第第頁四川省南充市南部縣第二名校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）南部二中2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期10月月考

數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知復(fù)數(shù)，則（）

A.B.C.D.0

2.目前，甲型流感病毒在國內(nèi)傳播，據(jù)某市衛(wèi)健委通報，該市流行的甲型流感病毒，以甲型亞型病毒為主，假如該市某小區(qū)共有120名感染者，其中有20名年輕人，60名老年人，40名兒童，現(xiàn)用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取30人進(jìn)行檢測，則做檢測的老年人人數(shù)為（）

A.5B.15C.10D.20

3.下列說法正確的是（）

A.直四棱柱是正四棱柱

B.兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺

C.圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線都是母線

D.以直角三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐

4.下列說法錯誤的是（）

A.設(shè)是兩個空間向量，則一定共面

B.設(shè)是兩個空間向量，則

C.設(shè)是三個空間向量，則一定不共面

D.設(shè)是三個空間向量，則

5.函數(shù)的圖象與直線的交點的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

6.已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（）

A.B.

C.D.

7.在平行六面體中，設(shè)，，，則以為基底表示（）

A.B.C.D.

8.如圖所示，正方體的棱長為1，點是平面的中心，則到平面的距離是（）

A.B.C.D.

二、多選題

9若，則有（）

A.B.C.D.

10.已知為兩個不同的平面，為三條不同的直線，則下列結(jié)論中不一定成立的是（）

A.若，則

B.若，則

C.若，且，則

D若，且，則

11.已知向量，，則函數(shù)的大致圖象可能為（）

A.B.

C.D.

12.如圖，正方體中，，P為線段上的動點，則下列說法正確的是（）

A.B.平面

C.三棱錐的體積為定值D.的最小值為

三、填空題

13.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，則______．

14.若函數(shù)，則________．

15.如圖所示，已知正三棱柱的所有棱長均為1，則四棱錐的體積為______．

16.三棱錐的四個頂點點在同一球面上，若底面，底面是直角三角形，，則此球的表面積為___________.

四、解答題

17.已知棱長為5，底面為正方形，各側(cè)面均為正三角形四棱錐．

（1）求它的表面積；

（2）求它的體積.

18.如圖，在正方體中，是中點，分別是的中點，求證：

（1）平面；

（2）平面平面.

19.已知中，，，．

（1）求；

（2）求的面積．

20.如圖在邊長是2的正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，的中點．

（1）求異面直線EF與所成角大?。?/p>

（2）證明：平面．

21.如圖，已知四邊形是矩形，將矩形沿對角線把折起，使移到點，且在平面上的射影恰好在上.

（1）求證：；

（2）求證：平面平面.

22.如圖，直三棱柱中，，，分別為，的中點．

（1）求證：平面；南部二中2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期10月月考

數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知復(fù)數(shù)，則（）

A.B.C.D.0

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的減法計算即可.

【詳解】由題意，時，.

故選：C

2.目前，甲型流感病毒在國內(nèi)傳播，據(jù)某市衛(wèi)健委通報，該市流行甲型流感病毒，以甲型亞型病毒為主，假如該市某小區(qū)共有120名感染者，其中有20名年輕人，60名老年人，40名兒童，現(xiàn)用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取30人進(jìn)行檢測，則做檢測的老年人人數(shù)為（）

A.5B.15C.10D.20

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)運算求解即可.

【詳解】由題意可得：做檢測的老年人人數(shù)為.

故選：B.

3.下列說法正確的是（）

A.直四棱柱正四棱柱

B.兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺

C.圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線都是母線

D.以直角三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)正棱柱、棱臺、圓錐的母線和圓錐的定義分析可得答案.

【詳解】對于，直四棱柱的底面不一定是正方形，故不正確；

對于，將兩個相同的棱柱的底面重合得到的多面體不是棱臺，故不正確；

對于，圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線都是母線，說法正確，故正確；

對于，以直角三角形的斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體是兩個圓錐的組合體，故不正確.

故選：C

【點睛】關(guān)鍵點點睛：熟練掌握正棱柱、棱臺、圓錐的母線和圓錐的定義是解題關(guān)鍵.

4.下列說法錯誤的是（）

A.設(shè)是兩個空間向量，則一定共面

B.設(shè)是兩個空間向量，則

C.設(shè)是三個空間向量，則一定不共面

D.設(shè)是三個空間向量，則

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量可平移可判斷AC，根據(jù)向量數(shù)量積定義可判斷B，根據(jù)向量數(shù)量積的運算律可判斷D.

【詳解】因為空間向量可平移，故任意兩個向量均為共面向量，故A正確；

，故B正確；

設(shè)是三個空間向量，則可能共面，故C錯誤；

空間向量數(shù)量積滿足分配律，故，即D正確.

故選：C

5.函數(shù)的圖象與直線的交點的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】畫出以及的圖象，由此確定正確答案.

【詳解】在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)和直線的圖象(如圖所示)，可得兩圖象的交點共有4個.

故選：D

6.已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（）

A.B.

C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】由空間向量的坐標(biāo)運算逐一判斷．

【詳解】對于A，，故A錯誤，

對于B，，故B正確，

對于C，，故C錯誤，

對于D，，故D錯誤，

故選：B

7.在平行六面體中，設(shè)，，，則以為基底表示（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】由向量的加法法則可得，再將已知條件代入即可得答案.

【詳解】因為.

故選：A.

8.如圖所示，正方體的棱長為1，點是平面的中心，則到平面的距離是（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】通過線面平行和中位線轉(zhuǎn)化的方法來求得到平面的距離.

【詳解】設(shè)是的中點，，設(shè)是的中點.

所以，平面，平面，所以平面，

所以到平面的距離等于到平面的距離.

根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，

所以平面，

由于，

所以平面，

所以到平面的距離，也即到平面的距離為.

故選：B

二、多選題

9.若，則有（）

A.B.C.D.

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)判斷各選項即可.

【詳解】對于A，由，得，

所以，即，故A正確；

對于B，由，得，即，故B錯誤；

對于C，由，得，故C正確；

對于D，由，得，

所以，即，故D錯誤.

故選：AC.

10.已知為兩個不同的平面，為三條不同的直線，則下列結(jié)論中不一定成立的是（）

A.若，則

B.若，則

C若，且，則

D.若，且，則

【答案】ACD

【解析】

【分析】對于ACD：結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征分析判斷；對于D：根據(jù)線面垂直的性質(zhì)分析判斷.

【詳解】對于選項A：若，則或相交，

例如在正方體中，平面平面，

且平面，可知平面，平面，故A不一定成立；

對于選項B：若，由線面垂直的性質(zhì)可知，故B成立；

對于選項C：若，且，則不一定垂直，

例如在正方體中，平面∥平面，

且平面，平面，，故C不一定成立；

對于選項D：若，且，則不一定成立，

例如在正方體中，平面平面，

且平面，平面，可知，故D不一定成立；

故選：ACD.

11.已知向量，，則函數(shù)的大致圖象可能為（）

A.B.

C.D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)表示得函數(shù)解析式，然后分，，討論即可.

【詳解】因為，所以.

當(dāng)時，，A正確；

當(dāng)時，的零點為0和，且，B正確，C錯誤；

當(dāng)時，的零點為0和，且，D正確.

故選：ABD.

12.如圖，正方體中，，P為線段上動點，則下列說法正確的是（）

A.B.平面

C.三棱錐的體積為定值D.的最小值為

【答案】ACD

【解析】

【分析】在正方體中，易得平面，可判定A正確；過點作，得到平面即為平面，結(jié)合與不垂直，可判定B不正確；由平面平面，證得平面，得到點到平面的距離等于點點到平面的距離，且為定值，可判定C正確；將繞著展開，使得平面與平面重合，連接，得到時，取得最小值，進(jìn)而可判定D正確.

【詳解】對于A中，如圖（1）所示，在正方體中，連接，

連接，在正方形中，可得，

由平面，平面，所以，

因為且平面，所以平面，

又因為平面，所以，

連接，同理可證平面，因為平面，所以，

因為且平面，所以平面，

因為平面，所以，所以A正確；

對于B中，當(dāng)點不與重合時，過點作，

因為，所以，所以平面即為平面，

如圖所示，在正方形中，與不垂直，

所以與平面不垂直，所以B不正確；

對于C中，分別連接，

在正方體，因為，平面平面，

所以平面，同理可證：平面，

因為且平面，所以平面平面，

因為平面，所以平面，

又因為是上的一動點，

所以點到平面的距離等于點到平面的距離，且為定值，

因為的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，所以C正確；

對于D中，將繞著展開，使得平面與平面重合，

如圖（2）所示，連接，當(dāng)為和的交點時，

即為的中點時，即時，取得最小值，

因為正方體中，，可得，，

在等邊中，可得，在直角中，可得，

所以的最小值為，所以D正確.

故選：ACD.

三、填空題

13.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，則______．

【答案】

【解析】

【分析】利用空間中兩點間的距離公式即可求解.

【詳解】．

故答案為：.

14.若函數(shù)，則________．

【答案】2

【解析】

【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，由內(nèi)而外逐步代入，可得的值

【詳解】

故答案為：2

【點睛】本題考查分段函數(shù)求函數(shù)值，屬于簡單題.

15.如圖所示，已知正三棱柱的所有棱長均為1，則四棱錐的體積為______．

【答案】

【解析】

【分析】利用割補(bǔ)法結(jié)合柱體、錐體的體積公式運算求解.

【詳解】由題意可得：正三棱柱的體積，

三棱錐的體積，

所以四棱錐的體積.

故答案為：.

16.三棱錐的四個頂點點在同一球面上，若底面，底面是直角三角形，，則此球的表面積為___________.

【答案】

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，確定出三棱錐外接球球心，進(jìn)而求出球半徑作答.

【詳解】在三棱錐中，底面，平面，則，，

由是直角三角形，，得，而，平面，

于是平面，又平面，因此，取中點，連接，如圖，

從而，點是三棱錐外接球球心，

則，

所以三棱錐外接球的表面積.

故答案為：

四、解答題

17.已知棱長為5，底面為正方形，各側(cè)面均為正三角形的四棱錐．

（1）求它的表面積；

（2）求它的體積.

【答案】（1）；

（2）﹒

【解析】

【分析】(1)四棱錐表面積為四個側(cè)面等邊三角形面積和底面正方形面積之和；

(2)連接、，AC∩BD＝，連接，則為棱錐的高，求出SO，根據(jù)棱錐體積公式即可求解．

【小問1詳解】

∵四棱錐的各棱長均為5，底面為正方形，各側(cè)面均為正三角形，

∴它的表面積為；

【小問2詳解】

連接、，AC∩BD＝，連接，則為棱錐的高，

則，

故棱錐的體積．

18.如圖，在正方體中，是的中點，分別是的中點，求證：

（1）平面；

（2）平面平面.

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【解析】

【分析】(1)利用線面平行的判定定理即可證明；(2)利用面面平行的判定定理證明.

【小問1詳解】

如圖，連接，∵分別是的中點，∴.

又∵平面，平面，∴直線平面.

【小問2詳解】

連接SD，∵分別是的中點，

∴.又∵平面，平面，

∴平面，由(1)知，平面，

且平面，平面，，

∴平面∥平面.

19.已知中，，，．

（1）求；

（2）求的面積．

【答案】（1）；

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理直接求解.

（2）利用余弦定理求出邊c，再利用三角形面積公式計算即得.

【小問1詳解】

在中，由正弦定理，得，解得，

所以.

【小問2詳解】

由余弦定理，得，

整理得，而，解得，

所以的面積.

20.如圖在邊長是2的正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，的中點．

（1）求異面直線EF與所成角的大小．

（2）證明：平面．

【答案】（1）；（2）證明見解析．

【解析】

【分析】（1）通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用可得解；

（2）利用和，可證得線線垂直，進(jìn)而得線面垂直.

【詳解】據(jù)題意，建立如圖坐標(biāo)系．于是：

，，，，，

∴，，，．

（1），

∴

∴異面直線EF和所成的角為．

（2）

∴，即

，

∴即．

又∵，平面且

∴平面．

21.如圖，已知四邊形是矩形，將矩