廣東省實驗中學順德學校2023-2024學年數(shù)學高二上期末統(tǒng)考模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在正方體中，為棱的中點，則異面直線與所成角的正切值為A. B.C. D.2．若且，則下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.3．已知，，，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出值為（）A. B.C. D.4．在等比數(shù)列中，，，則等于（）A. B.5C. D.95．拋擲兩枚硬幣，若記出現(xiàn)“兩個正面”“兩個反面”“一正一反”的概率分別為，，，則下列判斷中錯誤的是（）.A. B.C. D.6．函數(shù)，的最小值為（）A.2 B.3C. D.7．在棱長為4的正方體中，為的中點，點P在正方體各棱及表面上運動且滿足，則點P軌跡圍成的圖形的面積為（）A. B.C. D.8．等比數(shù)列的前項和為，若，則（）A. B.8C.1或 D.或9．某綜合實踐小組設(shè)計了一個“雙曲線型花瓶”.他們的設(shè)計思路是將某雙曲線的一部分（圖1中A，C之間的曲線）繞其虛軸所在直線l旋轉(zhuǎn)一周，得到花瓶的側(cè)面，花瓶底部是平整的圓面，如圖2.該小組給出了圖1中的相關(guān)數(shù)據(jù)：，，，，，其中B是雙曲線的一個頂點.小組中甲、乙、丙、丁四位同學分別用不同的方法估算了該花瓶的容積（忽略瓶壁和底部的厚度），結(jié)果如下表所示學生甲乙丙丁估算結(jié)果（）其中估算結(jié)果最接近花瓶的容積的同學是（）（參考公式：，，）A.甲 B.乙C.丙 D.丁10．在空間直角坐標系中，已知點M是點在坐標平面內(nèi)的射影，則的坐標是（）A. B.C. D.11．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是A. B.C. D.12．若實數(shù)滿足約束條件，則最小值為（）A.-2 B.-1C.1 D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)橢圓標準方程為，則該橢圓的離心率為______14．數(shù)列的前項和為，則的通項公式為________.15．已知向量，，不共線，點在平面內(nèi)，若存在實數(shù)，，，使得，那么的值為________.16．若橢圓：的長軸長為4，焦距為2，則橢圓的標準方程為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在2021年“雙11”網(wǎng)上購物節(jié)期間，某電商平臺銷售了一款新手機，現(xiàn)在該電商為調(diào)查這款手機使用后的“滿意度”，從購買了該款手機的顧客中抽取1000人，每人在規(guī)定區(qū)間內(nèi)給出一個“滿意度”分數(shù)，評分在60分以下的視為“不滿意”，在60分到80分之間（含60分但不含80分）的視為“基本滿意”，在80分及以上的視為“非常滿意”.現(xiàn)將他們的評分按，，，，分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求這1000人中對該款手機“非常滿意”的人數(shù)和“滿意度”評分的中位數(shù)的估計值.（2）若按“滿意度”采用分層抽樣的方法從這1000名被調(diào)查者中抽取20人，再從這20人中隨機抽取3人，記這3人中對該款手機“非常滿意”的人數(shù)為X.①寫出X的分布列，并求數(shù)學期望；②若被抽取的這3人中對該款手機“非常滿意”的被調(diào)查者將獲得100元話費補貼，其他被調(diào)查者將獲得50元話費補貼，請求出這3人將獲得的話費補貼總額的期望.18．（12分）已知集合，.（1）當a=3時，求.（2）若“”是“x∈A”的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍.19．（12分）已知O為坐標原點，點，設(shè)動點W到直線的距離為d，且，.（1）記動點W的軌跡為曲線C，求曲線C的方程；（2）若直線l與曲線C交于A，B兩點，直線與曲線C交于，兩點，直線l與的交點為P（P不在曲線C上），且，設(shè)直線l，的斜率分別為k，.求證：為定值.20．（12分）已知拋物線C：上一點與焦點F的距離為（1）求和p的值；（2）直線l：與C相交于A，B兩點，求直線AM，BM的斜率之積21．（12分）同時擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子（六個面分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6的正方體）（1）求兩顆骰子向上的點數(shù)相等的概率；（2）求兩顆骰子向上的點數(shù)不相等，且一個點數(shù)是另一個點數(shù)的整數(shù)倍的概率22．（10分）已知直線l：，圓C：.（1）當時，試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若直線l被圓C截得的弦長恰好為，求k的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】利用正方體中，，將問題轉(zhuǎn)化為求共面直線與所成角的正切值，在中進行計算即可.【詳解】在正方體中，，所以異面直線與所成角為，設(shè)正方體邊長為，則由為棱的中點，可得，所以，則.故選C.【點睛】求異面直線所成角主要有以下兩種方法：（1）幾何法：①平移兩直線中的一條或兩條，到一個平面中；②利用邊角關(guān)系，找到（或構(gòu)造）所求角所在的三角形；③求出三邊或三邊比例關(guān)系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求兩直線的方向向量；②求兩向量夾角的余弦；③因為直線夾角為銳角，所以②對應(yīng)的余弦取絕對值即為直線所成角的余弦值.2、D【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷.【詳解】對于A，若，則不等式不成立；對于B，若，則不等式不成立；對于C，若均為負值，則不等式不成立；對于D，不等號的兩邊同乘負值，不等號的方向改變，故正確；故選：D【點睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)，需熟練掌握性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】模擬程序運行可得程序框圖的功能是計算并輸出三個數(shù)中的最小數(shù)，計算三個數(shù)判斷作答.【詳解】模擬程序運行可得程序框圖的功能是計算并輸出三個數(shù)中的最小數(shù)，因，，，則，不成立，則，不成立，則，所以應(yīng)輸出的x值為.故選：A4、D【解析】由等比數(shù)列的項求公比，進而求即可.【詳解】由題設(shè)，，∴故選：D5、A【解析】把拋擲兩枚硬幣的情況均列舉出來，利用古典概型的計算公式，把，，算出來，判斷四個選項的正誤.【詳解】兩枚硬幣，記為與，則拋擲兩枚硬幣，一共會出現(xiàn)的情況有四種，A正B正，A正B反，A反B正，A反B反，則，，，所以A錯誤，BCD正確故選：A6、B【解析】求導(dǎo)函數(shù)，分析單調(diào)性即可求解最小值【詳解】由，得，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增∴當時，取得最小值，且最小值為故選：B.7、A【解析】構(gòu)造輔助線，找到點P軌跡圍成的圖形為長方形，從而求出面積.【詳解】取的中點E，的中點F，連接BE，EF，AF，則由于為的中點，可得，所以∠CBE=∠ECN，從而∠BCN+∠CBE=∠BCN+∠ECN=90°，所以BE⊥CN，又EF⊥平面，平面，所以EF⊥CN，又因為BEEF=E，所以CN⊥平面ABEF，所以點P軌跡圍成的圖形為矩形ABEF，又，所以矩形ABEF面積為.故選：A8、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式及等比數(shù)列通項公式即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則因為，所以，即，解得或，所以或.故選：C.9、D【解析】根據(jù)幾何體可分割為圓柱和曲邊圓錐，利用圓柱和圓錐的體積公式對幾何體的體積進行估計即可.【詳解】可將幾何體看作一個以為半徑，高為的圓柱，再加上兩個曲邊圓錐，其中底面半徑分別為，，高分別為,,,,所以花瓶的容積，故最接近的是丁同學的估算，故選：D10、C【解析】點在平面內(nèi)的射影是坐標不變，坐標為0的點.【詳解】點在坐標平面內(nèi)的射影為，故點M的坐標是故選：C11、B【解析】因,故其共軛復(fù)數(shù).應(yīng)選B.考點：復(fù)數(shù)的概念及運算.12、B【解析】由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得答案【詳解】由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得，由，得，由圖可知，當直線過時，直線在軸上的截距最小，有最小值為故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】求出、的值，即可求得橢圓的離心率.【詳解】在橢圓中，，，則，因此，該橢圓的離心率為.故答案為：.14、【解析】討論和兩種情況，進而利用求得答案.【詳解】由題意，時，，時，，則，于是，故答案為：15、1【解析】通過平面向量基本定理推導(dǎo)出空間向量基本定理得推論.【詳解】因為點在平面內(nèi)，則由平面向量基本定理得：存在，使得：即，整理得：，又，所以，，，從而.故答案為：116、【解析】由焦距可得c，長軸長得到a，再根據(jù)可得答案.【詳解】因為橢圓的長軸長為4，則，焦距為2，由，得，則橢圓的標準方程為：.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）65分（2）①分布列答案見解析，數(shù)學期望：；②172.5元【解析】（1）由圖可知中位數(shù)在第二組，則設(shè)中位數(shù)為，從而得，解方程可得答案，（2）①由題意可求得“不滿意”與“基本滿意”的用戶應(yīng)抽取17人，“非常滿意”的用戶應(yīng)抽取3人，則X的可能取值分別為0，1，2，3，然后求出對應(yīng)的概率，從而可求得其分布列和期望，②設(shè)這3人獲得的話費補貼總額為Y，則，然后由①結(jié)合期望的性質(zhì)可求得答案【小問1詳解】這1000人中對該款手機“非常滿意”的人數(shù)為.由頻率分布直方圖可得，得分的中位數(shù)為，則，解得，所以中位數(shù)為65分.【小問2詳解】①若按“滿意度”采用分層抽樣的方法從這1000名被調(diào)查者中抽取20人，則“不滿意”與“基本滿意”的用戶應(yīng)抽取人，“非常滿意”的用戶應(yīng)抽取人，X的可能取值分別為0，1，2，3，，，，，則X的分布列為X0123P故.②設(shè)這3人獲得的話費補貼總額為Y，則（元），所以元，故這3人將獲得的話費補貼總額的期望為172.5元.18、（1）（2）【解析】（1）解不等式求出集合、，然后根據(jù)交集的運算法則求交集；（2）解不等式求出集合、，求出，然后根據(jù)充分不必要性列出不等式組求解.【小問1詳解】解：由題意得：當時，可解得集合的解集為由可解得或故.【小問2詳解】的解集為又又“”是“x∈A”的充分不必要條件解得：，故實數(shù)a的取值范圍19、（1）（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)點，由即所以化簡即可得到答案.（2）設(shè)，，設(shè)直線l的方程為：與（1）中W的軌跡方程聯(lián)立，得出韋達定理，求出，同理設(shè)直線的方程為：，得出，再根據(jù)從而可證明結(jié)論.【小問1詳解】設(shè)點，因為，所以，因為，所以所以所以所以所以C的方程為：【小問2詳解】設(shè)，，設(shè)直線l的方程為：，則由得：所以，，所以所以設(shè)直線的方程為：，則同理可得因所以即，即，即解得，即所以為定值.20、（1）（2）【解析】（1）結(jié)合拋物線的定義以及點坐標求得以及.（2）求得的坐標，由此求得直線AM，BM的斜率之積.【小問1詳解】依題意拋物線C：上一點與焦點F的距離為，根據(jù)拋物線的定義可知，將點坐標代入拋物線方程得.【小問2詳解】由（1）得拋物線方程為，，不妨設(shè)A在B下方，所以.21、（1）；（2）.【解析】（1）求出同時擲兩顆骰子的基本事件數(shù)、及骰子向上的點數(shù)相等的基本事件數(shù)，應(yīng)用古典概型的概率求法，求概率即可.（2）列舉出兩顆骰子向上的點數(shù)不相等，且一個點數(shù)是另一個點數(shù)的倍數(shù)的基本事件，應(yīng)用古典概型的概率求法，求概率即可.【小問1詳解】同時擲兩顆骰子包括的基本事件共種，擲兩顆骰子向上的點數(shù)相等包括的基本事件為6種，故所求的概率