相似三角形中的分類討論

相似三角形常因?qū)?yīng)邊或?qū)?yīng)角的不確定，而需要分類討論。下面我們根據(jù)相似三角形所給條件的不同，分類展示相似三角形分類討論的三種情況。一、對應(yīng)邊不確定例1、如圖在△ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一點(diǎn)，AD=12，在AB取一點(diǎn)E，使A，D，E三點(diǎn)組成的三角形與△ABC相似，則AE的長為_____。ADCBADCBE圖二ADCBE圖三分析：題中已知△ADE與△ABC相似，但沒有指明具體的對應(yīng)邊，所以需要分別以，AE與AB為對應(yīng)邊；AE與AC為對應(yīng)邊，兩種情況分類討論：解：（1）當(dāng)AE與AB為對應(yīng)邊時（如圖二），有即，可得AE=16（2）當(dāng)AE與AC為對應(yīng)邊時（如圖三），有即，可得AE=9所以AE的長為9或16。ADCB·E圖二ADCB·E圖三二、對應(yīng)角的不確定例2、如圖,AB⊥BD,CD⊥BD,AB=6cm,CD=4cm,BD=14cm,點(diǎn)P在BD上由點(diǎn)向D點(diǎn)移動.當(dāng)P點(diǎn)移動到離B點(diǎn)多遠(yuǎn)時,△ABP與△CPD相似?分析：題中已知兩個直角三角形相似，并沒指名具體的對應(yīng)角，所以，有∠A=∠CPD或∠A=∠C，兩種情況。解：(1)當(dāng)∠A=∠CPD時△ABP∽△PDC,此時BP:DC=AB:PD，即BP:4=6:（14-BP），可得BP=2cm或BP=12cm.(2)當(dāng)∠A=∠C時,△ABP∽△CDP,此時BP:PD=AB:CD，即BP:（14-BP）=6:4，可得BP=8.4cm,所以BP分別等于2cm、12cm、8.4cm時,△ABP與△CPD相似。三、所求作的圖形位置不確定例3、如圖，△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，5AC－3AB=0，點(diǎn)P從B出發(fā)，沿BC方向以2cm/s的速度移動，點(diǎn)Q從C出發(fā)，沿CA方向以1cm/s的速度移動。若P、Q分別從B、C出發(fā)，經(jīng)過多少時間△CPQ與△CBA相似？分析：△CPQ與△CBA都是直角三角形，要使它們相似，則有：PQ∥AB或兩種情況成立時，滿足結(jié)論要求。解：設(shè)經(jīng)ts時，△CPQ與△CBA相似，此時BP=2t，CQ=t，則CP=8－2t.又Rt△ABC中，5AC－3AB=0，

，解得：AB=10，AC=6.

（1）當(dāng)PQ∥AB△CPQ∽△CBA，則，即解得：t=2.4；(2)當(dāng)時，△CPQ與△CAB相似，則解得：所以經(jīng)過2.4s或時，△CPQ與△CBA相似。例4:如圖，在直角梯形ABCD中,AB//CD,，在AD上能否找到一點(diǎn)P，使三角形PAB和三角形PCD相似？若能，共有幾個符合條件的點(diǎn)P？并求相應(yīng)PD的長。若不能，說明理由?！痉治觥坑蒁C與AB平行，且DA垂直于AB，得到一對直角相等，設(shè)DP=x，則有PA=AD-DP=12-x，分兩種情況考慮：當(dāng)∠DCP=∠PAB時，△CDP∽△PAB；當(dāng)∠DCP=∠ABP時，△CDP∽△BAP，利用相似得比例，求出x的值，即為DP的長．解：∵AB∥CD，DA⊥AB，∴∠A=∠D=90°，設(shè)DP=x，則有PA=AD-DP=12-x，當(dāng)∠DCP=∠PAB時，有△CDP∽△PAB，此時即整理得：x2-12x+12=0，解得：=此時滿足題意的P點(diǎn)有兩個，即DP=或當(dāng)∠DCP=∠ABP時，有△CDP∽△BAP，此時即整理得：36-3x=4x，解得：x=此時滿足題意P點(diǎn)有一個，即DP=綜上所述，滿足題意的P點(diǎn)有三個，DP=或或活動3.例5:如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．現(xiàn)在有動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BA向終點(diǎn)A運(yùn)動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AC-CB向終點(diǎn)運(yùn)動．如果點(diǎn)P的速度是1cm/秒，點(diǎn)Q的速度是2cm/秒．它們同時出發(fā)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動的時間為t秒．(1)如圖1，Q在AC上，當(dāng)t為多少秒時，以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？(2)如圖2，Q在CB上，是否存著某時刻，使得以點(diǎn)B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．解：（1）如圖1（1），當(dāng)∠AQP=90°時，△AQP∽△ACB，∴在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB==10．BP=t，AQ=2t，∴PA=10-t，∴∴解得t=如圖1（2），當(dāng)∠APQ=90°時，△APQ∽△ACB，∴∴解得t=綜上所述，t=或時，以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似；(2)如圖2，當(dāng)△BPQ∽△BAC時，∵BQ=14-2t，BP=t，∴解得t=∴t=時，Q在CB上，以點(diǎn)B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似。例6:如圖，矩形ABCD的邊長AB=3，BC=6某一時刻，動點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB方向以1個單位的速度向B點(diǎn)勻速運(yùn)動；同時動點(diǎn)N從D點(diǎn)出發(fā)，沿DA方向以2個單位的速度向A點(diǎn)勻速運(yùn)動，問：（1）經(jīng)過多少時間，ΔAMN的面積與矩形ABCD面積的比是1:9.（2）是否存在時刻t，使以A﹑M﹑N為頂點(diǎn)的三角形與ΔACD相似?若存在，求t的值：若不存在，請說明理由。練習(xí)：如圖：在RtΔABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm,動點(diǎn)P由A出發(fā)向C運(yùn)動，其速度為2cm/s，動點(diǎn)Q從C出發(fā)向B運(yùn)動，其速度為1cm/s，連接PQ，則經(jīng)過多長時間ΔPCQ與ΔACB相似？

變式：在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A（0,6)、