4.2.1直線與圓的位置關(guān)系Oxy

一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺的臺風(fēng)預(yù)報(bào)：臺風(fēng)中心位于輪船正西70km處，受影響的范圍是半徑長為30km的圓形區(qū)域．已知港口位于臺風(fēng)中心正北40km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會受到臺風(fēng)的影響？

為解決這個(gè)問題，我們以臺風(fēng)中心為原點(diǎn)O，東西方向?yàn)閤軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，其中取10km為單位長度．輪船實(shí)例引入問題港口Oxy輪船實(shí)例引入問題港口輪船航線所在直線l的方程為：

問題歸結(jié)為圓心為O的圓與直線l有無公共點(diǎn)．

這樣，受臺風(fēng)影響的圓區(qū)域所對應(yīng)的圓心為O的圓的方程為:想一想，平面幾何中，直線與圓有哪幾種位置關(guān)系？平面幾何中，直線與圓有三種位置關(guān)系：（1）直線與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；（1）（2）直線與圓相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)；（2）（3）直線與圓相離，沒有公共點(diǎn)．（3）直線與圓的位置關(guān)系問題在初中，我們怎樣判斷直線與圓的位置關(guān)系？現(xiàn)在，如何用直線和圓的方程判斷它們之間的位置關(guān)系？（1）（2）（3）直線與圓的位置關(guān)系問題先看幾個(gè)例子，看看你能否從例子中總結(jié)出來．

分析：方法一，判斷直線l與圓的位置關(guān)系，就是看由它們的方程組成的方程組有無實(shí)數(shù)解；

方法二，可以依據(jù)圓心到直線的距離與半徑長的關(guān)系，判斷直線與圓的位置關(guān)系．

例1

如圖，已知直線l：和圓心為C的圓，判斷直線l與圓的位置關(guān)系；如果相交，求它們交點(diǎn)的坐標(biāo)．典型例題解法一：由直線l與圓的方程，得：消去y，得：

例1

如圖，已知直線l：和圓心為C的圓，判斷直線l與圓的位置關(guān)系；如果相交，求它們交點(diǎn)的坐標(biāo)．典型例題因?yàn)椋?1>0所以，直線l與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)．

解法二：圓可化為其圓心C的坐標(biāo)為（0，1），半徑長為，點(diǎn)C

（0，1）到直線l的距離所以，直線l與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)．典型例題

例1

如圖，已知直線l：和圓心為C的圓，判斷直線l與圓的位置關(guān)系；如果相交，求它們交點(diǎn)的坐標(biāo)．所以，直線l與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，它們的坐標(biāo)分別是：把代入方程①，得；把代入方程①，得．

A（2，0），B（1，3）由，解得：

例1

如圖，已知直線l：和圓心為C的圓，判斷直線l與圓的位置關(guān)系；如果相交，求它們交點(diǎn)的坐標(biāo)．典型例題解：解：將圓的方程寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，得：即圓心到所求直線的距離為．如圖，因?yàn)橹本€l被圓所截得的弦長是，所以弦心距為

例2已知過點(diǎn)的直線被圓所截得的弦長為，求直線的方程．典型例題因?yàn)橹本€l過點(diǎn)，即：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得到圓心到直線l的距離：因此：典型例題

例2已知過點(diǎn)的直線被圓所截得的弦長為，求直線的方程．解：所以可設(shè)所求直線l的方程為：即：兩邊平方，并整理得到：解得：

所以，所求直線l有兩條，它們的方程分別為：或典型例題

例2已知過點(diǎn)的直線被圓所截得的弦長為，求直線的方程．解：即:判斷直線與圓的位置關(guān)系有兩種方法：

方法一：判斷直線l與圓C的方程組成的方程組是否有解．如果有解，直線l與圓C有公共點(diǎn)．有兩組實(shí)數(shù)解時(shí)，直線l與圓C相交；有一組實(shí)數(shù)解時(shí)，直線l與圓C相切；無實(shí)數(shù)解時(shí)，直線l與圓C相離．

方法二：判斷圓C的圓心到直線l的距離d與圓的半徑r的關(guān)系．如果d<r

，直線l與圓C相交；如果d=r

，直線l與圓C相切；如果d>r

，直線l與圓C相離．直線與圓的位置關(guān)系回顧我們前面提出的問題：如何用直線和圓的方程判斷它們之間的位置關(guān)系？問題知識小結(jié)有無交點(diǎn)，有幾個(gè)．直線l與圓C的方程組成的方程組是否有解，有幾個(gè)解．判斷圓C的圓心到直線l的距離d與圓的半徑r的關(guān)系（大于、小于、等于）．判