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9.3可降階的高階微分方程9.3.1形如y(n)=f(x)的微分方程1例1.求微分方程

解:

積分一次:29.3.2形如y

=f(x,y

)的微分方程方程特點(diǎn):y

=g(x,y,y

)方程的右端不顯含因變量y.

解法:通過變量代換將方程降階為一階方程.3例2.求微分方程解:方程不顯含y,4例4.我艦向正東1km處的敵艦發(fā)射制導(dǎo)魚雷,魚雷在航行中始終對(duì)準(zhǔn)敵艦.設(shè)敵艦以常速v0沿正北方向直線航行,已知魚雷的速度是敵艦速度的2倍,求魚雷航行曲線的方程,并問敵艦航行多遠(yuǎn)時(shí)將被魚雷擊中?yx1xOP(x,y)解:如圖建立坐標(biāo)系,設(shè)時(shí)間t,A(1,v0t)5(2)式對(duì)x求導(dǎo)得:令6例5.已知二階微分方程

解:

的一個(gè)非零特解

(x),試用變換y=(x)z,求出該方程的通解,這里P(x),Q(x)為連續(xù)函數(shù).7

則,

故原方程的通解為:89.3.3形如y

=f(y,y

)的微分方程方程特點(diǎn):y

=g(x,y,y

)方程的右端不顯含自變量x.解法:通過變量代換將方程降階為一階方程.9例6.求微分方程解:方程不顯含自變量x.109.4線性微分方程9.4.1二階線性微分方程和解的存在性例1.彈簧振動(dòng)問題設(shè)在鉛直懸掛的彈簧下系一質(zhì)量為m的物體,當(dāng)物體處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí),作用在物體上的重力與彈簧的彈性力大小相等,方向相反.如果將物體拉離平衡位置后突然松開,則物體將在平衡位置附近作上下振動(dòng),求物體振動(dòng)的規(guī)律.解:以平衡位置為原點(diǎn)建立x軸,物體的振動(dòng)規(guī)律可以用x=x(t)表示.Oxx11由牛頓第二定律得:是在有阻尼情況下,描述物體自由振動(dòng)的微分方程.是描述物體強(qiáng)迫振動(dòng)的微分方程.

12二階線性微分方程的一般形式:稱為二階線性齊次微分方程．稱為二階線性非齊次微分方程．13定理1.(解的存在唯一性定理)在[a,b]上存在解且解是唯一的.

如果函數(shù)P(x),Q(x),f(x)在[a,b]上連續(xù),則對(duì)任意的初始點(diǎn)x0[a,b]及任意的初始值y0,y1R,初值問題:證明:略.149.4.2二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)A.二階線性齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)先討論二階線性齊次微分方程解的性質(zhì)15定義

例如:

16定理2

則17例2.求方程:解:18定義

定理3.19B.二階線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)220定理4.證明:21例3.已知二階線性非齊次微分方程:解:由性質(zhì)2知:試寫出該方程的通解.是方程所對(duì)應(yīng)的齊次方程的解,

22性質(zhì)3.(疊加原理

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