廣義能量守恒

循環(huán)坐標與循環(huán)積分

廣義動量守恒

質(zhì)點系的動能表達

第6章拉格朗日方程的首次積分

結(jié)論和討論

循環(huán)坐標與循環(huán)積分

第6章拉格朗日方程的首次積分

循環(huán)坐標

循環(huán)坐標與循環(huán)積分

N個自由度質(zhì)點系統(tǒng)在有勢力場中的拉格朗日方程(j=1,2,…,N)L＝T－V——拉格朗日函數(shù)如果L中不含某個廣義坐標則這個坐標稱為循環(huán)坐標（可遺坐標）。由n個質(zhì)點所組成的質(zhì)點系qi是循環(huán)坐標，即有

循環(huán)坐標與循環(huán)積分

循環(huán)積分拉格朗日方程成為于是得到一個首次積分——循環(huán)積分

廣義動量守恒

第6章拉格朗日方程的首次積分

廣義動量守恒

廣義動量廣義動量pi定義為廣義動量為動能對廣義速度的偏導數(shù)廣義動量pi是標量

廣義動量守恒

廣義動量守恒有幾個循環(huán)坐標，就有幾個首次積分，也就有幾個廣義動量積分（廣義動量守恒）。

廣義動量守恒對應的物理意義是動量守恒和動量矩守恒。例題1

廣義動量守恒質(zhì)點的拋射運動因為

L不含x,y,所以x,y是循環(huán)坐標，得到兩個方向動量守恒例題2

質(zhì)點的有心運動

廣義動量守恒

極坐標下拉格朗日函數(shù)為

是循環(huán)坐標，循環(huán)積分為

——動量矩守恒

質(zhì)點系的動能表達

第6章拉格朗日方程的首次積分

N個自由度由n個質(zhì)點所組成的質(zhì)點系廣義坐標第i個質(zhì)點的位矢

質(zhì)點系的動能表達第i個質(zhì)點的速度矢量速度的平方

質(zhì)點系的動能表達

第i個質(zhì)點的速度矢量

質(zhì)點系的動能表達動能

質(zhì)點系的動能表達所以其中是的函數(shù)，當ri不顯含時間t，T0=T1=0，動能

質(zhì)點系的動能表達分別是零次、一次和二次齊式對廣義速度來說，——廣義速度的二次齊式

動能齊次式的性質(zhì)

質(zhì)點系的動能表達求導數(shù)后得：所以

質(zhì)點系的動能表達

證明：設為k個廣義速度的h次齊次函數(shù)，若以將上式對

求導，得

令

=1，則有

質(zhì)點系的動能表達

證畢

廣義能量守恒

第6章拉格朗日方程的首次積分由n個質(zhì)點所組成的質(zhì)點系

N個自由度質(zhì)點系統(tǒng)在有勢力場中的拉格朗日方程(j=1,2,…,N)勢函數(shù)V與廣義速度無關，所以

廣義能量守恒

廣義能量守恒目的：尋求廣義能量守恒的條件利用拉格朗日方程，上式右端第二項成為

廣義能量守恒上式代入到第一式中，得到

廣義能量守恒移項后得：上式左端括號中的項稱為廣義能量，記為h

廣義能量守恒廣義能量：代入得到：

廣義能量守恒

廣義能量和廣義能量對時間的化率分別為

如果

則得到廣義能量積分

廣義能量守恒

如果拉格朗日函數(shù)

L不顯含時間t,那末廣義能量h守恒。

對于定常系統(tǒng)，T0=0,T=T2

廣義能量積分

——機械能守恒

解：建立坐標軸xOy,

=t,質(zhì)點的坐標為例題3

廣義能量守恒y

Omx

a半徑為a的圓環(huán)以勻角速度

繞O軸在水平面內(nèi)運動，環(huán)上有一質(zhì)量為m的質(zhì)點。

求質(zhì)點運動微分方程的首次積分約束方程是約束方程顯含時間t,所以是非定常系統(tǒng)例題3

廣義能量守恒y

Omx

a

因為V=0，所以拉格朗日函數(shù)L=T因為L中無循環(huán)坐標，所以沒有廣義動量積分，但L

中不顯含時間t,所以存在廣義能量積分其中例題3

廣義能量守恒y

Omx

a由此得：質(zhì)點的廣義能量守恒，但是機械能不守恒。

第6章拉格朗日方程的首次積分

結(jié)論和討論

結(jié)論和討論

對于保守系統(tǒng)，可以得到拉格朗日方程的某些統(tǒng)一形式的首次積分，從而使得保守系統(tǒng)動力學問題的求解過程進一步簡化。保守系統(tǒng)拉格朗日方程的首次積分包括：循環(huán)積分、能量積分。一、循環(huán)積分

如果拉格朗日函數(shù)L中不顯含某一廣義坐標qr

,則該坐標稱為保守系統(tǒng)的循環(huán)坐標或可遺坐標。廣義動量守恒（包含動量或動量矩守恒）

結(jié)論和討論二、廣義能量積分設系統(tǒng)所受的主動力是有勢力，且拉格朗日函數(shù)L=T-V中不顯含時間t，則廣義能量守恒

對于定常系統(tǒng)，T0

=0,T=T2

機械能守恒

結(jié)論和討論

一個系統(tǒng)的廣義能量積分只可能有一個；而循環(huán)積分可能不止一個，有幾個循環(huán)坐標，便有幾個相應的循環(huán)積分。

循環(huán)積分和廣義能量積分都是由保守系統(tǒng)拉格朗日方程積分一次得到的，它們都是比拉格朗日方程低一階的微分方程。

結(jié)論和討論例題4

楔形體重P，斜面傾角

，置于光滑水平面上。均質(zhì)圓柱體重Q，半徑為

r，在楔形體的斜面上只滾不滑。初始系統(tǒng)靜止，且圓柱體位于斜面最高點。試求:(1)系統(tǒng)的運動微分方程；(2)系統(tǒng)的能量積分與循環(huán)積分。解：研究楔形體與圓柱體組成的系統(tǒng)。系統(tǒng)受理想約束，具有兩個自由度。取廣義坐標為x,s；各坐標原點均在初始位置。

結(jié)論和討論系統(tǒng)的動能：系統(tǒng)的勢能：取水平面為重力勢能零點。例題4

結(jié)論和討論拉格朗日函數(shù)：代入保守系統(tǒng)拉格朗日方程，并適當化簡，得到系統(tǒng)的運動微分方程。（d）例題4

結(jié)論和討論拉格朗日函數(shù)L中不顯含t，故系統(tǒng)存在能量積分:例題4當t=0時，，x=

s=0,代入上式中，得

結(jié)論和討論例題4能量積分(機械