-PAGE4-勾股定理的歷史勾股定理是“人類最偉大的十個科學發(fā)現(xiàn)之一”，是初等幾何中的一個基本定理。那么大家知道多少勾股定理的別稱呢？我可以告訴大家，有：畢達哥拉斯定理，商高定理，百牛定理，驢橋定理和埃及三角形等。所謂勾股定理，就是指“在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方?！边@個定理有十分悠久的歷史，幾乎所有文明古國（希臘、中國、埃及、巴比倫、印度等）對此定理都有所研究。勾股定理在西方被稱為畢達哥拉斯定理，相傳是古希臘數(shù)學家兼哲學家畢達哥拉斯（Pythagoras，公元前572?～公元前497?）于公元前550年首先發(fā)現(xiàn)的。但畢達哥拉斯對勾股定理的證明方法已經(jīng)失傳。著名的希臘數(shù)學家歐幾里得（Euclid，公元前330～公元前275）在巨著《幾何原本》（第Ⅰ卷，命題47）中給出一個很好的證明。（右圖為歐幾里得和他的證明圖）中國古代對這一數(shù)學定理的發(fā)現(xiàn)和應用，遠比畢達哥拉斯早得多。中國最早的一部數(shù)學著作——《周髀算經(jīng)》的開頭，記載著一段周公向商高請教數(shù)學知識的對話：周公問：“我聽說您對數(shù)學非常精通，我想請教一下：天沒有梯子可以上去，地也沒法用尺子去一段一段丈量，那么怎樣才能得到關(guān)于天地得到數(shù)據(jù)呢？”商高回答說：“數(shù)的產(chǎn)生來源于對方和圓這些形體的認識。其中有一條原理：當直角三角形‘矩'得到的一條直角邊‘勾'等于3，另一條直角邊’股'等于4的時候，那么它的斜邊'弦'就必定是5。這個原理是大禹在治水的時候就總結(jié)出來的呵?！?/p>

如果說大禹治水因年代久遠而無法確切考證的話，那么周公與商高的對話則可以確定在公元前1100年左右的西周時期，比畢達哥拉斯要早了五百多年。其中所說的勾3股4弦5，正是勾股定理的一個應用特例。所以現(xiàn)在數(shù)學界把它稱為“勾股定理”是非常恰當?shù)?。在稍后一點的《九章算術(shù)》一書中（約在公元50至100年間）（右圖），勾股定理得到了更加規(guī)范的一般性表達。書中的《勾股章》說；“把勾和股分別自乘，然后把它們的積加起來，再進行開方，便可以得到弦”。中國古代的數(shù)學家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應用勾股定理，而且很早就嘗試對勾股定理作理論的證明。最早對勾股定理進行證明的，是三國時期吳國的數(shù)學家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細證明（右圖）。趙爽的這個證明可謂別具匠心，極富創(chuàng)新意識。他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨特風格樹立了一個典范。以后的數(shù)學家大多繼承了這一風格并且有發(fā)展，只是具體圖形的分合移補略有不同而已。例如稍后一點的劉徽在證明勾股定理時也是用以形證數(shù)的方法，中國古代數(shù)學家們對于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學史上具有獨特的貢獻和地位。尤其是其中體現(xiàn)出來的“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法，更具有科學創(chuàng)新的重大意義。勾股定理的證明據(jù)不完全統(tǒng)計，勾股定理的證明方法已經(jīng)多達400多種了。下面我便向大家介紹幾種十分著名的證明方法?！咀C法1】（趙爽證明）以a、b為直角邊（b>a），以c為斜邊作四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于.把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀.∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴∠HDA=∠EAB.∵∠HAD+∠HAD=90o，∴∠EAB+∠HAD=90o，∴ABCD是一個邊長為c的正方形，它的面積等于c2.∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90o.∴EFGH是一個邊長為b―a的正方形，它的面積等于.∴，即【證法6】（鄒元治證明）以a、b為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于.把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上，B、F、C三點在一條直線上，C、G、D三點在一條直線上.∵RtΔHAE≌RtΔEBF,∴∠AHE=∠BEF.∵∠AEH+∠AHE=90o,∴∠AEH+∠BEF=90o.∴∠HEF=180o―90o=90o.∴四邊形EFGH是一個邊長為c的正方形.它的面積等于c2.∵RtΔGDH≌RtΔHAE,∴∠HGD=∠EHA.∵∠HGD+∠GHD=90o,∴∠EHA+∠GHD=90o.又∵∠GHE=90o,∴∠DHA=90o+90o=180o.∴ABCD是一個邊長為a+b的正方形，它的面積等于.∴.∴.【證法7】（利用切割線定理證明）在RtΔABC中，設直角邊BC=a，AC=b，斜邊AB=c.如圖，以B為圓心a為半徑作圓，交AB及AB的延長線分別于D、E，則BD=BE=BC=a.因為∠BCA=90o，點C在⊙B上，所以AC是⊙B的切線.由切割線定理，得===，即，∴.【證法8】（作直角三角形的內(nèi)切圓證明）在RtΔABC中，設直角邊BC=a，AC=b，斜邊AB=c.作RtΔABC的內(nèi)切圓⊙O，切點分別為D、E、F（如圖），設⊙O的半徑為r.∵AE=AF，BF=BD，CD=CE，∴==r+r=2r,即，∴.∴，即，∵，∴，又∵====，∴，∴，∴，∴.勾股定理的應用一、填空題1．在Rt△ABC中，∠C=90°，①若a=5，b=12，則c=___________；②若a=8，c=10，則b=___________；③若c=61，b=60，則a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10則S△ABC=________。2．如圖，某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實際上岸地點C偏離欲到達點B200m，結(jié)果他在水中實際游了520m，求該河流的寬度為_________3．如圖，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°，AB=BC=CD=1，OA=2，則OD2=____________.4．已知直角三角形兩直角邊的長分別為3cm,4cm,第三邊上的高為5．等腰△ABC中，AB=AC=17cm，BC=16cm，則BC邊上的高AD=_______。6．在平靜的湖面上，有一支紅蓮，高出水面1米，陣風吹來，紅蓮被吹到一邊，花朵齊及水面，已知紅蓮移動的水平距離為2米，問這里水深是________m。ABCD7cm７．在ΔABC中,若AB2+BC2=AC2,則∠A+∠ABCD7cm８.如圖，直角三角形的兩直角邊長分別是6cm和8cm，則帶陰影的正方形面積是。９．如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm,則正方形A，B，C，D的面積之和為___________cm2DBCA１０．在一棵樹的10米高處有兩只猴子，一只猴子爬下樹走到離樹20米DBCA二．選擇題１．已知一個Rt△的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是（）A、25 B、14 C、7 D、7或25２．在直角三角形中，斜邊與較小直角邊的和、差分別為8、2，則較長直角邊長為（）A.5B.4C.3３．如圖，在水塔O的東北方向32m處有一抽水站A,在水塔的東南方向24m處有一建筑工地B，在A45cmB40cmC50cmD４．小豐媽媽買了一部29英寸(74cm)電視機,下列對29英寸的說法中正確的是ABABEFDCB.小豐的媽媽認為指的是屏幕的寬度;C.小豐的爸爸認為指的是屏幕的周長;D.售貨員認為指的是屏幕對角線的長度５．已知，如圖長方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長方形折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，則△ABE的面積為（）A、6cm2 B、8cm2 C、10cm2 D、北南A北南A東A、25海里 B、30海里 C、35海里 D、40海里７．如圖，正方形網(wǎng)格中的△ABC，若小方格邊長為1，則△ABC是（）（A）直角三角形(B)銳角三角形(C)鈍角三角形(D)以上答案都不對８．男孩戴維是城里的飛盤冠軍，戈里是城里最可惡的踩高蹺的人，兩人約定一比高低．戴維直立肩高1.5米，他投飛盤很有力，但需在13米內(nèi)才有威力；戈里踩高蹺時鼻子離地6.5米，他的鼻子是他惟一的弱點．戴維需離戈里()遠時才能剛好擊中對方的鼻子而獲勝．A.13米B．12米C.8米D．5米三．解答題１．在某一平地上，有一棵樹高8米的大樹，一棵樹高3米的小樹，兩樹之間相距12米。今一只小鳥在其中一棵樹的樹梢上，要飛到另一棵樹的樹梢上，問它飛行的最短距離是多少？（畫出草圖然后解答）２．如圖，A城氣象臺測得臺風中心在A城正西方向320km的B處，以每小時40km的速度向北偏東60°的BF方向移動，距離臺風中心A城是否受到這次臺風的影響？為什么？若A城受到這次臺風影響，那么A城遭受這次臺風影響有多長時間？ABCD３．已知，如圖，四邊形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠ABCDADEBC４．如圖，鐵路上A，B兩點相距25km，C，D為兩村