...wd......wd......wd...函數(shù)極限連續(xù)微積分研究的對象是函數(shù)，函數(shù)這局部的重點(diǎn)是：復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)和分段函數(shù)及函數(shù)記號的運(yùn)算.極限是微積分的理論根基，微積分中的重要概念，如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分等實(shí)質(zhì)上是各種類型的極限，既要準(zhǔn)確理解極限的概念、性質(zhì)和極限存在的條件，又要能準(zhǔn)確地求出各種極限，求極限的方法主要有：①利用極限的四則運(yùn)算冪指數(shù)運(yùn)算法則;②利用洛必達(dá)法則;③利用函數(shù)的連續(xù)性;④利用變量替換與兩個重要極限(利用幾個重要的等價(jià)無窮小因子替換求極限);⑤數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限;⑥利用夾逼定理;⑦利用遞推數(shù)列先證明再求出極限;⑧利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限.函數(shù)的連續(xù)性是通過極限定義的,判斷函數(shù)的連續(xù)性及函數(shù)連續(xù)點(diǎn)的類型等問題在本質(zhì)上極是求極限,所以連續(xù)仍是本章的重點(diǎn).要求掌握判斷函數(shù)連續(xù)性及求連續(xù)點(diǎn)的方法，特別是分段函數(shù)在連接點(diǎn)處的連續(xù)性，會判別函數(shù)連續(xù)點(diǎn)的類型.函數(shù)的許多重要性質(zhì)都與連續(xù)性有關(guān),要求掌握有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.本章在歷年數(shù)學(xué)一試題中的分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)年份878889909192939495969798990001020304分?jǐn)?shù)56835338358一、知識網(wǎng)絡(luò)圖二、典型錯誤分析例1．設(shè)分段函數(shù),求[錯解][錯因分析]無視了改變自變量形式的同時,要相應(yīng)地考慮定義域的變化這個關(guān)鍵點(diǎn).[正確解]即類似地例2.證明[錯證]要使,則應(yīng)有.注意到,則有,故取,則當(dāng)時,恒有,即[分析]由,推出是正確的.而錯在由而取這一步上.事實(shí)上,這樣得到的,當(dāng)時并不能保證一定成立.例如,取,按以上解法,只要則[正確證明]令,則.注意到,當(dāng)時,,于是或,也就是,故對取,當(dāng)時,便有,所以例3.求.[錯解]=－,因?yàn)榕c均不存在,故原式極限不存在.[錯因分析]極限的運(yùn)算法則是在參與運(yùn)算的兩個函數(shù)極限都存在的條件下適用的,此題錯在誤解了極限的運(yùn)算法則.[正確解]由于,當(dāng)時,,而,故,于是原式等于零.例4.求.[錯解]利用洛必達(dá)法則,注意到極限不存在,故原式=的極限也不存在.[錯因分析]不滿足洛必達(dá)法則的條件,故此題不能用洛必達(dá)法則解,錯因是無視了洛必達(dá)法則僅是極限存在的充分條件而非必要條件.[正確解]原式==.例5.設(shè)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)存在,求[錯解]利用洛必達(dá)法則,則原式==.[錯因分析]在推導(dǎo)出結(jié)果時使用了二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件,此題并無這樣的假設(shè).[正確解]===.例6.求.[錯解]原式==.[錯因分析]將誤寫成是問題所在.[正確解]原式=由于;故原極限不存在.例7.求().[錯解]當(dāng)時,.當(dāng)時,;當(dāng)時,.綜上所述,故有=.[錯因分析]當(dāng)時,誤認(rèn)為,而由可知,僅當(dāng)時,才有.[正確解]將上述變量的取值點(diǎn)改為,其余不變,則=.例8.設(shè),求證:,當(dāng)時,有.[錯證]由題設(shè),當(dāng)時,有;又由假設(shè),,當(dāng)時,有.取,則當(dāng)時,就有.[錯因分析]主要是沒搞清表示的什么角色,既然任意取定,它們就應(yīng)看作常數(shù),而最后一步又視它們?yōu)樽兞?顯然是矛盾的.[正確證明]由假設(shè),,當(dāng)時,則.對于,同時有,,于是.例9.設(shè)在內(nèi)連續(xù),且,存在,證明:在上一致連續(xù).[錯解]由,,當(dāng)時,有;于是,當(dāng)時,有可知在上一致連續(xù).同理,由,,當(dāng)時,有.可知在上一致連續(xù).又因?yàn)樵谏线B續(xù),故在上一致連續(xù).綜上所述,在上一致連續(xù).[錯因分析]對一致連續(xù)的定義記憶不清、理解有誤.[正確證明]由,,當(dāng)時,有,故當(dāng)時,且時,,可知在上一致連續(xù).同理可證當(dāng)時,即知在上一致連續(xù).又因?yàn)樵谏线B續(xù),因此,當(dāng)時,有,故在上一致連續(xù).綜上各項(xiàng),取,當(dāng)時,便有即在上一致連續(xù).例10.求的連續(xù)點(diǎn)并判別類型.[錯解]當(dāng),即時,函數(shù)無定義,又因,故為的第二類連續(xù)點(diǎn).[錯因分析]有兩個問題:遺漏了使無定義的點(diǎn),這些點(diǎn)也是的連續(xù)點(diǎn).②由于,故不是第二類連續(xù)點(diǎn).[正確解]的定義點(diǎn)和零點(diǎn)分別為:和又因,,.故及為第一類可去連續(xù)點(diǎn);而為第二類連續(xù)點(diǎn).三、綜合題型分析例11.設(shè)則是(A)偶函數(shù)(B)無界函數(shù)(C)周期函數(shù)(D)單調(diào)函數(shù)[答案]〔B〕[分析一]有正下界:;和無界,在的定義域在存在數(shù)列滿足,可證無界.[解一]設(shè)=,于是=,即無界.因此選(B)[分析二]用排除法,不是周期函數(shù),也有函數(shù)值一樣的點(diǎn),可以證明當(dāng)時,不是偶函數(shù).[解二]由,知不是單調(diào)函數(shù).由于=,不是偶函數(shù).又也不是周期函數(shù),因此選(B).例12．設(shè)和在內(nèi)有定義，為連續(xù)函數(shù)，且，有連續(xù)點(diǎn)，則〔〕〔A〕必有連續(xù)點(diǎn)〔B〕必有連續(xù)點(diǎn)〔C〕必有連續(xù)點(diǎn)〔D〕必有連續(xù)點(diǎn)[答案]〔D〕[分析]用反證法證明必有連續(xù)點(diǎn).假設(shè)沒有連續(xù)點(diǎn),即為連續(xù)函數(shù).因連續(xù),故=連續(xù),與有連續(xù)點(diǎn)矛盾.用例舉法說明其余三個選項(xiàng)不正確.對于(A),設(shè)=為連續(xù)點(diǎn),連續(xù),而=1連續(xù),無連續(xù)點(diǎn).對于(B),設(shè)=為連續(xù)點(diǎn),而連續(xù),無連續(xù)點(diǎn).對于(C),設(shè)=,則=連續(xù),無連續(xù)點(diǎn).從而,(A)、(B)、(C)必有連續(xù)點(diǎn)的說法不正確,選(D).例13．設(shè)處處連續(xù),求的值.[分析與求解]首先求出.注意到即應(yīng)分段求出.當(dāng)時,==;當(dāng)時,=.于是得其次,由初等函數(shù)的連續(xù)性,當(dāng)>1,<1時分別與初等函數(shù)相等,故連續(xù).最后,考察分段函數(shù)的連接點(diǎn)處的連續(xù)性.根據(jù)定義,分別計(jì)算,;;在連續(xù)在連續(xù)因此在均連續(xù)故僅當(dāng)時處處連續(xù).例14．設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且假設(shè)在時是比高階的無窮小,試確定的值.[分析]題設(shè)可知是無窮小量,故其極限為零.在時是比高階的無窮小,也可得到關(guān)于的關(guān)系式.[解一]由題設(shè)條件知.由于,故必有.又由洛必達(dá)法則,有因,故.由可得.[解二]由條件可知所以=從而.即當(dāng)時,有=.例15．設(shè)函數(shù)在上連續(xù),且,利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì),證明存在一點(diǎn),使.[分析]此題要求利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)證明,實(shí)際是給出了提示,說明可以用介值定理或零值定理證明.[證一]因?yàn)樵谏线B續(xù),且,由最值定理知,在上有最大值和最小值,即,故于是.因此.由介值定理知,存在,使,即.[證二]設(shè),由于在上連續(xù),,故在上連續(xù),且有最大值,最小值,其中,.所以故由零值定理可知,存在(或)使.即.故例16．求[分析]求極限的題目變換靈活,方法多樣,此題是冪指型函數(shù),可采用多種變換方式.[解一]點(diǎn).故=.所以==9.[解二]==.所以===.[解三]==,=,所以===.例17．確定以下各題中指定常數(shù)的值.(17.1)當(dāng)時,與是等價(jià)無窮小,求的值.[分析一]因?yàn)榕c是等價(jià)無窮小,顯然由極限式來確定的值.可通過等價(jià)無窮小量代換來求解.[解一],,所以有而,故,所以,顯然為任意實(shí)常數(shù).[分析二]由條件有極限式,顯然是型未定式,故可用洛必塔法則.[解二],而,所以,顯然為任意實(shí)常數(shù).(17.2),求的值.[分析]像這種類型的極限,此未定式的極限存在且等于2,要確定極限式中的參數(shù).一般有兩種方法:方法1直接將所給無理式有理化定出極限式中所含參數(shù)之值;方法2先提出因子,將型化為型,然后由極限式存在的條件定出極限式中所含參數(shù)之值.[解一]原式可改寫成.由于上式成立,所以必有,即=0,.將代入原式,并有理化得=.故,.[解二]原式改寫成.由于上式成立,所以必有,即=0,.是型.,,而,故有,.[解三]=.因此有,故.(17.3)設(shè)存在極限，求常數(shù)與.[分析與求解]時,極限不存在.時原極限為型極限,改寫成.當(dāng)時,時,極限均不存在,于是必有,即,此時.因此例18．證明有無窮多個正根,并指明這一事實(shí)的幾何意義.[分析]要用連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理來證明有無窮多個正根,只要給出無窮多個點(diǎn)使得與異號.[證明]令,,則由,,使得==0,且[幾何意義]令,有無窮多個正根的幾何意義是:曲線與軸的正半軸有無窮多個交點(diǎn).假設(shè)將方程改寫為,它有無窮多個正根的另一幾何意義是:曲線與當(dāng)時有無窮多個交點(diǎn).例19．設(shè).(1)求證:對任意自然數(shù),方程有唯一正根,記為.(2)單調(diào)下降(不證明),求.[分析與求解](1)令則在可導(dǎo),又使即又在單調(diào)上升,在有唯一零點(diǎn)即.(2)單調(diào)下降,且,故單調(diào)下降有下界,存在極限.注意因單調(diào)下降,.在上式中令,得因此例20．設(shè)數(shù)列滿足，，求它的極限.[分析]由這是一個遞歸數(shù)列,如何求其極限呢?先假定,對兩邊取極限,得,由此式假設(shè)能唯一地解出,我們就求出了這個極限值.此極限是在收斂的前提下求得的,因此用這種方法求遞推數(shù)列的極限時,還必須證明這個數(shù)列是收斂的,而判定一個數(shù)列的收斂性,可以用單調(diào)有界數(shù)列必收斂這一準(zhǔn)則.[解]首先假定,則對遞歸方程取極限得.由此得方程的正根.以下證明數(shù)列單調(diào)有界,用歸納法.假設(shè),那么即對一切都有.由于而從前面已證出的可知,,即故數(shù)列單調(diào)下降,且有下界,從而存在,且=.四、考研試題分析例21．(1990年高數(shù)一)設(shè)是非零常數(shù)，則.[答案].[分析]此題主要考察型極限的求法.將所求極限“湊〞成根本極限的形式；利用以下結(jié)論：假設(shè)且則；利用洛必達(dá)法則求解.[解一].當(dāng)時,則對一切的,有[解二],又則[解三]例22．(1991年高數(shù)一)當(dāng)時,與是等價(jià)無窮小,則常數(shù)[答案].[分析]利用等價(jià)無窮小的概念和等價(jià)無窮小代換:當(dāng)時,.[解]由于時,,,則即例23．(1992年高數(shù)一)當(dāng)時,函數(shù)的極限(A)等于2.(B)等于0.(C)為.(D)不存在但不為.[答案].(D)[分析]注意到函數(shù)左、右極限,[解]由于=而=則時,函數(shù)的極限不存在,但不是例24(1994年高數(shù)一)設(shè)其中則必有(A).(B).(C).(D).[答案](D).[分析]運(yùn)用極限的四則運(yùn)算法則.此題的關(guān)鍵是確定分子和分母中最低階無窮小項(xiàng)的階數(shù),由于時,,則分子和分母的最低階無窮小項(xiàng)分別為和,它們都是的一階無窮小,則分子分母同除問題很快得到解決.[解一],又則從而.[解二]分母極限不為零可用商的運(yùn)算法則..從而.例25(1998年高數(shù)三)設(shè)函數(shù),討論函數(shù)的連續(xù)點(diǎn),其結(jié)論為.(A)不存在連續(xù)點(diǎn).(B)存在連續(xù)點(diǎn).(C)存在連續(xù)點(diǎn).(D)存在連續(xù)點(diǎn).[答案](B).[解]顯然不是連續(xù)點(diǎn);當(dāng)時,也不是連續(xù)點(diǎn).討論當(dāng)時,,;當(dāng)時,,.在處連續(xù).應(yīng)選(B).例26(1999年高數(shù)四)設(shè)函數(shù),則[答案].[解]==例27(1998年高數(shù)二)設(shè)數(shù)列與滿足,則以下斷言正確的選項(xiàng)是_____.[答案](D).[分析與求解]用排除法易將(A)、(B)排除掉,容易產(chǎn)生麻煩的是(C),假設(shè)(C)成立,則顯然有;但反過來卻未必全成立.例如取,則只要,就有,而不必是無窮小.對于(D),假設(shè)為無窮小,等價(jià)于為無窮大,即當(dāng)時,又,故當(dāng)時,,取,當(dāng)時,即,是無窮小.例28(1996年高數(shù)二)[答案]2.[解一]同理[解二]時，.[解三].=2.例29(1996年高數(shù)一)設(shè),(),試證數(shù)列極限存在,并求此極限.[分析]這種由遞推關(guān)系定義的數(shù)列極限問題,一方面用單調(diào)有界準(zhǔn)則證明極限存在,另一方面等式兩邊取極限求出極限.[證明一]用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列單調(diào)減.由,,知.即時,有.設(shè)時,不等式成立.由可知,時,不等式也成立,因而對一切的自然數(shù)時,不等式總成立.又()即有下界,由單調(diào)有界準(zhǔn)則可知原數(shù)列有極限,設(shè),等式兩邊取極限得,即(與題意不符,舍去),故[證明二]由數(shù)列的初值及遞推關(guān)系式顯然有，所以，這說明數(shù)列有下界，又，所以數(shù)列單調(diào)減.于是根據(jù)單調(diào)有界準(zhǔn)則,數(shù)列有極限.設(shè)極限為,則對遞推公式取極限有,即(與題意不符,舍去),故[證明三]由數(shù)列的初值及遞推關(guān)系式顯然有，所以，因此,假設(shè)數(shù)列有極限,則.假定數(shù)列有極限