最杰出的數(shù)學(xué)著作。該書前九卷全方面論證了《九章算術(shù)》的公式、解法，發(fā)展了出入相補(bǔ)原理、截面積原理、齊同原理和率的概念，在圓面積公式和錐體體積公式的證明中引入了無(wú)窮小分割和極限思想，首創(chuàng)了求圓周率的對(duì)的辦法，指出并糾正了《九章》的某些不對(duì)的的或錯(cuò)誤的公式，探索出解決球體積的對(duì)的途徑。以多面體體積的算法為例，在實(shí)際中使用了長(zhǎng)方體的體積公式：V=abh。塹堵是將長(zhǎng)方體沿相對(duì)兩棱剖開(kāi)所得的幾何體，其體積顯然是V=abh/2；沿塹堵的一頂點(diǎn)與相對(duì)的棱剖開(kāi)，一部分是四棱錐，稱為陽(yáng)馬，其體積為V=abh/3，另一部分為四周都是直角三角形的三棱錐，叫鱉臑，其體積V=abh/6。劉徽用無(wú)窮小分割的辦法證明了上述公式。在平面幾何中用直角三角形或正方形在立體幾何中用錐體和長(zhǎng)方體進(jìn)行移補(bǔ),這構(gòu)成了中國(guó)古代幾何的特點(diǎn).劉徽未能解決球體積公式的證明，但他發(fā)明性地給出了他的“牟合方蓋”，但是他未能證明，在書中他也坦誠(chéng)直言，表達(dá)“以俟能言者”。200數(shù)年后出了一位“能言者”，那就是祖暅之。（3）《綴術(shù)》包含了祖沖之（429—5）和兒子祖暅之（一作祖暅，生平不詳）的數(shù)學(xué)奉獻(xiàn)。祖暅沿用劉徽的“牟合方蓋”，證明了球體體積的計(jì)算問(wèn)題，充足顯示了中國(guó)古代數(shù)學(xué)家的聰穎才智。由于該書內(nèi)容深?yuàn)W，隋唐算學(xué)館的學(xué)官（相稱于今天大學(xué)數(shù)學(xué)系的專家）讀不懂，后失傳。劉徽和祖氏父子在極限思想的運(yùn)用上遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了古希臘的同類思想，達(dá)成了文藝復(fù)興前世界數(shù)學(xué)界的最高峰。三、我們研究探索的問(wèn)題問(wèn)題1為了改善住房條件，上海近些年大力推行“平改坡”工程。一種平頂建筑物屋頂是一種長(zhǎng)為a米寬為b米的矩形，在其上增加一種如圖所示的屋頂，屋脊PQ的長(zhǎng)為m米，屋頂?shù)母邽閔米，求增加的屋頂?shù)捏w積。[分析]將屋頂截成中間成三棱柱（塹堵），兩邊成四棱錐（陽(yáng)馬）。僅此，我們能夠看出劉徽的這組模型在幾何體計(jì)算中的作用。問(wèn)題2遮陽(yáng)棚的角度C1B1C1B1A1CBA問(wèn)題3飛行的高度在南北方向的一條公路上，一輛汽車由南向北行駛，速度為100千米/時(shí)，一架飛機(jī)在一定高度上的一條直線上飛行，速度為100√7千米/時(shí)。從汽車?yán)锟达w機(jī)，在某個(gè)時(shí)刻看見(jiàn)是正西方向，仰角是30度，在36秒后，又看見(jiàn)飛機(jī)在北偏西30度，仰角為30度，問(wèn)飛機(jī)的飛行高度是多少千米？問(wèn)題418世紀(jì)，法國(guó)科學(xué)家雷奧烏姆爾和馬拉爾蒂等人認(rèn)真觀察蜂巢，發(fā)現(xiàn)它外形是正六棱柱，下底是正六邊形（設(shè)邊長(zhǎng)為2a），頂部是三個(gè)全等菱形，三個(gè)菱形與棱柱軸線成等角，三者彼此斜依而下傾，棱柱側(cè)面皆全等直角梯形。設(shè)較長(zhǎng)側(cè)棱AA1=h，問(wèn)：（1）當(dāng)菱形的邊長(zhǎng)變化時(shí)，蜂巢的體積與否變化？請(qǐng)闡明理由。（2）觀賞了蜂巢的藝術(shù)性之后，科學(xué)家在深思這種奇特構(gòu)造的實(shí)用價(jià)值，猜想這種蜂房的頂蓋設(shè)計(jì)可能是節(jié)省其建材蜂蠟的最佳選擇。雷奧烏姆爾就這種猜想請(qǐng)教瑞士數(shù)學(xué)家、巴黎科學(xué)院院士科尼希，科尼希嚴(yán)格證明了人們有關(guān)蜂巢最優(yōu)性的猜想是真的。請(qǐng)你也來(lái)計(jì)算一下，在體積相似的狀況下，菱形內(nèi)角多大時(shí)，蜂巢表面積最??？結(jié)束語(yǔ)“繼續(xù)發(fā)揚(yáng)中國(guó)古代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的機(jī)械化特色對(duì)數(shù)學(xué)各個(gè)不同領(lǐng)域探索實(shí)現(xiàn)機(jī)械化的途徑，建立機(jī)械化的數(shù)學(xué)，則是本世紀(jì)以至可能綿亙整個(gè)21世紀(jì)才干大致趨于完善的事?！薄獏俏目　懂?dāng)代數(shù)學(xué)新進(jìn)展序》[專家點(diǎn)評(píng)]普通狀況下，開(kāi)課一向不會(huì)開(kāi)這樣的課，把數(shù)學(xué)史作為上課講授內(nèi)容的一種重要構(gòu)成部分，占了近二分之一的教學(xué)時(shí)間。但是數(shù)學(xué)史又是數(shù)學(xué)的一種不可缺損的部分。我本人在以前也并不理解數(shù)學(xué)的發(fā)展史，也是工作后，看了某些有關(guān)的書籍，慢慢地對(duì)數(shù)學(xué)史也有了一定的理解。我感到數(shù)學(xué)史對(duì)我影響最大的是歷史上許多數(shù)學(xué)家的人格魅力。為了堅(jiān)持真理，他們不顧世人的恥笑、謾罵、甚至迫害，有人甚至付出了生命的代價(jià)。例如非歐幾何的發(fā)現(xiàn)。其實(shí)當(dāng)時(shí)有三個(gè)人同時(shí)發(fā)現(xiàn)。年輕的玻利亞由于懷疑自己的成果被高斯剽竊，一氣之下不再研究數(shù)學(xué)。高斯屈從于教會(huì)的勢(shì)力，不敢勇敢地發(fā)表自己的發(fā)現(xiàn)。而只有俄國(guó)有創(chuàng)新精神的羅巴切夫斯基在喀山大學(xué)數(shù)學(xué)物理系宣讀了他的開(kāi)創(chuàng)性論文《有關(guān)幾何原理的議論》，提出了羅巴切夫斯基公理，這一天公認(rèn)為“非歐幾何”的誕生日。他公然向人類幾千年來(lái)確信不疑的歐氏幾何挑戰(zhàn)，在當(dāng)時(shí)遭到了幾乎全部數(shù)學(xué)家的挖苦，甚至校長(zhǎng)的職務(wù)也被撤除。但是科學(xué)界看待羅巴切夫斯基的不公正評(píng)價(jià)并未摧毀它對(duì)新幾何的信念，他不顧一切侮辱堅(jiān)持真理，他的抱負(fù)終于得勝，被歷史承認(rèn)。三人中只有他被公認(rèn)為“非歐幾何之父”，這也是他的不屈科學(xué)精神的體現(xiàn)，也是后人對(duì)他堅(jiān)持真理的一種敬意。因此，講一點(diǎn)數(shù)學(xué)史，看一點(diǎn)數(shù)學(xué)史，不僅對(duì)學(xué)生，對(duì)老師也是一種教育。我們應(yīng)當(dāng)對(duì)學(xué)生多進(jìn)行人格方面的教育，數(shù)學(xué)史值得去講，值得去研究，數(shù)學(xué)家的這種精神應(yīng)當(dāng)讓后人理解、繼承、發(fā)揚(yáng)。任何數(shù)學(xué)家的成就都離不開(kāi)人的積累。歐幾里德的《幾何原本》是古希臘先人數(shù)學(xué)成就的結(jié)晶，中國(guó)《九章算術(shù)》也是中國(guó)先秦時(shí)期和以前中國(guó)古人的數(shù)學(xué)成就的總結(jié)。劉徽的成就更是踩在前人的肩膀上才獲得的。還歷史一種原來(lái)面目，讓學(xué)生理解這些，懂得前人要想發(fā)現(xiàn)哪怕是一種定理也是多么不容易。數(shù)學(xué)上的探索與發(fā)現(xiàn)原來(lái)就是一條荊棘之路，僅靠個(gè)人的力量是不夠的。這方面對(duì)學(xué)生也是一種教育。本堂課的實(shí)際問(wèn)題都很精彩，體現(xiàn)了中國(guó)古代數(shù)學(xué)解決幾何體的最慣用辦法：割補(bǔ)法。有三維的割補(bǔ)，也有平面的割補(bǔ)。只是遮陽(yáng)篷這道題花的時(shí)間較長(zhǎng)，有點(diǎn)影響背面的進(jìn)度。李大元[課后反思]上完《幾何學(xué)的發(fā)展簡(jiǎn)史》，特別是聽(tīng)了李大元老師的點(diǎn)評(píng)后，我對(duì)數(shù)學(xué)史的滲入教學(xué)工作應(yīng)當(dāng)起到的作用又有了新的認(rèn)識(shí)。首先，中國(guó)古代的數(shù)學(xué)成就不僅是進(jìn)行愛(ài)國(guó)教育的優(yōu)秀教材，并且許多成就本身對(duì)現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教學(xué)仍含有現(xiàn)實(shí)意義。事實(shí)上中國(guó)古代解決某些問(wèn)題的辦法比現(xiàn)行數(shù)學(xué)教科書中的辦法要優(yōu)越?，F(xiàn)行教材的幾何部分大量