專題16三角函數(shù)的概念及誘導(dǎo)公式【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】1、任意角（1）角的概念（2）正角、負(fù)角、零角（3）象限角（4）終邊相同的角2、弧度制（1）弧度的概念長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角．在半徑為的圓中，弧長(zhǎng)為的弧所對(duì)的圓心角為，那么．正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0．（2）弧度與角度的換算（3）關(guān)于扇形的幾個(gè)公式設(shè)扇形的圓心角為（），半徑為，弧長(zhǎng)為，則有=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③．3、三角函數(shù)的概念（1）三角函數(shù)的定義一般地，任意給定一個(gè)角，它的終邊與單位圓相交于點(diǎn)．把點(diǎn)的縱坐標(biāo)叫做的正弦函數(shù)，記作，即；把點(diǎn)的橫坐標(biāo)叫做的余弦函數(shù)，記作，即；把點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值叫做的正切函數(shù)，記作，即（）．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，通常將它們記為：正弦函數(shù)，；余弦函數(shù)，；正切函數(shù)，（）．設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊上任意一點(diǎn)（不與原點(diǎn)重合）的坐標(biāo)為，點(diǎn)與原點(diǎn)的距離為．可以證明：；；．（2）幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值，，，的三角函數(shù)值如下表所示：函數(shù)不存在不存在（3）三角函數(shù)值的符號(hào)（4）誘導(dǎo)公式（一）終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等．，，，其中．4、同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系（1）平方關(guān)系．（2）商數(shù)關(guān)系．作用：（1）已知的某一個(gè)三角函數(shù)值，求其余的兩個(gè)三角函數(shù)值；（2）化簡(jiǎn)三角函數(shù)式；（3）證明三角函數(shù)恒等式．5、誘導(dǎo)公式（1）公式二，，．（2）公式三，，．（3）公式四，，．小結(jié)：（1）（），，，的三角函數(shù)，等于的同名函數(shù)，前面加上把看成銳角時(shí)原三角函數(shù)值的符號(hào)．（2）利用公式一～公式四，可以把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，一般可按下面步驟進(jìn)行：（4）公式五，．（5）公式六，．小結(jié)：，的正弦（余弦），等于的余弦（正弦），前面加上把看成銳角時(shí)原三角函數(shù)值的符號(hào)．【典型例題】例1．（2022·湖北宜昌·高一期中）某地政府部門欲做一個(gè)“踐行核心價(jià)值觀”的宣傳牌，該宣傳牌形狀是如圖所示的扇形環(huán)面(由扇形挖去扇形后構(gòu)成的)．已知米，米，線段、線段與弧、弧的長(zhǎng)度之和為米，圓心角為弧度．(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)記該宣傳牌的面積為，試問取何值時(shí)，的值最大?并求出最大值．【解析】(1)根據(jù)題意，弧的長(zhǎng)度為米，弧的長(zhǎng)度米，，．(2)依據(jù)題意，可知，化簡(jiǎn)得：，，當(dāng)，．∴當(dāng)時(shí)，y的值最大，且最大值為．例2．（2022·黑龍江·哈爾濱市第一六高一期末）已知，且.(1)求的值；(2)求的值.【解析】(1)因?yàn)?，且，則為第三象限角，故，因此，.(2)原式.例3．（2022·廣東深圳·高一期末）如圖，動(dòng)點(diǎn)P，Q從點(diǎn)出發(fā)，沿圓周運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P按逆時(shí)針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，點(diǎn)Q按順時(shí)針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，求P，Q第一次相遇時(shí)所用的時(shí)間?相遇點(diǎn)的坐標(biāo)及P，Q點(diǎn)各自走過的弧長(zhǎng).【解析】設(shè)、第一次相遇時(shí)所用的時(shí)間是秒，則．（秒，即第一次相遇的時(shí)間為4秒；設(shè)第一次相遇點(diǎn)為，第一次相遇時(shí)點(diǎn)已運(yùn)動(dòng)到終邊在的位置，則，．點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)走過的弧長(zhǎng)為，點(diǎn)走過的弧長(zhǎng)為．例4．（2022·寧夏·銀川高一期末）（1）已知，求的值；（2）已知，且，求的值.【解析】（1）由知

原式=（2）

又

原式===例5．（2022·廣西·桂林市臨桂區(qū)五通高一期中）(1)化簡(jiǎn)：；(2)已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，求，的值；【解析】（1）.（2）因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以，.例6．（2022·江西省萬載高一期中）（1）化簡(jiǎn)：（2）已知（n∈Z），求＋＋＋…＋的值.【解析】（1）原式；（2）因?yàn)椋院瘮?shù)的周期為6，，，，，，；由于，所以＋＋＋…＋.【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2022·山東東營·高一期中）若是銳角，則，是（

）A．第一象限角 B．第三象限角C．第一象限角或第三象限角 D．第二象限角或第四象限角【答案】C【解析】是銳角，，，當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，為第三象限角；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，為第一象限角.所以為第一象限角或第三象限角.故選:C.2．（2022·浙江·杭州高級(jí)高一期末）如果2弧度的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為4，那么這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)半徑為，所以．所以，所以弧長(zhǎng)．故選：A．3．（2022·上?！とA師大二附中高一期中）設(shè)角屬于第二象限，且，則角屬于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】為第二象限角，，；當(dāng)時(shí)，為第一象限角；當(dāng)時(shí)，為第三象限角；為第一或第三象限角；，，為第三象限角.故選：C.4．（2022·黑龍江大慶·高一期末）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，且，所以，所以，故選：A5．（2022·北京·北二外附屬高一期中）（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】故選：B6．（2022·河南南陽·高一期中）已知角，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以且，所以，即，所以，所以；故選：A7．（2022·廣西南寧·高一期末）化簡(jiǎn)：（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】,故選：D8．（2022·福建廈門·高一期末）如圖，一質(zhì)點(diǎn)在半徑為1的圓O上以點(diǎn)為起點(diǎn)，按順時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，角速度為，5s時(shí)到達(dá)點(diǎn)，則（

）A．-1 B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)單位圓與軸正半軸的交點(diǎn)為，則，所以，，故.故選：C二、多選題9．（2022·山東東營·高一期中）在平面直角坐標(biāo)系中，角的始邊為的正半軸，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則下列式子正確的是（

）A． B．C． D．若為鈍角，則【答案】CD【解析】因?yàn)榻墙K邊經(jīng)過點(diǎn)，則對(duì)于：，故錯(cuò)誤；對(duì)于：，故錯(cuò)誤；對(duì)于：，故正確；對(duì)于：因?yàn)楫?dāng)，單調(diào)遞減，而，即，所以，故正確.故選：CD.10．（2022·遼寧·東北育才高一期中）下列四個(gè)選項(xiàng)，正確的有（

）A．在第三象限，則是第二象限角B．已知扇形OAB的面積為4，周長(zhǎng)為10，則扇形的圓心角（正角）的弧度數(shù)為C．若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則D．【答案】ABD【解析】對(duì)A：由題可得，則屬于第二或者第四象限；，則屬于第二或者第三象限或角度終邊落在軸的負(fù)半軸上；故屬于第二象限，A正確；對(duì)B：設(shè)扇形的圓心角為，半徑為，圓心角對(duì)的弧長(zhǎng)為，則，，解得，又，即，解得，B正確；對(duì)C：根據(jù)題意可得，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：因?yàn)?，，故，故，D正確.故選：ABD.11．（2022·山東濟(jì)寧·高一期末）（多選）已知，，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】因?yàn)棰?，所以，所以．又，所以，所以，即，故A正確．，所以②，故D正確．由①②，得，，故B正確．，故C錯(cuò)誤．故選：ABD．12．（2022·黑龍江·大慶實(shí)驗(yàn)高一期中）下列計(jì)算或化簡(jiǎn)結(jié)果正確的是（

）A．若， B．若，則C．若，則 D．若為第二象限角，則【答案】AB【解析】對(duì)于A選項(xiàng)：，，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)：，則，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)：∵范圍不確定，∴的符號(hào)不確定，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)：為第二象限角，,,故D錯(cuò)誤.故選：AB.三、填空題13．（2022·重慶高一期末）如圖所示，弧田是由圓弧和其所對(duì)弦圍成的圖形，若弧田的弧長(zhǎng)為，弧所在的圓的半徑為4，則弧田的面積是___________.【答案】【解析】根據(jù)題意，只需計(jì)算圖中陰影部分的面積，設(shè)，因?yàn)榛√锏幕￠L(zhǎng)為，弧所在的圓的半徑為4，所以，所以陰影部分的面積為所以弧田的面積是.故答案為：14．（2022·湖北宜昌·高一期中）已知角，則_______________________．【答案】【解析】由題意得：，故角是第三象限角，則，故，故答案為：15．（2022·安徽·碭山高一期中）已知，則______．【答案】【解析】因?yàn)椋?，故答案為?6．（2022·遼寧·東北育才高一期中）若，，且，則的最大值為______．【答案】【解析】由，得，因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以的最大值為.故答案為：.四、解答題17．（2022·廣西梧州·高一期中）已知扇形的周長(zhǎng)為30．(1)若該扇形的半徑為10，求該扇形的圓心角，弧長(zhǎng)及面積;(2)求該扇形面積的最大值及此時(shí)扇形的半徑.【解析】（1）由題知扇形的半徑，扇形的周長(zhǎng)為30，∴，∴，，.（2）設(shè)扇形的圓心角，弧長(zhǎng)，半徑為，則，∴，∴當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)，所以該扇形面積的最大值為，此時(shí)扇形的半徑為.18．（2022·新疆喀什·高一期末）已知，且為第二象限角(1)求的值；(2)求的值.【解析】(1)因?yàn)閟in＝，所以，且是第二象限角，所以cos＝，從而(2)原式＝19．（2022·山東東營·高一期中）已知角滿足(1)若角是第三象限角，求的值;(2)若，求的值.【解析】（1）由題意和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，有，消去得，解得或因?yàn)榻鞘堑谌笙藿?，所以，，?），當(dāng)角是第一象限角時(shí)，，當(dāng)角是第三象限角時(shí)，，20．（2022·上海市光明高一期中）（1）是否存在實(shí)數(shù)，使，使，，且是第二象限角？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)；若不存在，情說明理由.（2）若，，求的值.【解析】（1）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使，，因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以，，解得，又，即，解得，與矛盾，故不存在實(shí)數(shù)滿足題意；（2）因?yàn)?，所以，，．?1．（2022·陜西·榆林市第一高一期中（理））已知，．(1)求的值；(2)求的值．【解析】(1)把平方后得，，可得，可得，由，可得，，有．由，有．(2)由