陜西省漢中市部分高中2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知點在平面α上，其法向量，則下列點不在平面α上的是（）A. B.C. D.2．《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機調(diào)查了100學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為A. B.C. D.3．拋物線型太陽灶是利用太陽能輻射的一種裝置．當(dāng)旋轉(zhuǎn)拋物面的主光軸指向太陽的時候，平行的太陽光線入射到旋轉(zhuǎn)拋物面表面，經(jīng)過反光材料的反射，這些反射光線都從它的焦點處通過，形成太陽光線的高密集區(qū)，拋物面的焦點在它的主光軸上．如圖所示的太陽灶中，灶深CD即焦點到灶底（拋物線的頂點）的距離為1m，則灶口直徑AB為（）A.2m B.3mC.4m D.5m4．過雙曲線的右焦點F作一條漸近線的垂線，垂足為M，且FM的中點A在雙曲線上，則雙曲線離心率e等于（）A. B.C. D.5．已知，為雙曲線的兩個焦點，點P在雙曲線上且滿足，那么點P到x軸的距離為（）A. B.C. D.6．已知等差數(shù)列的公差，若，，則該數(shù)列的前項和的最大值為（）A.30 B.35C.40 D.457．已知點到直線：的距離為1，則等于（）A. B.C. D.8．設(shè)是雙曲線的兩個焦點,是雙曲線上的一點,且,則的面積等于（）A. B.C.24 D.489．曲線與曲線的（）A.長軸長相等 B.短軸長相等C.離心率相等 D.焦距相等10．已知，是空間中的任意兩個非零向量，則下列各式中一定成立的是（）A. B.C. D.11．函數(shù)在上的最大值是A. B.C. D.12．若拋物線上的點到其焦點的距離是到軸距離的倍，則等于A. B.1C. D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若向量，，，且向量，，共面，則______14．經(jīng)過、兩點的直線斜率為______.15．若函數(shù)，則在點處切線的斜率為______16．如圖，SD是球O的直徑，A、B、C是球O表面上的三個不同的點，，當(dāng)三棱錐的底面是邊長為3的正三角形時，則球O的半徑為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線.（1）若，求直線與直線交點坐標；（2）若直線與直線垂直，求a的值.18．（12分）已知函數(shù)（a為常數(shù)）（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）不等式在上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.19．（12分）如圖，是底面邊長為1的正三棱錐，分別為棱上的點，截面底面，且棱臺與棱錐的棱長和相等.(棱長和是指多面體中所有棱的長度之和)（1）求證：為正四面體；（2）若，求二面角的大??；（3）設(shè)棱臺的體積為，是否存在體積為且各棱長均相等的直四棱柱，使得它與棱臺有相同的棱長和?若存在，請具體構(gòu)造出這樣的一個直四棱柱，并給出證明；若不存在，請說明理由.20．（12分）已知點F為拋物線：（）的焦點，點在拋物線上且在x軸上方，.（1）求拋物線的方程；（2）已知直線與曲線交于A，B兩點（點A，B與點P不重合），直線PA與x軸、y軸分別交于C、D兩點，直線PB與x軸、y軸分別交于M、N兩點，當(dāng)四邊形CDMN的面積最小時，求直線l的方程.21．（12分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）如圖，三棱柱的所有棱長都是，平面，為的中點，為的中點（1）證明：直線平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)法向量的定義，利用向量垂直對四個選項一一驗證即可.【詳解】對于A：記,則.因為，所以點在平面α上對于B：記,則.因為，所以點在平面α上對于C：記,則.因為，所以點在平面α上對于D：記,則.因為，所以點不在平面α上.故選：D2、C【解析】根據(jù)題先求出閱讀過西游記人數(shù)，進而得解.【詳解】由題意得，閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為90-80+60=70，則其與該校學(xué)生人數(shù)之比為70÷100=0.7．故選C【點睛】本題考查容斥原理，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．采取去重法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題3、C【解析】建立如圖所示的平面直角坐標系，設(shè)拋物線的方程為，根據(jù)是拋物線的焦點，求得拋物線的方程，進而求得的長.【詳解】由題意，建立如圖所示的平面直角坐標系，O與C重合，設(shè)拋物線的方程為，由題意可得是拋物線的焦點，即，可得，所以拋物線的方程為，當(dāng)時，，所以.故選：C.4、A【解析】根據(jù)題意可表示出漸近線方程，進而可知的斜率，表示出直線方程，求出的坐標進而求得A點坐標，代入雙曲線方程整理求得和的關(guān)系式，進而求得離心率【詳解】：由題意設(shè)相應(yīng)的漸近線：，則根據(jù)直線的斜率為，則的方程為，聯(lián)立雙曲線漸近線方程求出，則，，則的中點，把中點坐標代入雙曲線方程中，即，整理得，即，求得，即離心率為，故答案為：5、D【解析】設(shè)，由雙曲線的性質(zhì)可得的值，再由，根據(jù)勾股定理可得的值，進而求得，最后利用等面積法，即可求解【詳解】設(shè)，，為雙曲線的兩個焦點，設(shè)焦距為，，點P在雙曲線上，，，，，，的面積為，利用等面積法，設(shè)的高為，則為點P到x軸的距離，則，故選：D【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)，難度不大.6、D【解析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出公差以及首項，再由等差數(shù)列的前項和公式即可求解.【詳解】等差數(shù)列，由，有，又，公差，所以，，得，，，∴當(dāng)或10時，最大，，故選：D7、D【解析】利用點到直線的距離公式，即可求得參數(shù)的值.【詳解】因為點到直線：的距離為1，故可得，整理得，解得.故選：.8、C【解析】雙曲線的實軸長為2,焦距為.根據(jù)題意和雙曲線的定義知,所以,,所以,所以.所以.故選：C【點睛】本題主要考查了焦點三角形以及橢圓的定義運用,屬于基礎(chǔ)題型.9、D【解析】分別求出兩曲線表示的橢圓的位置，長軸長、短軸長、離心率和焦距，比較可得答案.【詳解】曲線表示焦點在x軸上的橢圓，長軸長為10，短軸長為6，離心率為,焦距為8,曲線焦點在x軸上的橢圓，長軸長為，短軸長為，離心率為,焦距為,故選：D10、C【解析】利用向量數(shù)量積的定義及運算性質(zhì)逐一分析各選項即可得答案.【詳解】解：對A：因為，所以，故選項A錯誤；對B：因為，故選項B錯誤；對C：因為，故選項C正確；對D：因為，故選項D錯誤故選：C.11、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出的最大值即可【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)令可得，可得上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，函數(shù)在上的最大值是故選D【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，是一道中檔題12、D【解析】根據(jù)拋物線的定義及題意可知3x0=x0+,得出x0求得p，即可得答案【詳解】由題意，3x0=x0+，∴x0=∴∵p＞0，∴p=2.故選D【點睛】本題主要考查了拋物線的定義和性質(zhì)．考查了考生對拋物線定義的掌握和靈活應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】由向量共面的性質(zhì)列出方程組求解即可.【詳解】因為，，共面，所以存在實數(shù)x，y，使得，得，解得∴故答案為：14、【解析】利用斜率公式可求得結(jié)果.【詳解】由斜率公式可知，直線的斜率為.故答案為：.15、【解析】根據(jù)條件求出，，再求即答案.【詳解】∵，∴，則和，得，，∴，，∴，所以在點處切線的斜率為.故答案為：16、【解析】由三棱錐是正三棱錐，利用正弦定理得出三角形外接圓的半徑，進而求出，再由余弦定理得出球O的半徑.【詳解】因為，所以平面，三棱錐是正三棱錐，設(shè)為三角形外接圓的圓心，則在上，連接，，由得出，所以，在中，，即，解得，則球O的半徑為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）聯(lián)立兩直線方程，解方程組即可得解；（2）根據(jù)兩直線垂直列出方程，解之即可得出答案.【小問1詳解】解：當(dāng)時，直線，聯(lián)立，解得，即交點坐標為；【小問2詳解】解：直線與直線垂直，則，解得.18、（1）當(dāng)時，在定義域上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）.【解析】（1）求出的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即得解；（2）問題轉(zhuǎn)化為，，，令，求出的最大值，從而求出的范圍即得解【詳解】解：（1）函數(shù)的定義域為，，①當(dāng)時，，，，在定義域上單調(diào)遞增②當(dāng)時，若，則，在上單調(diào)遞增；若，則，在上單調(diào)遞減綜上所述，當(dāng)時，在定義域上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）當(dāng)時，，不等式在，上恒成立，，，，令，，，，在，上單調(diào)遞增，（1），，的范圍為，19、（1）證明見解析；（2）；（3）存在，構(gòu)造棱長均為，底面相鄰兩邊的夾角為的直四棱柱即滿足條件.【解析】（1）由棱臺、棱錐的棱長和相等可得，再由面面平行有，結(jié)合正四面體的結(jié)構(gòu)特征即可證結(jié)論.（2）取BC的中點M，連接PM、DM、AM，由線面垂直的判定可證平面PAM，即是二面角的平面角，進而求其大小.（3）設(shè)直四棱柱的棱長均為，底面相鄰兩邊的夾角為，結(jié)合已知條件用表示出即可確定直四棱柱.【小問1詳解】由棱臺與棱錐的棱長和相等，∴，故.又截面底面ABC，則，，∴，從而，故為正四面體.【小問2詳解】取BC的中點M，連接PM、DM、AM，由，，得：平面PAM，而平面PAM，故，從而是二面角的平面角.由（1）知，三棱錐的各棱長均為1，所以.由D是PA的中點，得.在Rt△ADM中，，故二面角的大小為.【小問3詳解】存在滿足條件的直四棱柱.棱臺的棱長和為定值6，體積為V.設(shè)直四棱柱的棱長均為，底面相鄰兩邊的夾角為，則該四棱柱的棱長和為6，體積為.因為正四面體的體積是，所以，，從而，故構(gòu)造棱長均為，底面相鄰兩邊的夾角為的直四棱柱，即滿足條件.20、（1）；（2）或.【解析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合拋物線定義求出p即可作答.(2)聯(lián)立直線l與拋物線的方程，用點A，B坐標表示出點C，D，M，N的坐標，列出四邊形CDMN面積的函數(shù)關(guān)系，借助均值不等式計算得解.【小問1詳解】拋物線的準線：，由拋物線定義得，解得，所以拋物線的方程為.【小問2詳解】因為點在上，且，則，即，依題意，，設(shè)，，由消去并整理得，則有，，直線PA的斜率是，方程為，令，則，令，則，即點C，點D，同理點M，點N，則，，四邊形的面積有：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，所以當(dāng)時四邊形CDMN的面積最小值為4，直線l的方程為或.21、（1）當(dāng)時，上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）【解析】（1）先求函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，分別求時的最小值，令，即可求出實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】易知函數(shù)的定義域為，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】當(dāng)時，成立，所以符合題意；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要使恒成立，則，解得；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要使恒成立，則，解得.綜上所述