培優(yōu)專(zhuān)題11五種特殊圖形的旋轉(zhuǎn)（部分內(nèi)容有人教版九下內(nèi)容，適情況而做）◎類(lèi)型一：直角三角形1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）把直角三角形OAB與直角三角形O'CD如圖1放置，直角頂點(diǎn)O與O′重合在一起，點(diǎn)D在OB上，∠B＝30°，∠C＝45°．現(xiàn)將△O'CD固定，△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角α（0°≤α＜90°），OB與DC交于點(diǎn)E．(1)如圖2，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若OACD時(shí)，則α＝；若ABOC時(shí)，則α＝；(2)如圖2，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)△ODE有兩個(gè)角相等時(shí)，α＝；(3)如圖3，連結(jié)AC，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，猜想∠DOB與∠CAB＋∠ACD的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．2．（2022·江西萍鄉(xiāng)·八年級(jí)期末）在某次數(shù)學(xué)興趣小組延時(shí)服務(wù)課上，李老師要求學(xué)生探究如下問(wèn)題：(1)如圖①，在等邊內(nèi)有一點(diǎn)，，，．試求的度數(shù)．小亮同學(xué)一時(shí)沒(méi)有思路，當(dāng)他認(rèn)真分析題目信息后，發(fā)現(xiàn)以，，的長(zhǎng)為邊的三角形是直角三角形，他突然有了正確的思路：如圖②，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到，連接，可求出的度數(shù)，請(qǐng)你替小亮寫(xiě)出求解過(guò)程；(2)如圖③，在正方形內(nèi)有一點(diǎn)，，，．試求的度數(shù)；(3)在圖③中，若正方形內(nèi)有另一點(diǎn)，，，（，）．請(qǐng)你探究：當(dāng)，，滿(mǎn)足什么條件時(shí)，的度數(shù)與第（2）問(wèn)中的度數(shù)相等，并說(shuō)明理由．（友情提示：正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角）◎類(lèi)型二：矩形3．（2022·湖南婁底·八年級(jí)期末）問(wèn)題情境：在綜合實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們探究“平面直角坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題”，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是矩形，，點(diǎn)，點(diǎn)．操作發(fā)現(xiàn)：以點(diǎn)為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形，得到矩形，點(diǎn)，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)繼續(xù)探究：如圖，當(dāng)點(diǎn)落在線(xiàn)段上時(shí)，與交于點(diǎn)，求證：；(3)拓展探究：如圖，點(diǎn)是軸上任意一點(diǎn)，點(diǎn)是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．（2022·上海市張江集團(tuán)八年級(jí)期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，將矩形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形AEFG．

(1)當(dāng)點(diǎn)E落在對(duì)角線(xiàn)AC上時(shí)，AF、EF分別交DC于點(diǎn)M、N．①求證：MA＝MC；②求MN的長(zhǎng)；(2)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若直線(xiàn)AE經(jīng)過(guò)線(xiàn)段BG的中點(diǎn)P，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段PE的長(zhǎng)度．◎類(lèi)型三：等腰三角形5．（2021·吉林·四平市鐵西區(qū)教師進(jìn)修九年級(jí)期末）已知是等腰三角形，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)、點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)、點(diǎn)．感知：（1）如圖①，當(dāng)落在邊上時(shí)，與之間的數(shù)量關(guān)系是___________（不需要證明）；探究：（2）如圖②，當(dāng)不落在邊上時(shí)，與是否相等？如果相等，請(qǐng)證明；如果不相等，請(qǐng)說(shuō)明理由；應(yīng)用：（3）如圖③，若，、交于點(diǎn)，則__________度．6．（2021·浙江·義烏市稠州教育集團(tuán)八年級(jí)期中）如圖，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，點(diǎn)P在直線(xiàn)OA上運(yùn)動(dòng)，連接PB，將△OBP沿直線(xiàn)BP折疊，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為O′．（1）若AP＝AB，則點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離是；（2）若點(diǎn)O′恰好落在直線(xiàn)AB上，求△OBP的面積；（3）將線(xiàn)段PB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到線(xiàn)段PC，直線(xiàn)PC與直線(xiàn)AB的交點(diǎn)為Q，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一位置，使得△PBQ為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出OP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．◎類(lèi)型四：正方形7．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）【問(wèn)題情境】如圖1，點(diǎn)E為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，∠AEB＝90°，將Rt△ABE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到．延長(zhǎng)AE交于點(diǎn)F，連接DE．(1)【猜想證明】試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，若DA＝DE，猜想線(xiàn)段CF與的數(shù)量關(guān)系并加以證明；(3)【解決問(wèn)題】如圖1，若AB＝13，CF＝7，請(qǐng)直接寫(xiě)出DE的長(zhǎng)度．8．（2021·山西臨汾·三模）綜合與實(shí)踐背景閱讀：“旋轉(zhuǎn)”即物體繞一個(gè)點(diǎn)或一個(gè)軸做圓周運(yùn)動(dòng)．在中國(guó)古典專(zhuān)著《百喻經(jīng)·口誦乘船法而不解用喻》中記載：“船盤(pán)回旋轉(zhuǎn)，不能前進(jìn)．”而圖形旋轉(zhuǎn)即：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一點(diǎn)按某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的運(yùn)動(dòng)叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角．綜合實(shí)踐課上，“睿智”小組專(zhuān)門(mén)探究了正方形的旋轉(zhuǎn)，情況如下：在正方形中，點(diǎn)是線(xiàn)段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到正方形（點(diǎn)，，，分別是點(diǎn)，，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）．設(shè)旋轉(zhuǎn)角為（）．操作猜想：（1）如圖1，若點(diǎn)是中點(diǎn)，在正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，連接，，，則線(xiàn)段與的數(shù)量關(guān)系是_______；線(xiàn)段與的數(shù)量關(guān)系是________．探究驗(yàn)證：（2）如圖2，在（1）的條件下，在正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，順次連接點(diǎn)，，，，．判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．拓展延伸：（3）如圖3，若，在正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，設(shè)直線(xiàn)交線(xiàn)段于點(diǎn)．連接，并過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．請(qǐng)你補(bǔ)全圖形，并直接寫(xiě)出的值．◎類(lèi)型五：等邊三角形9．（2022·江西九江·八年級(jí)期中）（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，和均為等邊三角形，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A，D，E在同一直線(xiàn)上時(shí)，連接．①的度數(shù)為_(kāi)__________；②線(xiàn)段，與之間的數(shù)量關(guān)系是___________．（2）拓展研究：如圖2，和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)A，D，E在同一直線(xiàn)上．若，，求的長(zhǎng)度．（3）探究發(fā)現(xiàn)：圖1中的和，在的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)A，D，E不在同一直線(xiàn)上時(shí)，設(shè)直線(xiàn)與相交于點(diǎn)，試在備用圖中探索的度數(shù)，直接寫(xiě)出結(jié)果，不必說(shuō)明理由．10．（2022·遼寧·沈陽(yáng)市第四十三八年級(jí)期中）（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，點(diǎn)是線(xiàn)段上的一點(diǎn)，分別以，為邊向外作等邊三角形和等邊