北京市朝陽(yáng)區(qū)2015屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（理工類）2015．1（考試時(shí)間120分鐘滿分150分）本試卷分為選擇題（共40分）和非選擇題（共110分）兩部分第一部分（選擇題共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1．設(shè)為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限是A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限2.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)．若中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為6，則線段的長(zhǎng)為A．B．C．D．無(wú)法確定3．設(shè)函數(shù)的圖象為，下面結(jié)論中正確的是 A．函數(shù)的最小正周期是 B．圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 C．圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到 D．函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)4．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的全面積是A．B．C．D．5．表示不重合的兩個(gè)平面，，表示不重合的兩條直線．若，，，則“∥”是“∥且∥”的A．充分且不必要條件B．必要且不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件6．在中，，則的最大值是A．B．C．D．7．點(diǎn)在的內(nèi)部，且滿足，則的面積與的面積之比是A．B．3C．D．28.設(shè)連續(xù)正整數(shù)的集合，若是的子集且滿足條件：當(dāng)時(shí)，，則集合中元素的個(gè)數(shù)最多是（）A.B.C.D.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．把答案填在答題卡上．9．角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值是．10．雙曲線（）的離心率是；漸近線方程是．11．設(shè)不等式組表示平面區(qū)域?yàn)?，在區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則點(diǎn)落在圓內(nèi)的概率為．12．有一口大鐘每到整點(diǎn)就自動(dòng)以響鈴的方式報(bào)時(shí)，1點(diǎn)響1聲，2點(diǎn)響2聲，3點(diǎn)響3聲，……，12點(diǎn)響12聲（12時(shí)制），且每次報(bào)時(shí)時(shí)相鄰兩次響鈴之間的間隔均為1秒．在一次大鐘報(bào)時(shí)時(shí)，某人從第一聲鈴響開(kāi)始計(jì)時(shí)，如果此次是12點(diǎn)的報(bào)時(shí)，則此人至少需等待秒才能確定時(shí)間；如果此次是11點(diǎn)的報(bào)時(shí)，則此人至少需等待秒才能確定時(shí)間．13．在銳角的邊上有異于頂點(diǎn)的6個(gè)點(diǎn)，邊上有異于頂點(diǎn)的4個(gè)點(diǎn)，加上點(diǎn)，以這11個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)共可以組成個(gè)三角形（用數(shù)字作答）．14．已知函數(shù)．下列命題：①函數(shù)既有最大值又有最小值；②函數(shù)的圖象是軸對(duì)稱圖形；③函數(shù)在區(qū)間上共有7個(gè)零點(diǎn)；④函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．其中真命題是．（填寫出所有真命題的序號(hào)）三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．15．（本小題滿分13分）退休年齡延遲是平均預(yù)期壽命延長(zhǎng)和人口老齡化背景下的一種趨勢(shì).某機(jī)構(gòu)為了解某城市市民的年齡構(gòu)成，從該城市市民中隨機(jī)抽取年齡段在20~80歲（含20歲和80歲）之間的600人進(jìn)行調(diào)查，并按年齡層次[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]繪制頻率分布直方圖，如圖所示.若規(guī)定年齡分布在[20,40)歲的人為“青年人”，[40,60)為“中年人”，[60,80]為“老年人”.20203040506080700.010.030.02年齡（Ⅰ）若每一組數(shù)據(jù)的平均值用該區(qū)間中點(diǎn)值來(lái)代替，試估算所調(diào)查的600人的平均年齡；（Ⅱ）將上述人口分布的頻率視為該城市在20-80年齡段的人口分布的概率．從該城市20-80年齡段市民中隨機(jī)抽取3人，記抽到“老年人”的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．16．（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面底面，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上移動(dòng)．（Ⅰ）若為中點(diǎn)，求證：//平面；（Ⅱ）求證：；DPCBFAE（Ⅲ）若，二面角的余弦值等于，試判斷點(diǎn)在邊上的位置DPCBFAE17．（本小題滿分13分）若有窮數(shù)列，，（是正整數(shù)）滿足條件：，則稱其為“對(duì)稱數(shù)列”．例如，和都是“對(duì)稱數(shù)列”．（Ⅰ）若是25項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”，且，是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．求的所有項(xiàng)和；（Ⅱ）若是50項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”，且，是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．求的前項(xiàng)和，.18．（本小題滿分13分）設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)為的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象總在的圖象的上方，求的取值范圍．19．（本小題滿分14分）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率為．過(guò)橢圓右頂點(diǎn)的兩條斜率乘積為的直線分別交橢圓于兩點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）直線是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出點(diǎn)