一、函數(shù)單調(diào)性的判定法二、曲線的凹凸性及拐點(diǎn)第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性第三章高等數(shù)學(xué)（上）課前練習(xí)高等數(shù)學(xué)（上）定理1注意

對(duì)定理1的兩點(diǎn)補(bǔ)充說(shuō)明:①把定理中的閉區(qū)間改成其它區(qū)間(含無(wú)窮區(qū)間),定理的結(jié)論仍然成立;②區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如,一、函數(shù)單調(diào)性的判別法高等數(shù)學(xué)（上）例1(1)求出定義域,找到駐點(diǎn)和一階不可導(dǎo)點(diǎn);(找全!)通常,為避免解不等式的困難,我們采取如下方法:的符號(hào),在每個(gè)區(qū)間中只要找一個(gè)特殊的點(diǎn)(2)利用這些點(diǎn)將定義域分成若干區(qū)間,列表考察代入,判斷其符號(hào)即可.例2一、函數(shù)單調(diào)性的判別法高等數(shù)學(xué)（上）注意利用單調(diào)性可以證明不等式以及方程根的唯一性.例3例4一、函數(shù)單調(diào)性的判別法高等數(shù)學(xué)（上）1.問(wèn)題的提出圖形上任意弧段位于所張弦的下方圖形上任意弧段位于所張弦的上方二、曲線的凹凸性及拐點(diǎn)高等數(shù)學(xué)（上）定義1設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù),(1)若恒有則稱圖形是凹的(或凹弧);(2)若恒有則稱圖形是凸的(或凸弧).2.曲線凹凸性的定義二、曲線的凹凸性及拐點(diǎn)高等數(shù)學(xué)（上）3.曲線凹凸性的判定定理2二、曲線的凹凸性及拐點(diǎn)高等數(shù)學(xué)（上）定義2連續(xù)曲線上凹凸的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn).4.曲線的拐點(diǎn)定義5.

拐點(diǎn)的求法(2)在x0的兩側(cè)若二階導(dǎo)數(shù)異號(hào),則(x0,y0)為拐點(diǎn),否(1)求及二階不可導(dǎo)點(diǎn)；二、曲線的凹凸性及拐點(diǎn)則(x0,y0)不是拐點(diǎn).的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).注意拐點(diǎn)要用平面坐標(biāo)(x0,f(x0))表示.例5求曲線高等數(shù)學(xué)（上）二、最大值與最小值問(wèn)題一、函數(shù)的極值及其求法第五節(jié)函數(shù)的極值與最值

第三章高等數(shù)學(xué)（上）注意①極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)不唯一;②極值是局部性的,在定義域內(nèi)未必為最值;④對(duì)一個(gè)函數(shù)而言,極小值可能比極大值大.③極值是內(nèi)部性的,不考慮端點(diǎn);一、函數(shù)的極值及其求法高等數(shù)學(xué)（上）例如一、函數(shù)的極值及其求法高等數(shù)學(xué)（上）定理1(極值的必要條件)若x0是f(x)的極值點(diǎn),則x0只可能是f(x)的駐點(diǎn)(f’(x)=0)或f(x)的不可導(dǎo)點(diǎn).(2)駐點(diǎn)和一階不可導(dǎo)點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).(1)極值點(diǎn)必為駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)；注意例如：一、函數(shù)的極值及其求法高等數(shù)學(xué)（上）定理2(極值的第一判別法)一、函數(shù)的極值及其求法高等數(shù)學(xué)（上）的極值.例1

求函數(shù)★求極值的步驟:1.寫(xiě)出函數(shù)f(x)的定義域;2.在定義域內(nèi)求出f'(x)=0及f'(x)不存在的點(diǎn);3.用上述各點(diǎn)將定義域分成若干區(qū)間,列表討論各區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號(hào),進(jìn)而確定出函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間,以及函數(shù)的極值.一、函數(shù)的極值及其求法高等數(shù)學(xué)（上）定理3(第二充分條件)(2)當(dāng)二階導(dǎo)數(shù)不易求或不存在時(shí),只能用第一充分注意條件(定理2).的極值.例2

求函數(shù)一、函數(shù)的極值及其求法高等數(shù)學(xué)（上）★步驟:若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則其最值只

(2)計(jì)算上述各點(diǎn)處的函數(shù)值,并與兩個(gè)端點(diǎn)處函數(shù)值比較,最大的為最大值,最小的為最小值.1.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最值的方法能在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處達(dá)到.(1)

求f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)部所有駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);例3

求函數(shù)在上的最值.二、最大值與最小值問(wèn)題高等數(shù)學(xué)（上）2.關(guān)于最值的兩個(gè)重要結(jié)論(1)正確寫(xiě)出函數(shù)表達(dá)式及其定義域;步驟：3.最值的應(yīng)用題(2)計(jì)算函數(shù)的駐點(diǎn);(3)判斷駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn);(4)此時(shí)極值點(diǎn)一般都唯一,即是最值點(diǎn).二、最大值與最小值問(wèn)題高等數(shù)學(xué)（上）AC⊥AB,要在AB線上選定一點(diǎn)D向工廠修一條已知鐵路與公路每公里貨運(yùn)為使貨物從B運(yùn)到工

廠C的運(yùn)費(fèi)最省,問(wèn)D點(diǎn)應(yīng)如何取?20公路,價(jià)之比為3:5,例4

鐵路上AB段的距離為100km,工廠C距A處20km,二、最大值與最小值問(wèn)題高等數(shù)學(xué)（上）例5某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品,固定成本為400(百元),且每生產(chǎn)1臺(tái)產(chǎn)品總成本增加10(百元).若該產(chǎn)品需求量x(單位:臺(tái))是價(jià)格p(單位:百元/臺(tái))的函數(shù):則在產(chǎn)銷平衡的條件下,生產(chǎn)多少臺(tái)時(shí)所獲利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?二、最大值與最小值問(wèn)題高等數(shù)學(xué)（上）練習(xí)高等數(shù)學(xué)（上）一、曲線的漸近線二、函數(shù)圖形的描繪第六節(jié)函數(shù)圖形的描繪第三章高等數(shù)學(xué)（上）標(biāo)原點(diǎn)時(shí),該點(diǎn)P與某條定直線L的距離趨于零,則曲

線

的

漸

近

線水平漸近線鉛垂?jié)u近線斜漸近線定義若曲線y=f(x)上的動(dòng)點(diǎn)P沿曲線無(wú)限遠(yuǎn)離坐稱該定直線L為曲線y=f(x)的一條漸近線.一、曲線的漸近線高等數(shù)學(xué)（上）1.水平漸近線例如有兩條水平漸近線:一、曲線的漸近線高等數(shù)學(xué)（上）2.鉛垂?jié)u近線或下方無(wú)限延伸時(shí),以直線x=a為鉛垂?jié)u近線.如果則曲線向上方一、曲線的漸近線例1高等數(shù)學(xué)（上）設(shè)f(x)的定義區(qū)間為無(wú)窮區(qū)間,若

3.斜漸近線斜漸近線求法:一、曲線的漸近線高等數(shù)學(xué)（上）例1注意一、曲線的漸近線高等數(shù)學(xué)（上）③上述各點(diǎn)分定義域?yàn)槿舾蓞^(qū)間,列表考察一,二階導(dǎo)數(shù)符號(hào),確定增減區(qū)間,凹凸區(qū)間,極值,拐點(diǎn);一般步驟②求①確定函數(shù)的定義域,討論其奇偶性,周期性;④求曲線的漸近線;⑤根據(jù)以上性質(zhì),適當(dāng)補(bǔ)充一些點(diǎn)作圖.并求出及為0和不存在的點(diǎn);二、函數(shù)圖形的描繪高等數(shù)學(xué)（上）例2拐點(diǎn)極值點(diǎn)二、函數(shù)圖形的描繪高等數(shù)學(xué)（上）一、弧微分二、曲率及其計(jì)算公式三、曲率圓與曲率半徑第七節(jié)平面曲線的曲率第三章高等數(shù)學(xué)（上）

弧微分公式一、弧微分高等數(shù)學(xué)（上）1.問(wèn)題的提出⑵問(wèn)題:怎樣定量地描述曲線局部彎曲程度？⑴我們直覺(jué)認(rèn)識(shí):直線不彎曲;半徑小的圓彎曲得厲害,拋物線在頂點(diǎn)附近彎曲得比遠(yuǎn)離頂點(diǎn)的部分厲害.))弧段長(zhǎng)度相等,轉(zhuǎn)角越大,彎曲程度越大:與轉(zhuǎn)角大小成正比.轉(zhuǎn)角相同,弧段越短,彎曲程度越大:與弧段長(zhǎng)度成反比.)二、曲率及其計(jì)算公式高等數(shù)學(xué)（上）)yxo