2009~2013年高考真題備選題庫第7章立體幾何第5節(jié)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)考點垂直關(guān)系1.（2012廣東，13分）如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中點，F(xiàn)是DC上的點且DF＝eq\f(1,2)AB，PH為△PAD中AD邊上的高．(1)證明：PH⊥平面ABCD；(2)若PH＝1，AD＝eq\r(2)，F(xiàn)C＝1，求三棱錐E－BCF的體積；(3)證明：EF⊥平面PAB.解：(1)證明：因為AB⊥平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD；因為PH為△PAD中AD邊上的高，所以PH⊥AD，又平面PAD∩平面ABCD＝AD，PH?平面PAD，所以PH⊥平面ABCD.(2)因為E為PB的中點，所以E點到平面ABCD的距離為eq\f(1,2)PH＝eq\f(1,2)，S△BCF＝eq\f(1,2)×CF×AD＝eq\f(1,2)×1×eq\r(2)＝eq\f(\r(2),2).所以三棱錐E－BCF的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),12).(3)證明：如右圖，取AB的中點M，連接MF、EM，取PA的中點N，連接NE、DN.因為AB∥CD，DF＝eq\f(1,2)AB，所以NE綊AM綊DF，所以四邊形DNEF為平行四邊形，所以EF綊DN.因為PD＝AD，所以DN⊥PA，又因為AB⊥平面PAD，所以DN⊥AB，PA∩AB＝A，所以DN⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB.2.（2012福建，12分）如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M為棱DD1上的一點．(1)求三棱錐A－MCC1的體積；(2)當A1M＋MC取得最小值時，求證：B1M⊥平面MAC.解：(1)由長方體ABCD－A1B1C1D1知，AD⊥平面CDD1C1，∴點A到平面CDD1C1的距離等于AD＝1，又S△MCC1＝eq\f(1,2)CC1×CD＝eq\f(1,2)×2×1＝1，∴VA－MCC1＝eq\f(1,3)AD·S△MCC1＝eq\f(1,3).(2)證明：將側(cè)面CDD1C1繞DD1逆時針轉(zhuǎn)90°展開，與側(cè)面ADD1A1共面(如圖)，當A1，M，C′共線時，A1M＋MC取得最小值．由AD＝CD＝1，AA1＝2，得M為DD1中點．連接C1M，在△C1MC中，MC1＝eq\r(2)，MC＝eq\r(2)，CC1＝2，∴CCeq\o\al(2,1)＝MCeq\o\al(2,1)＋MC2，得∠CMC1＝90°，即CM⊥MC1.又由長方體ABCD－A1B1C1D1知，B1C1⊥平面CDD1C1，∴B1C1⊥CM.又B1C1∩C1M＝C1，∴CM⊥平面B1C1M，得CM⊥B1M同理可證，B1M⊥AM，又AM∩MC＝M，∴B1M⊥平面MAC.3.(2011新課標全國，12分)如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.(1)證明：PA⊥BD；(2)設(shè)PD＝AD＝1，求棱錐D－PBC的高．解：(1)證明：因為∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝eq\r(3)AD.從而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD.所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD.(2)如圖，作DE⊥PB，垂足為E.已知PD⊥底面ABCD，故PD⊥BC.由(1)知BD⊥AD，又BC∥AD，所以BC⊥BD.故BC⊥平面PBD，BC⊥DE.則DE⊥平面PBC.由PD＝AD＝1知BD＝eq\r(3)，PB＝2.由DE·PB＝PD·BD，得DE＝eq\f(\r(3),2).即棱錐D－PBC的高為eq\f(\r(3),2).4．(2010廣東，14分)如圖，是半徑為a的半圓，AC為直徑，點E為的中點，點B和點C為線段AD的三等分點，平面AEC外一點F滿足FC⊥平面BED，F(xiàn)B＝eq\r(5)a.(1)證明：EB⊥FD；(2)求點B到平面FED的距離．解：(1)證明：∵點E為的中點，且AB＝BC，AC為直徑，∴EB⊥AC.∵FC⊥平面BED，且BE?平面BED.∴FC⊥EB.∵FC∩AC＝C，∴EB⊥平面BDF，∵FD?平面BDF，∴EB⊥FD.(2)∵FC⊥平面BED，且BD?平面BED，∴FC⊥BD.又∵BC＝DC，∴FD＝FB＝eq\r(5)a.∴VE－FBD＝eq\f(1,3)·S△FBD·EB＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)·2a·eq\r(5a2－a2)·a＝eq\f(2a3,3).∵EB⊥平面BDF，且FB?平面BDF，∴EB⊥BF，∴EF＝eq\r(FB2＋EB2)＝eq\r(a2＋5a2)＝eq\r(6)a.∵EB⊥BD，∴ED＝eq\r(EB2＋BD2)＝eq\r(a2＋4a2)＝eq\r(5)a.∴S△FED＝eq\f(1,2)·eq\r(6)