雙線性大信號(hào)模型的魯棒穩(wěn)定控制策略

1控制器模型雙線性分析方法強(qiáng)制變換器、巴比機(jī)器人變換器和cuk變換器等dc-d變換器的平均狀態(tài)空間模型由一組雙線性微分方程描述。由于雙線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和輸出調(diào)節(jié)問題很復(fù)雜,傳統(tǒng)的處理方法是對(duì)其進(jìn)行線性化,通過分析其線性近似模型(也即小信號(hào)模型)得到控制規(guī)律。近年來(lái)的研究表明,基于小信號(hào)模型得到的控制律只能保證系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處的小擾動(dòng)穩(wěn)定性,無(wú)法滿足系統(tǒng)在大信號(hào)擾動(dòng)下的穩(wěn)定性。而改進(jìn)的雙線性近似模型雖然在穩(wěn)定性分析和輸出調(diào)節(jié)方面比小信號(hào)模型優(yōu)越,但是要使系統(tǒng)在大信號(hào)擾動(dòng)下保持穩(wěn)定仍然有一定困難。因此,有必要在不作任何線性化的前提下,采用雙線性大信號(hào)模型來(lái)分析變換器[3～7]。本文基于變換器的雙線性大信號(hào)模型,直接應(yīng)用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論,推導(dǎo)出一種新型控制策略,由新型控制律組成的閉環(huán)系統(tǒng)具有魯棒穩(wěn)定性和良好的輸出調(diào)節(jié)特性。文中以BoostDC/DC變換器作為分析對(duì)象,基于Boost變換器的雙線性方程和非線性擴(kuò)展的狀態(tài)方程,構(gòu)造使擴(kuò)展系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定的Lyapunov函數(shù),推導(dǎo)得到理論上嚴(yán)格保證輸出調(diào)節(jié)的控制律,進(jìn)一步簡(jiǎn)化得到一些近似但是實(shí)用的控制律,最后對(duì)BoostDC/DC變換器新型控制策略的控制特性進(jìn)行仿真分析和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本吻合,從而驗(yàn)證了新型控制律的有效性和實(shí)用性。2雙線性系統(tǒng)的控制律設(shè)計(jì)圖1所示的是Boost變換器控制系統(tǒng)。其中,Vin為直流輸入電壓,r為電感L的內(nèi)阻,RL和LL分別為負(fù)載電阻和負(fù)載電感。假設(shè)電感電流連續(xù),則Boost變換器的狀態(tài)空間平均模型為其中,x、y、g、A1、A2和B分別由下式確定從式(1)可以看出,該系統(tǒng)屬于狀態(tài)變量和輸入變量的雙線性系統(tǒng)。在分析該雙線性系統(tǒng)時(shí),本文均假設(shè)0≤u<1。設(shè)計(jì)一種控制律u,使得輸出電壓vo趨近于參考電壓vref。為了實(shí)現(xiàn)輸出調(diào)節(jié),擴(kuò)展式(1)所示的雙線性系統(tǒng),增加如下狀態(tài)變量假設(shè),則有如下擴(kuò)展系統(tǒng)定義如下矩陣則得到如下擴(kuò)展系統(tǒng)其中,系數(shù)矩陣A(u)和b(x)同式(4)中的保持一致。從式(6)可以看出,如果X降低為0(X→0),意味誤差變量e也降低為0(e=X4→0),即輸出變量y趨近于參考電壓(y→vref)。3在線升級(jí)sd-cd換換器的穩(wěn)定性3.1變換器輸出調(diào)節(jié)問題的分析對(duì)于任意給定常數(shù)u=u0,如果式(1)表示的系統(tǒng)滿足Reλ(A1+u0A2)<0,其中,Reλ(*)表示矩陣*特征值的實(shí)部,則系統(tǒng)的輸出y(t)漸進(jìn)趨近于簡(jiǎn)化條件為r=RL(1-u0)。式(7)表示的BoostDC/DC變換器輸入輸出關(guān)系和變換器工作原理分析結(jié)果完全一致。根據(jù)式(7),可得圖2所示的輸出y0和輸入u0的關(guān)系曲線。從圖2中可以看出,輸出電壓存在極大值,且輸出電壓的極大值和對(duì)應(yīng)的輸入分別為為了實(shí)現(xiàn)輸出調(diào)節(jié),對(duì)于任何可能的系統(tǒng)參數(shù)變化,參考電壓vref必須總是滿足vref<y(μ)。從式(8)中可以看出,μ僅僅由r和RL確定,y(μ)則由r、RL和Vin三者確定。從上述分析中得知,必須將輸出電壓限定在一定的范圍之中,同時(shí)限定輸入變量u的范圍為0≤u≤um。不失一般性,在輸出調(diào)節(jié)問題中,對(duì)輸入變量的上限給出如下假設(shè)。假設(shè)1:輸入變量上限um為一個(gè)常數(shù),在變換器的整個(gè)工作范圍中滿足:um<μ<1。因此參考電壓也應(yīng)該滿足:vref<y(um)<y(μ),使得變換器輸出可調(diào)。3.2李雅普夫函數(shù)的性質(zhì)根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論,需要找到一個(gè)正定函數(shù)V(X,u)作為李雅普諾夫函數(shù)。定義如下矩陣Q其中k1為任意正數(shù)。矩陣Q的列向量q4和輸入向量u有關(guān),且滿足4qTA(u)=0。定義對(duì)稱矩陣P(u)=1/2QQT。當(dāng)u<um<1時(shí),矩陣P(u)滿足P(u)>0,即正定。定義正定函數(shù)V(X,u)=XTP(u)X。給出如下引理引理1對(duì)于任意正數(shù)k1和0≤u≤um<1,總存在不依賴u的正數(shù)δ1和δ2,使得下式成立根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論和引理1,如果函數(shù)V(X,u)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為負(fù)值,即,則式(6)所示的系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。因?yàn)?從式(11)可知g(X,u)為其中,diag(**)表示對(duì)角陣,且對(duì)角元素由(**)確定。從式(12)可知,g(X,u)和u無(wú)關(guān),因此可以將其簡(jiǎn)化為g(X)。令其中,m為任意正數(shù),故,結(jié)合式(12),則式(6)所示的系統(tǒng)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的?？梢詫(X,x,u)表示為下式結(jié)合式(1),f1(X,x)、f2(u,vref,Vin)和f3(X,u)分別為令X(t,X0)為式(6)的解,其中X0為t=0時(shí)刻的初始值。對(duì)于選定的李雅普諾夫函數(shù)V&(X,u),式(13)確保式(6)所示的系統(tǒng)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的。引理2給定0≤u≤um<1,U由式(11)給定,對(duì)于任意X,總有下式成立結(jié)合式(11)和式(13),因?yàn)閙為任意正數(shù),可以直接得出引理2的結(jié)論。從引理1和引理2可以看出,V(X,u)是式(6)所示系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)。對(duì)于由式(13)給定的U,且0≤u≤um<1,則式(6)所示的系統(tǒng)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的。4基于約束的近似控制律假定0≤u≤um<1,由式(13)可得式(19)。其中,k=m1k2為任意正數(shù)。當(dāng)0≤u≤um<1時(shí),根據(jù)式(6)所示系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件,可得如下結(jié)論。引理3(嚴(yán)格穩(wěn)定性)如果式(19)所示微分方程的解滿足0≤u≤um<1,則u確保式(6)所示的系統(tǒng)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的。式(19)中,因?yàn)閞為電感L的內(nèi)阻,在實(shí)際應(yīng)用中可以忽略。假定r=0,則式(19)可以簡(jiǎn)化為引理4(近似穩(wěn)定性)如果式(19)所示微分方程的解滿足0≤u≤um<1,則u是式(6)所示系統(tǒng)的合理可行的近似控制率。在上述討論中,假設(shè)0≤u≤um<1,則式(6)所示的系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。但是實(shí)際情況并非總是如此,比如存在u<0或者u>um的情況。如果當(dāng)u<0時(shí)令u=0;如果u>um時(shí)令u=um,u由式(19)確定,則式(1)所示的系統(tǒng)仍然是穩(wěn)定的。定義如下函數(shù)ψ(u)則有如下實(shí)現(xiàn)BoostDC/DC變換器輸出調(diào)節(jié)的控制律。定理1(BoostDC/DC變換器嚴(yán)格控制策略)實(shí)現(xiàn)BoostDC/DC變換器輸出電壓為參考電壓uref的嚴(yán)格控制策略為其中,u由式(19)確定,且m和k均為任意正數(shù)。同時(shí)有以下推論成立。推論1(BoostDC/DC變換器近似控制策略)實(shí)現(xiàn)Boost變換器輸出電壓為參考電壓vref的近似控制律為u#=ψ(u),其中u由式(20)確定,且m和k均為任意正數(shù)。如果在式(20)中,令m=0,則有式(23)是式(20)的簡(jiǎn)化,因此更加簡(jiǎn)單,易于應(yīng)用,但是過程中做了明顯的近似處理。5切換控制律a為了驗(yàn)證提出的控制策略的實(shí)際控制特性,對(duì)圖1所示的BoostDC/DC變換器控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。從實(shí)際應(yīng)用的角度出發(fā),控制律采用式(20)和式(23)。電路參數(shù)如下:輸入電壓為Vin=12V;參考電壓為vref=24V;電感為L(zhǎng)=180μH;電容為C=150μF;負(fù)載電阻為RL=12?;新型切換控制律的優(yōu)化參數(shù)為k=1.8;m=0.0005;不考慮電感內(nèi)阻,即r=0。切換控制律u和一個(gè)頻率為50kHz的三角波進(jìn)行比較得到驅(qū)動(dòng)信號(hào),即開關(guān)頻率為50kHz。對(duì)于不同類型負(fù)載或者負(fù)載突變,分別對(duì)BoostDC/DC變換器新型控制策略的控制特性進(jìn)行仿真分析和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。5.1動(dòng)態(tài)特性仿真在仿真分析中,開關(guān)S和二極管VD均采用理想器件,在Matlab的Simulink模塊中進(jìn)行仿真。先對(duì)不同類型負(fù)載時(shí)變換器控制系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)進(jìn)行仿真,仿真結(jié)果如圖3所示。其中輸出電壓和參考電壓均為10V/格,切換控制律為0.2V/格,時(shí)間坐標(biāo)為2ms/格。在圖3a中,負(fù)載電阻為RL=12?,負(fù)載電感為L(zhǎng)L=0;在圖3b中,負(fù)載電阻為RL=12?,負(fù)載電感為L(zhǎng)L=3.1mH。從圖3所示的仿真結(jié)果中可以看出,切換控制律很快到達(dá)穩(wěn)態(tài)值u=0.5,輸出電壓超調(diào)量小,穩(wěn)定時(shí)間短,特別是適合于感性負(fù)載,具有較好的控制特性。當(dāng)變換器的負(fù)載為純電阻負(fù)載時(shí),在負(fù)載跳變的情況下,對(duì)新型切換控制器Boost變換器的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性進(jìn)行仿真,仿真結(jié)果如圖4所示。其中輸出電壓和參考電壓均為10V/格,切換控制律為0.5V/格電感電流為5A/格,負(fù)載電阻為5?/格。在圖4a中,負(fù)載電阻由12?跳變?yōu)?4?,即負(fù)載電流從2A跳變?yōu)?A;在圖4b中,負(fù)載電阻由24?跳變?yōu)?2?,即負(fù)載電流從1A跳變?yōu)?A。從圖4所示的仿真結(jié)果中可以看出,當(dāng)負(fù)載電流跳變時(shí),切換控制律相應(yīng)變化,即占空比相應(yīng)改變,以保持Boost變換器的輸出電壓較快穩(wěn)定在參考電壓。5.2動(dòng)態(tài)特性實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證為了驗(yàn)證新型切換控制器的實(shí)際控制特性,對(duì)圖1所示的Boost變換器控制系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。Boost變換器的實(shí)驗(yàn)參數(shù)和仿真參數(shù)保持一致。狀態(tài)響應(yīng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示。其中輸出電壓和參考電壓均為10V/格,切換控制律為0.2V/格,時(shí)間坐標(biāo)為1ms/格。在圖5a中,負(fù)載電阻為RL=12?,負(fù)載電感為L(zhǎng)L=0;在圖5b中,負(fù)載電阻為RL=12?,負(fù)載電感為L(zhǎng)L=3.1mH。當(dāng)變換器的負(fù)載為純電阻負(fù)載時(shí),在負(fù)載電阻跳變的情況下,對(duì)新型控制策略BoostDC/DC變換器的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6所示,其中輸出電壓和參考電壓均為10V/格,切換控制律為0.5V/格,電感電流為2A/格,時(shí)間坐標(biāo)為1ms/格。在圖6a中,負(fù)載電阻由12?跳變?yōu)?4?,即負(fù)載電流從2A跳變?yōu)?A;在圖6b中,負(fù)載電阻由24?跳變?yōu)?2?,即負(fù)載電流從1A跳變?yōu)?A。從圖6的實(shí)驗(yàn)結(jié)果中可以看出,當(dāng)負(fù)載電流跳變時(shí),切換控制律相應(yīng)變化,以保持Boost變換器的輸出電壓較快穩(wěn)定在參考電壓。新型控制策略Boost變換器的實(shí)驗(yàn)結(jié)果和仿真結(jié)果基本一致,驗(yàn)證