專題01解一元二次方程一．選擇題（共4小題）1．（2022春?惠山區(qū)校級期末）一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0，配方后可變形為（）A．（x﹣4）2＝17 B．（x﹣4）2＝18 C．（x﹣8）2＝1 D．（x﹣4）2＝1【分析】方程移項后，利用完全平方公式配方得到結果，即可作出判斷．【解答】解：方程x2﹣8x﹣1＝0，整理得：x2﹣8x＝1，配方得：x2﹣8x+16＝17，即（x﹣4）2＝17．故選：A．【點評】此題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．2．（2022春?如皋市期末）關于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有兩個相等的實數(shù)根，則m的值是（）A．9 B．10 C．11 D．12【分析】根據(jù)方程有兩個相等的實數(shù)根，得到根的判別式等于0，求出m的值即可．【解答】解：∵關于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝36﹣4m＝0，解得：m＝9．故選：A．【點評】此題考查了根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式的意義是解本題的關鍵．3．（2022春?吳江區(qū)期末）新定義運算：a※b＝a2﹣ab+b，例如2※1＝22﹣2×1+1＝3，則方程x※2＝5的根的情況為（）A．沒有實數(shù)根 B．有一個實數(shù)根 C．有兩個相等的實數(shù)根 D．有兩個不相等的實數(shù)根【分析】先利用新定義得到x2﹣2x+2＝5，再把方程化為一般式，接著計算根的判別式的值，然后根據(jù)根的判別式的意義判斷方程根的情況．【解答】解：∵x※2＝5，∴x2﹣2x+2＝5，即x2﹣2x﹣3＝0，∵Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣3）＝16＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選：D．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．4．（2022春?宿豫區(qū)期末）下列關于x的方程中，一定有兩個不相等的實數(shù)根的是（）A．x2﹣4x+4＝0 B．x2﹣mx+4＝0 C．x2﹣4x﹣m＝0 D．x2﹣4x﹣m2＝0【分析】先求出Δ的值，再比較出其與0的大小即可求解．【解答】解：A、Δ＝（﹣4）2﹣4×1×4＝0，該方程有兩個相等的實數(shù)根，不符合題意；B、Δ＝（﹣m）2﹣4×1×4＝m2﹣16，可能小于等于0，不一定有兩個不相等的實數(shù)根，不符合題意；C、Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）＝16+4m，可能小于等于0，不一定有兩個不相等的實數(shù)根，不符合題意；D、Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）2＝16+4m2＞0，一定有兩個不相等的實數(shù)根，符合題意．故選：D．【點評】本題考查的是根的判別式，熟知一元二次方程的根與△的關系是解答此題的關鍵．二．填空題（共4小題）5．（2022春?寶應縣期末）一個直角三角形的兩條邊長分別是方程x2﹣7x+12＝0的兩根，則該直角三角形的面積是6或372【分析】先解出方程x2﹣7x+12＝0的兩個根為3和4，再分長是4的邊是直角邊和斜邊兩種情況進行討論，然后根據(jù)直角三角形的面積公式即可求解．【解答】解：∵x2﹣7x+12＝0，∴x＝3或x＝4．①當長是4的邊是直角邊時，該直角三角形的面積是12×3×4＝②當長是4的邊是斜邊時，第三邊是42-32=故答案為：6或37【點評】本題考查了一元二次方程的解法，三角形的面積，正確求解方程的兩根，能夠分兩種情況進行討論是解題的關鍵．6．（2022春?亭湖區(qū)校級期末）一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方為（x﹣2）2＝k，則k的值是1．【分析】根據(jù)配方法可以將題目中方程變形，然后即可得到k的值．【解答】解：∵x2﹣4x+3＝0，∴x2﹣4x＝﹣3，∴x2﹣4x+4＝﹣3+4，∴（x﹣2）2＝1，∵一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方為（x﹣2）2＝k，∴k＝1，故答案為：1．【點評】本題考查解一元二次方程—配方法，解答本題的關鍵是明確題意，會用配方法將方程變形．7．（2020秋?泰興市期末）已知關于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則a的取值范圍是a＜3且a≠2．【分析】根據(jù)二次項系數(shù)非零結合根的判別式Δ＞0，即可得出關于a的一元一次不等式組，解之即可得出結論．【解答】解：∵關于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴a-解得：a＜3且a≠2．故答案為：a＜3且a≠2．【點評】本題考查了根的判別式，根據(jù)二次項系數(shù)非零結合根的判別式Δ＞0，列出關于a的一元一次不等式組是解題的關鍵．8．（2021秋?溧陽市期末）若一元二次方程x2﹣4x+k+2＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是k＜2．【分析】根據(jù)根的判別式得出Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（k+2）＞0，再求出不等式的解集即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+k+2＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（k+2）＝8﹣4k＞0，解得：k＜2，故答案為：k＜2．【點評】本題考查了根的判別式和解一元一次不等式，能根據(jù)根的判別式得出關于k的不等式是解此題的關鍵．三．解答題（共4小題）9．（2022春?姜堰區(qū)期末）解下列方程：（1）x2﹣6x﹣4＝0；（2）x+1x-【分析】（1）移項后配方，開方，即可得出兩個一元一次方程，再求出方程的解即可；（2）方程兩邊都乘（x+1）（x﹣1）得出（x+1）2﹣4＝（x+1）（x﹣1），求出方程的解，再進行檢驗即可．【解答】解：（1）x2﹣6x﹣4＝0，x2﹣6x＝4，配方，得x2﹣6x+9＝4+9，（x﹣3）2＝13，開方得：x﹣3=±解得：x1＝3+13，x2＝3-（2）x+1x-x+1x-方程兩邊都乘（x+1）（x﹣1），得（x+1）2﹣4＝（x+1）（x﹣1），解得：x＝1，檢驗：當x＝1時，（x+1）（x﹣1）＝0，所以x＝1是增根，即原方程無解．【點評】本題考查了解一元二次方程和解分式方程，能正確配方是解（1）的關鍵，能把分式方程轉化成整式方程是解（2）的關鍵．10．（2022春?玄武區(qū)期末）已知關于x的一元二次方程2x2﹣3mx+m2+m﹣3＝0（m為常數(shù)）．（1）求證：無論m為何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根：（2）若x＝2是方程的根，則m的值為5±5【分析】（1）根據(jù)根的判別式求出Δ＝（m﹣4）2+8，再根據(jù)根的判別式得出答案即可；（2）把x＝2代入方程，得出關于m的一元二次方程，再求出方程的解即可．【解答】（1）證明：2x2﹣3mx+m2+m﹣3＝0，Δ＝（﹣3m）2﹣4×2×（m2+m﹣3）＝9m2﹣8m2﹣8m+24＝m2﹣8m+24＝（m﹣4）2+8，因為不論m為何值，（m﹣4）2≥0，即Δ＞0，所以無論m為何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根：（2）解：把x＝2代入方程2x2﹣3mx+m2+m﹣3＝0得：2×22﹣3m×2+m2+m﹣3＝0，整理得：m2﹣5m+5＝0，解得：m=5故答案為：5±【點評】本題考查了解一元二次方程，根的判別式，一元二次方程的解等知識點，能熟記根的判別式的內容和一元二次方程的解的定義是解此題的關鍵．11．（2022春?張家港市期末）利用我們學過的完全平方公式及不等式知識能解決方程或代數(shù)式的一些問題，請閱讀下列材料：閱讀材料：若m2﹣2mm+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：（1）已知a2+4ab+5b2+6b+9＝0，求a＝6，b＝﹣3；（2）已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，求c的值；（3）若A＝3a2+3a﹣4，B＝2a2+4a﹣6，試比較A與B的大小關系，并說明理由．【分析】（1）將a2+4ab+5b2+6b+9＝0的左邊分組配方，然后根據(jù)偶次方的非負性，可求出a，b的值；（2）將a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0的左邊分組配方，然后根據(jù)偶次方的非負性，可求出a，b的值，根據(jù)三角形的三邊關系求出c；（3）讓多項式3a2+3a﹣4與2a2+4a﹣6作差，結果配方，根據(jù)偶次方的非負性判斷大?。窘獯稹拷猓海?）a2+4ab+5b2+6b+9＝a2+4ab+4b2+b2+6b+9＝（a+2b）2+（b+3）2＝0，∴a+2b＝0，b+3＝0，解得a＝6，b＝﹣3．故答案為：6，﹣3；（2）a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝a2﹣4a+4+2b2﹣4b+2＝（a﹣2）2+2（b﹣1）2＝0，∴a﹣2＝0，b﹣1＝0，解得a＝2，b＝1，∵a、b、c是△ABC的三邊長，∴1＜c＜3，∵c是正整數(shù)，∴c＝2；（3）A＞B，理由如下：∵A＝3a2+3a﹣4，B＝2a2+4a﹣6，A﹣B＝3a2+3a﹣4﹣（2a2+4a﹣6）＝3a2+3a﹣4﹣（2a2+4a﹣6）＝3a2+3a﹣4﹣2a2﹣4a+6＝a2﹣a+2＝（a-12）2∵（a-12）2≥∴（a-12）2+∴A＞B．【點評】本題考查了配方法的應用，結合偶次方的非負性求值的問題，本題屬于中檔題．12．（2021春?無錫期末）閱讀材料：我們知道，利用完全平方公式可將二次三項式a2±2ab+b2分解成（a±b）2，而對于a2+2a﹣3這樣的二次三項式，則不能直接利用完全平方公式進行分解，但可先用“配方法”將其配成一個完全平方式，再利用平方差公式，就可進行因式分解，過程如下：a2+2a﹣3＝a2+2a+1﹣1﹣3＝（a+1）2﹣4＝（a+1+2）（a+1﹣2）＝（a+3）（a﹣1）．請用“配方法”解決下列問題：（1）分解因式：a2﹣6a+5．（2）已知ab=34，a+2b＝3，求a2﹣2ab+4b（3）若將4x2+12x+m分解因式所得結果中有一個因式為x+2，試求常數(shù)m的值．【分析】（1）利用已知結合完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案；（2）利用完全平方公式將a2﹣2ab+4b2進行因式分解，轉化為含有ab=34，a+2b＝（3）設另一個因式為4x+n，將（x+2）（4x+n）展開，得出一次項的系數(shù)，繼而求出m的值．【解答】解：（1）a2﹣6a+5＝a2﹣6a+9﹣4＝（a﹣3）2﹣4＝（a﹣3+2）（a﹣3﹣2）＝（a﹣1）（a﹣5）；（2）∵ab=34，a+2b＝∴a2﹣2ab+4b2＝a2+4ab+4b2﹣6ab＝（a+2b）2﹣6ab＝32﹣6×3（3）4x2+12x+m＝4（x2+3x+m4）＝4[（x+32∵有一個因式為x+2，∴9-m4=（12∴9﹣m＝1，∴m＝8．【點評】本題考查了平方差公式，完全平方公式，配方法的應用等知識，掌握公式的應用是解題的關鍵．一．選擇題（共4小題）1．（2021春?秦淮區(qū)期末）一元二次方程ax2+2x+1＝0有兩個相等的實數(shù)根，則a的值是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根據(jù)方程有兩個相等的實數(shù)根得出b2﹣4ac＝0，再求出a即可．【解答】解：∵一元二次方程ax2+2x+1＝0有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×a×1＝4﹣4a＝0，解得：a＝1，故選：B．【點評】本題考查了根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：（1）Δ＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）Δ＝0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒有實數(shù)根．2．（宿遷期末）若關于x的方程kx2﹣x+4＝0有實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k≤16 B．k≤1C．k≤16，且k≠0 D．k≤116，且k【分析】分類討論：當k＝0，方程變形為﹣x+4＝0，此一元一次方程有解；當k≠0，Δ＝（﹣1）2﹣4×k×4≥0，方程有兩個實數(shù)解，得到k≤116且k≠0，然后綜合兩種情況即可得到實數(shù)【解答】解：當k＝0時，﹣x+4＝0，此時x＝4，有實數(shù)根；當k≠0時，∵方程kx2﹣x+4＝0有實數(shù)根，∴Δ＝（﹣1）2﹣4×k×4≥0，解得：k≤1此時k≤116且k≠綜上，k≤1故選：B．【點評】本題主要考查根的判別式，解題的關鍵是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac間的關系：①當Δ＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當Δ＝0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；③當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．3．（常熟市期末）已知關于x的方程x2+kx+1＝0和x2﹣x﹣k＝0有一個根相同，則k的值為（）A．﹣1 B．0 C．﹣1或2 D．2【分析】把兩個方程相減，求出x的值，代入求出k的值．【解答】解：方程x2+kx+1＝0減去x2﹣x﹣k＝0，得（k+1）x＝﹣k﹣1，當k+1≠0時，解得：x＝﹣1．把x＝﹣1代入方程x2﹣x﹣k＝0，解得k＝2．當k+1＝0時，k＝﹣1代入方程得x2﹣x+1＝0在這個方程中Δ＝1﹣4＝﹣3＜0，方程無解．故選：D．【點評】靈活求出方程的一個根，代入求出k的值．4．（如皋市校級期末）對于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列說法：①若b＝2ac，則方程ax2+bx+c＝0一定有兩個相等的實數(shù)根；②若方程ax2+bx+c＝0有兩個不等的實數(shù)根，則方程x2﹣bx+ac＝0也一定有兩個不等的實數(shù)根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一個根，則一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，則b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，其中正確的（）A．只有①②③ B．只有①②④ C．①②③④ D．只有③④【分析】判斷上述方程的根的情況，只要看根的判別式Δ＝b2﹣4ac的值的符號就可以了．④難度較大，用到了求根公式表示x0．【解答】解：①若b＝2ac，方程兩邊平方得b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0，所以方程ax2+bx+c＝0一定有兩個相等的實數(shù)根；②若方程ax2+bx+c＝0有兩個不等的實數(shù)根，則b2﹣4ac＞0方程x2﹣bx+ac＝0中根的判別式也是b2﹣4ac＞0，所以也一定有兩個不等的實數(shù)根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一個根，則一定有ac2+bc+c＝0成立，當c≠0時ac+b+1＝0成立；當c＝0時ac+b+1＝0不成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，可得x0=-b±把x0的值代入（2ax0+b）2，可得b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，綜上所述其中正確的①②④．故選：B．【點評】此題主要考查了根的判別式及其應用．尤其是④難度較大，用到了求根公式表示x0，整體代入求b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．總結：一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）Δ＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）Δ＝0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒有實數(shù)根．二．填空題（共4小題）5．（2020秋?新吳區(qū)期末）若關于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍為m＜4．【分析】根據(jù)判別式的意義得到Δ＝（﹣4）2﹣4m＞0，然后解不等式即可．【解答】解：∵關于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴Δ＝（﹣4）2﹣4m＞0，解得：m＜4．故答案為：m＜4．【點評】此題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac：當Δ＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0，方程沒有實數(shù)根．6．（鼓樓區(qū)期末）如果關于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的兩個根分別是x1＝m+1與x2＝2m﹣4，那么ba的值為4【分析】先求出方程的根，得出關于m的不等式，求出m的值，代入后即可求出答案．【解答】解：解方程ax2＝b得：x2=b∵關于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的兩個根分別是x1＝m+1與x2＝2m﹣4，∴（m+1）2=ba，（2m﹣4）2∴b＝a（m+1）2，b＝a（﹣2m+4）2，∵關于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的兩個根分別是x1＝m+1與x2＝2m﹣4，∴m+1＝﹣2m+4（m+1和﹣2m+4互為相反數(shù)），解得：m＝1，方程的兩根為±2，即4=bb＝4a，∴ba=故答案為：4．【點評】本題考查了解一元二次方程和解一元一次方程，能得出關于m的一元一次方程轉是解此題的關鍵．7．（鎮(zhèn)江期末）已知△ABC的三邊分別是a、b、c，且滿足a-3+b2-4b+4=0【分析】由兩非負數(shù)之和為0，兩非負數(shù)分別為0求出a與b的值，利用三角形的三邊關系即可得出c的范圍．【解答】解：∵a-3+（b﹣2）2∴a﹣3＝0，b﹣2＝0，解得：a＝3，b＝2，則c的范圍為3﹣2＜c＜3+2，即1＜c＜5．故答案為：1＜c＜5【點評】此題考查了配方法的應用，非負數(shù)的性質，以及三角形的三邊關系，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．8．（濱湖區(qū)期末）已知關于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m為常數(shù)，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解x3＝0，x4＝﹣3．【分析】把后面一個方程中的x+2看作整體，相當于前面一個方程中的x求解．【解答】解：∵關于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1，（a，m，b均為常數(shù)，a≠0），∴方程a（x+m+2）2+b＝0變形為a[（x+2）+m]2+b＝0，即此方程中x+2＝2或x+2＝﹣1，解得x＝0或x＝﹣3．故答案為：x3＝0，x4＝﹣3．【點評】此題主要考查了方程解的定義．注意由兩個方程的特點進行簡便計算．三．解答題（共4小題）9．（2021秋?盱眙縣期末）已知關于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求證：k取任何實數(shù)值，方程總有實數(shù)根；（2）若等腰△ABC的一邊長為4，另兩邊長m，n恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．【分析】（1）計算其判別式，得出判別式不為負數(shù)即可；（2）當邊長為4的邊為腰時，則可知方程有一個根為4，代入可求得k的值，則可求得方程的另一根，可求得周長；當邊長為4的邊為底時，可知方程有兩個相等的實數(shù)根，可求得k的值，再解方程即可．【解答】（1）證明：∵Δ＝（k+2）2﹣8k＝k2+4k+4﹣8k＝（k﹣2）2≥0，∴無論k取何值，方程總有實數(shù)根；（2）解：當邊長為4的邊為腰時，則可知方程有一個實數(shù)根為4，∴16﹣4（k+2）+2k＝0，解得k＝4，∴方程為x2﹣6x+8＝0，解得x＝4或x＝2，∴m、n的值分別為2、4，∴△ABC的周長為10；當邊長為4的邊為底時，則m＝n，即方程有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝0，即（k﹣2）2＝0，解得k＝2，∴方程為x2﹣4x+4＝0，解得m＝n＝2，此時2+2＝4，不符合三角形的三邊關系，舍去；綜上可知△ABC的周長為10．【點評】本題主要考查根的判別式，掌握方程根的情況與判別式的關系是解題的關鍵．10．（玄武區(qū)期末）已知：關于x的方程x2﹣2（k﹣2）x+k2﹣2k﹣2＝0．（1）若這個方程有實數(shù)根，求k的取值范圍．（2）若此方程有一個根是1，求k的值．【分析】（1）根據(jù)方程有實數(shù)根結合根的判別式，即可得出Δ＝﹣8k+24≥0，解之即可得出k的取值范圍；（2）將x＝1代入原方程，解之即可求出k值．【解答】解：（1）∵關于x的方程x2﹣2（k﹣2）x+k2﹣2k﹣2＝0有實數(shù)根，∴Δ＝[﹣2（k﹣2）]2﹣4（k2﹣2k﹣2）＝﹣8k+24≥0，解得：k≤3．（2）將x＝1代入原方程得1﹣2（k﹣2）+k2﹣2k﹣2＝k2﹣4k+3＝（k﹣1）（k﹣3）＝0，解得：k1＝1，k2＝3．【點評】本題考查了根的判別式以及因式分解法解一元二次方程，解題的關鍵是：（1）根據(jù)方程有實數(shù)根，找出Δ＝﹣8k+24≥0；（2）將x＝1代入原方程求出k值．11．（鼓樓區(qū)校級期末）學習了完全平方公式以后，小明有了下面的發(fā)現(xiàn)：因為x2﹣2x+2＝（x2﹣2x+1）+1＝（x﹣1）2+1，不論x取什么值，（x﹣1）2≥0，所以（x﹣1）2+1≥1．因此，代數(shù)式x2﹣2x+2的值不小于1．這種把一個多項式或一個多項式中的某一部分化為一個完全平方式或幾個完全平方式和的方法，稱為配方法．請用配方法解決下列問題：（1）填空：①a2+6a+15＝（a+3）2+6．②若（a﹣1）2+b2+4b+4＝0，則a＝1，b＝﹣2．（2）已知m2+4m+n2﹣6n+13＝0，求m、n的值．（3）比較代數(shù)式3x3+2x2