第4章投影變換換面法習(xí)題課下一頁返回目錄投影變換就是將空間幾何元素從不利于解題的一般位置變換為和投影面平行或垂直的特殊位置,以利于解題,這種方法稱為投影變換。

換面法空間幾何元素不動，對投影面體系進(jìn)行更換

換面法的四個基本問題:１、把一般位置直線變換為投影面平行線（一次）

2、把投影面平行線變?yōu)橥队懊娲怪本€（一次）３、把一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵妫ㄒ淮危?/p>

４、把投影面垂直面變?yōu)橥队懊嫫叫忻?/p>

（一次）

基于以上四個基本問題可以解決以下兩個問題:１、把一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€（兩次）

２、把一般位置平面變?yōu)橥队懊嫫叫忻妫▋纱危?/p>

上一頁下一頁返回目錄1、求直線實長和與投影面的傾角將直線變換成投影面的平行線。2、求平面實形和形心將平面變換成投影面的平行面。3、求平面與投影面的傾角將平面變換成投影面的垂直面。4、求距離（1）點與直線之間

a將直線變換成投影面垂直線。

b將點與直線組成的平面變換成投影面的平行面。換面法的應(yīng)用上一頁下一頁返回目錄（2）點與平面之間

將平面變換成投影面垂直面。（3）兩平行線之間

將兩直線變換成投影面垂直線。（4）兩平行平面之間

將兩平面變換成投影面垂直面。

5、求夾角（1）兩直線之間

將兩直線組成的平面變換成投影面平行面。（2）兩平面之間

將兩平面變換成投影面的垂直面，即應(yīng)將兩平面的交線變換成投影面的垂直線。上一頁下一頁返回目錄換面法解題的基本過程★分析已給條件的空間情況，弄清原始條件中幾何元素（點、直線、平面等）與原投影面的相對位置?！?/p>

根據(jù)要求得到的結(jié)果，確定出有關(guān)幾何元素對新投影面應(yīng)處于什么樣的特殊位置（垂直或平行），據(jù)此選擇正確的解題思路與方法?！?/p>

在具體作圖過程中，要注意新投影與原投影在變換前后的關(guān)系，既要在新投影體系中正確無誤地求得結(jié)果，又能將結(jié)果返回到原投影體系中去。上一頁下一頁返回目錄【例4-1】過點G作直線與直線AB垂直相交。oxa′b′g′gab

根據(jù)直角投影定理可知，若互相垂直的兩條直線，其中有一條直線平行于某一投影面時，則此兩條直線在該投影面上的投影仍互相垂直。a′b′g′abgoxVH分析o1x1HV1a′1g′1b′1kk′k′1上一頁下一頁返回目錄【例4-2】求平面四邊形ABCD與△EFG的交線，并判別可見性。a′b′c′d′e′f′g′abcdefgoxo1x1V1Ha′1d′1()g′1b′1c′1()f′1e′1m′1n′1mnm′n′分析當(dāng)相交兩平面中有一個是投影面的垂直面時，就可以利用投影面垂直面投影的積聚性確定交線的投影。潤飾上一頁下一頁返回目錄

當(dāng)平面為某一投影面的垂直面時，則點至該平面的垂線為該投影面的平行線。此時點到垂足的距離在該投影面上的投影必反映實長。平行于o1x1軸

真實距離【例4-3】求點A到△BCD的距離及其投影。k′a′b′c′d′akoxVHo1x1HV1bcdaa′11b′()1d′1k′1c′分析上一頁下一頁返回目錄【例4-4】直線MN與△ABC平行且相距20㎜，且知△ABC的兩個投影及MN的正面投影，求作MN的水平投影。oxVHbcaa′b′c′m′n′

因直線MN平行于△ABC且相距20㎜，所以MN必定位于與△ABC平行且相距20㎜的平面P上。當(dāng)△ABC

為投影面的垂直面時作圖簡便，為此選用變換投影面法。

PMNABCacbmn20

變換到利于解題的位置（如圖所示）僅需要一次換面。分析上一頁下一頁返回目錄o1x1HV120PH1oxVHbcaa′b′c′m′n′作圖AD∥OXdd′ma1(d1)c1b1m1n1n（本題兩解）上一頁下一頁返回目錄【例4-5】AB,CD是交叉兩管道，用一最短的管子將它們連接，求出連接管的長度和位置。a′oxVHbcdab′c′d′

由立體幾何知，兩交叉直線的最短距離是它們的公垂線。若兩交叉直線中有一條直線(AB)為某一投影面的垂直線時，則兩交叉直線的公垂線(KG)一定是該投影面的平行線，則在該投影面上投影反映公垂線的實長。ABCDGa(b)cdkgK公垂線分析上一頁下一頁返回目錄a′bcdab′c′d′oxVHo1x1HV1o2x2V1H2c′1d′1b′1a′1c2d2g2b2(a2)k2kgk′g′k′1g′1作圖上一頁下一頁返回目錄【例4-6】求漏斗兩個相鄰側(cè)面ABCD及ABFE之間夾角的真實大小。()d′b′()c′a′e′f′abcdef

當(dāng)兩平面同時垂直于一個投影面時，它們在該投影面上的投影均積聚為直線，此兩直線的夾角就反映了兩平面間的真實夾角。θABCDEFabcdef

將交線AB變換為投影面的垂直線即可，須經(jīng)兩次換面。分析上一頁下一頁返回目錄()d′b′()c′a′e′f′abcdefOXVHO1x1V1HO2x2H2V1a′1b′1c′1e′1e2a2()b2c2作圖θ真實夾角上一頁下一頁返回目錄【例4-9】過點A作直線AB∥⊿DEF，并與MN相交于點B。OXHVf′d′e′am′n′mna′edf分析

解題的有利位置是，使⊿DEF成為新投影面的垂直面。上一頁下一頁返回目錄oxHVd′1f′d′e′am′n′mna′edfb′bo1x1HV1a′1n′1f′1b′1m′1k′k∥f′1d′1上一頁下一頁返回目錄K點距離AB直線為15㎜，所以K點應(yīng)在以AB直線為軸線、半徑15㎜的圓柱面上，另外K點還應(yīng)在包含K′的水平面上。通過兩軌跡的交可得K點的水平投影。Vb′a′【例4-10】作⊿ABK，使AB邊上的高為15㎜。（ab∥ox）′′aba′b′k′kkaboxxoV1HVHR15分析本題兩解k′kkxx1動畫ABKKa′1b′1k′1k’1上一頁下一頁返回目錄【例4-11】已知直線AB的兩面投影，過A作直線AC，使其與直線AB垂直，與H面夾角60°，且C點在H面上方8㎜。oxVHa′b′abABPCC

由題意可知，直線AC應(yīng)位于過A點垂直于AB的平面P上；由夾角條件，AC還應(yīng)是以A點為錐頂、以過A點的鉛垂線為軸線、底角為60°的圓錐面上的素線。由C點的高度條件可知，它應(yīng)位于在H面上方8㎜高的水平面上。（即在P平面上的高8㎜一條水平線上）P平面與圓錐面的交線與水平面的交點即為所求。本題有兩解圖解分析上一頁下一頁返回目錄oxVHa′b′ab