第六章保角映射本章將從幾何角度來對解析函數(shù)做進一步研究，由解析函數(shù)所實現(xiàn)的映射，能把區(qū)域映射成區(qū)域，且在導(dǎo)數(shù)不為零的點的鄰域，具有伸縮率和旋轉(zhuǎn)角不變性，稱為保角映射．本章先分析解析函數(shù)所構(gòu)成映射的特性，再進一步研究保角映射．§6.1保角映射的概念§6.2分式線性映射§6.3惟一決定分式線性映射的條件§6.4幾個初等函數(shù)構(gòu)成的映射本章內(nèi)容§6.1保角映射的概念解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義一設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，且為內(nèi)過點的任一條正向光滑曲線，參數(shù)方程為：其正向?qū)?yīng)于參數(shù)增大的方向，且導(dǎo)數(shù)的輻角的幾何意義1解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義一先做以下規(guī)定：切線的正向．（1）有向曲線上點處的正向切線方向為該曲線在點處與交點處的兩切線正向間的夾角．的正向之間的夾角為：（2）相交于一點的兩有向曲線與因此當(dāng)時，與軸正向的夾角為解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義一令曲線在平面上的像曲線為，的參數(shù)方程為：由則在處與軸正向的夾角為：則（見上圖）解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義一即上式可理解為：將平面中的將映射成，處的切線正向與處的切線正向之間的角度相差，即處的切線旋轉(zhuǎn)稱為函數(shù)在處的旋轉(zhuǎn)角．曲線映射為平面中的曲線時，可得到處的切線．解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義一由前面的分析可知只與映射與曲線無關(guān)，有關(guān)，而這個性質(zhì)稱為旋轉(zhuǎn)角不變性．設(shè)過點有兩條有向光滑曲線的有向光滑曲線．平面的過設(shè)在處的夾角為，在處的夾角則考慮：該性質(zhì)稱為映射的保角性．通過映射變?yōu)闉槎嗌伲拷馕龊瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義一導(dǎo)數(shù)的模的幾何意義2由于其中與分別表示曲線和上的弧長的增量．即小的弧長之間的比值，稱為在處的伸縮率．則表示了在處的無窮小的弧長與在處的無窮顯然也與曲線無關(guān)，這一性質(zhì)稱為伸縮率不變性．解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義一設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，且，在點具有：則映射（1）保角性──在點處兩條曲線的夾角與映射后兩條像曲線在處的夾角不變；（2）伸縮率不變性──過點的任一條曲經(jīng)的伸縮率均為．定理6.1為內(nèi)一點，解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義一例1求映射在點處的旋轉(zhuǎn)角，并說明該映射將平面內(nèi)哪一部分放大？哪一部分縮小？解：則所以在點處的旋轉(zhuǎn)角為．又因為當(dāng)時，當(dāng)時，的圓周內(nèi)部縮小，所以該映射把以為圓心，半徑為外部放大．保角映射的概念二定義6.1若函數(shù)在點具有保角性和伸縮率不變性，則稱映射在是保角的．若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)每一點都是保角的，是